数理方程课件：4_4试探法、泊松方程求解

1、14.4 4.4 试探法、泊松方程求解试探法、泊松方程求解4.4.1 4.4.1 试探法试探法对于实际中提出的某些定解问题，根据问题的对于实际中提出的某些定解问题，根据问题的物理意义物理意义和和几何特征几何特征，可假设解具有某种形式，可假设解具有某种形式并代入试探，这就叫并代入试探，这就叫试探法试探法。例例1rr 求由两同心球面导体求由两同心球面导体2rr 和和做成的电做成的电容器内的电位，容器内的电位， 使内球面使内球面1rr ,0v保持定常电位保持定常电位外球面外球面接地接地。解解 由于区域为球壳，由于区域为球壳， 所以采用球坐标比较方便。所以采用球坐标比较方便。在球坐标系下上述问题归结为

2、在球坐标系下上述问题归结为2),(0),(21rrrru , 0|,|210rrrruvur,)(BrAruBA,在球坐标系下上述问题归结为在球坐标系下上述问题归结为由边界条件知球内电位的分布仅与由边界条件知球内电位的分布仅与 有关，有关，即电位函数是即电位函数是球对称球对称的。的。利用利用4.14.1节中球对称解的一般形式，可设节中球对称解的一般形式，可设其中其中为待定常数。为待定常数。BA,为了确定为了确定，由边界，由边界条件，得条件，得,01vBrA, 02 BrA3),(0),(21rrrru , 0|,|210rrrruvu,)(BrAru在球坐标系下上述问题归结为在球坐标系下上述问

3、题归结为,01vBrA, 02 BrA,01221vrrrrA.0121vrrrB故所求电位为故所求电位为.11021221vrrrrrru44.4.2 4.4.2 泊松方程求解泊松方程求解如果我们知道泊松方程的一个特解，如果我们知道泊松方程的一个特解，函数代换函数代换，就可把泊松方程的边值问题，就可把泊松方程的边值问题化成拉化成拉则通过则通过普拉斯方程的边值问题普拉斯方程的边值问题。如果泊松方程中的如果泊松方程中的自由项自由项是自变量的一个是自变量的一个n2n次多项式，次多项式，则可取方程的特解为自变量的一个则可取方程的特解为自变量的一个次多项式，次多项式， 将其代入泊松方程并比较等式将其代

4、入泊松方程并比较等式两边对应项的系数，两边对应项的系数， 来确定其中的常数。来确定其中的常数。5例例解解xyuuyyxx的特解的特解求方程求方程xyyxf),(是自变量是自变量由于由于yx,的一个的一个二次二次多项式，多项式，33),(BxyyAxyxw不妨取其特解为不妨取其特解为为了计算方便，为了计算方便，,)(6xyxyBA代入方程，得代入方程，得, 1)(6 BA,61, 0AB ;61),(3yxyxw,61, 0BA ;61),(3xyyxw,121 BA);(121),(22yxxyyxw6例例解解求下列问题的解求下列问题的解,),(2ayxv显然，泊松方程的一个特解为显然，泊松方

5、程的一个特解为则上述问题化为则上述问题化为).(),(22yxyxw上述问题的解为上述问题的解为由由极值原理极值原理，).(),(222yxayxu作作函数代换函数代换),(),(22yxyxvu),(4),(222ayxyxu . 0|222ayxu),(0),(222ayxyxv .|2222avayx即原即原问题的解为问题的解为7解的惟一性解的惟一性。补充：利用补充：利用极值原理极值原理证明证明泊松方程狄利克雷问题泊松方程狄利克雷问题),(|zyxfu ,),(,),( zyxFzyxu (14(14* *) )设设. 0| u并且并且由由极值原理极值原理知知21,uu21uuu故在故在

6、则则是问题是问题(14(14* *) )两个解，两个解，在在这就证明了这就证明了泊松方程狄氏问题泊松方程狄氏问题解的惟一性。解的惟一性。, 0u即即, 0u内既不能大于内既不能大于0 0，又不能，又不能上有上有u内的调和函数，即内的调和函数，即小于小于0 0，是是.21uu 8格林函数格林函数性质性质5 5的证明的证明：证明：证明：. 1),(0MdSnMMG一方面利用已有关系式一方面利用已有关系式(20)(20)，证证. 1),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu 考察下列拉普拉斯方程考察下列拉普拉斯方程狄利克雷问题狄利克雷问题dSnGzyxfMu),()(0(20)(20)可得

7、可得,dSnG另一方面由另一方面由极值原理极值原理知此问题解为知此问题解为. 1u由拉氏方程由拉氏方程狄利克雷问题解的惟一性，狄利克雷问题解的惟一性，结论成立结论成立. .学会利用此题的解题思路处理书上习题四第学会利用此题的解题思路处理书上习题四第8 8题题9),0( rrU1ln0二维、三维二维、三维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解分别为分别为rU101 12 2.)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)空间上格林第二公式空间上格林第二公式第第4 4章主要内容章主要内容CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) )平面上格林公式平面上格林公式二维、三维二维、三维拉普拉斯方程边值问

8、题拉普拉斯方程边值问题10.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)3 3调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式( (三维情形三维情形) ).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu二维情形下，二维情形下，调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式第第4 4章主要内容章主要内容(8(8) )11, 0dSnu性质性质1 1(12)(12)调和函数的基本性质调和函数的基本性质4 4设函数设函数它在它在上连续，且上连续，且不为常数不为常数，),(zyxu则则内的内的调和函数调和函数，是区域是区域性质性质3 3它的最大值、它的最大值、最小值只

9、能在边界最小值只能在边界上达到上达到 ( (极值原理极值原理) )。.41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)( (平均值定理平均值定理) )第第4 4章主要内容章主要内容利用利用极值原理极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程证明拉普拉斯方程或泊松方程狄利克雷问题解的唯一性。狄利克雷问题解的唯一性。5补充：学会补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性一性处理问题（例如格林函数性质处理问题（例如格林函数性质5 5、 习题四第习题四第8 8题等）题等）13),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu (19)(19),41),(00vrM

10、MGMM(17)(17)其中其中如果如果三维三维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在在那么问题那么问题(19)(19)的解可表示为的解可表示为.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)6 614),(|yxfuC,),(, 0),(Dyxyxu (19(19) )如果如果二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，CD 在在那么问题那么问题(19(19) )的解可表示为的解可表示为CdSnGyxfMu.),()(0(2

11、0(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )其中其中7 715求解上半空间求解上半空间,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx 0z内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)上半空间的格林函数上半空间的格林函数为为,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)得到定解问题得到定解问题(22)(23)(22)(23)的解的解)(0Mu.)()(),(212/32020200 zyyxxdxdyzyxf(26)(26)8 816求解求解上半平面上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx 0y内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23) )(22(22) )上半平面的格林函数上半平面的格林函数为为,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) ).)()(1)(202000yxxdxyxfMu(26(26) )解的积分表达式解的积分表达式9 9求解求解球域上球域上的狄利克雷问题：的狄利克雷问题：).,(|zyxfu ,),( zy