5梁弯曲时的变形教资优择

1、梁 的 变 形 1 概述(挠度和转角) 2 梁的挠曲线的近似微分方程 3 积分法计算梁的位移 4 叠加法计算梁的位移 5 梁的刚度校核 6 弯曲应变能1基础课件1 概述(挠度和转角)应力应力变形变形强度要求强度要求刚度要求刚度要求 荷载主轴变形对加工精度的影响主轴变形对加工精度的影响变形的利用：变形的利用：汽车的钢板弹簧汽车的钢板弹簧2基础课件竖向位移挠曲线挠曲线竖向位移竖向位移cc挠度挠度cw ww x转角 xtandwwdxtandwwdx挠度与转角之间的关系 xbxf 梁变形的两个位移度量cbacw wc3基础课件 挠度与转角的正负号规定： 挠度：挠度： 向下为正，反之为负向下为正，反之

2、为负 转角：转角： 顺时针为正，反之为负顺时针为正，反之为负如何求挠曲线的方程式 ？ 4基础课件2 梁的挠曲线的近似微分方程 1纯弯曲：纯弯曲：非纯弯曲：非纯弯曲：101lh zeixmx1 x1 小变形 221d wxdx 22zm xd wdxei梁挠曲线的梁挠曲线的近似近似微分方程微分方程 1 略去了剪力的影响略去了剪力的影响 2 略去了变形高次方略去了变形高次方 zeim3 221ww5基础课件 22:zm xd wdxei中的正负号xwdwdx22d wdx00dwdxwxm 06基础课件 22:zm xd wdxei中的正负号xdwdx22d wdx0 22zm xd wdxei

3、wxm 07基础课件3 积分法计算梁的位移 zm xwei w w 积分法积分法 zzeiei wm x dxc 2zei wm x dxcxd 式中，式中， c、d为积分常数，可由梁的某些截面的为积分常数，可由梁的某些截面的已知变形条件来确定已知变形条件来确定 ，如：，如：8基础课件0aw 0bw 0aw 0a边边界界条条件件 baab连续条件连续条件光滑条件光滑条件铰支座铰支座pabcccwwcc铰连接铰连接pdcaccwwcc 0000axaxzwwei wm xwx连续但连续但不光滑不光滑9基础课件 例例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯

4、曲刚度刚度eiz为常数。试求此梁的最大挠度为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转和两端面的转角角a、 b。解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为： 22121qxqlxxmfrafrbxwbqla xab10基础课件挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为： 21122zei wm xqxqlx 积分得：积分得： 321164zzei weiqxqlxc 43112412zei wqxqlxcxd梁的边界条件为：梁的边界条件为：00axww0bx lww3241qlc 0 dxwbqlax 11基础课件转角方程式和挠度方程式分别为：转角方程式和挠度方程式分别为：3234624zqwx

5、lxlei 433224zqwxlxl xeimaxw0 xa2lxwzeiql38454zeiql243bxwbqlax 12基础课件 例例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件需用的边界条件和变形连续条件。边界条件：0bdww变形光滑条件：bbbbwwccccwwddddww b、c、d：变形连续条件： 弯矩方程的分界点弯矩方程的分界点eiabq cedfl/2l/2l/2l/213基础课件 静定静定(组合组合)梁如图所示，试分别列出确

6、定积分梁如图所示，试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件常数时需用的边界条件和变形连续条件。alxwcbq acblq aaxw14基础课件例3 图示抗弯刚度为eiz的简支梁受集中力p作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。apblcba15基础课件解：利用平衡方程求两个支反力解：利用平衡方程求两个支反力：rr abpbpaffll显然显然，ac段与段与cb段弯矩方程的表达式不一样段弯矩方程的表达式不一样。分别列出分别列出ac、cb段弯矩方程并积分段弯矩方程并积分：wxfrafrbapblcba16基础课件ac段段cb段段1r( ) 0apbm xfxxx

7、al2r( )() amxfxp xaaxl11( )zpbxei wm xl 2()zpbxei wp xal 2112zpbxei wcl 2222()22zpbxp xaei wcl 31116zpbxei wc xdl 33222()66zpbxp xaei wc xdl 17基础课件10 0 xw2 0 xlw12 xaww12 xaww支承条件支承条件 连续条件连续条件 光滑条件光滑条件wxapblcba18基础课件利用边界条件解得：利用边界条件解得：)(62221bllpbcc021 ddaxxblleipbz0 )3(6222lxa x-ablxblleipbz )(3 )3(

8、62222w axxblleipbxz0 )(6222lxa x-ablxblxleipbz )( )(6322219基础课件最大转度最大转度)(6)0(blleipabza)(6)(alleipablzbbbamax abamax 从从ab， （顺时针顺时针）（逆时针逆时针）（绝对值绝对值）0 0 dwxdxba 不失一般性，设3 220blx则223max0()()9 3zpbww xlbei lapblcbawx20基础课件讨论：讨论： 02 bx2203xlb22 3max0()()9 3zpbww xlbei l 0122blxl 030lim0.577bxl 结论：对于简支梁而言，

9、无论集中力对于简支梁而言，无论集中力p作用在何作用在何处，用处，用w(l/2)代替代替wmax，最大误差为最大误差为2.65%。22max9 30.0642wfbleifbleiapblcbawxmax2ww l222160.0625x lwfbleifblei21基础课件 例例4 用积分法求图示外伸梁自由端用积分法求图示外伸梁自由端c的截的截面转角和挠度面转角和挠度，其中其中me=ql2/16。 解：取图示的坐标系，求支座反力得解：取图示的坐标系，求支座反力得：a0 xf a716yfql b916fqlll/2q cbaeimex yfayfaxfb22基础课件 xq qfx xm边界边界

10、(a、c点点)条件条件： 2300lxllxq23021lxlclxcqx2302122112lxldxclxdxcqxq0 xf积分积分0 xmq32xlf lxm23qlc1671ql16701 d0002c2161ql21161qld qlfay167 qlfb169ll/2q cbaeimex yfayfaxfb23基础课件 2316101672122lxlqllxqlxqxxm弯矩方程弯矩方程： 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程 22170121613216qxqlxxlm xweieilqllx ww 00 xw0 x lw边界条件边界条件： 连续性条件连续性条件：lx

11、lxx lx lww23161032761122123lxlexqllxeqlxqxei233210967241122221134lxlfxexqllxfxeqlxqxeill/2q cbaeimex yfayfaxfb24基础课件32968qle42965qlf 31963qle 01f解得解得： 将积分常数回代得将积分常数回代得： 32323173016329618321696qxqlxqlxlweilql xqllxccw 自由端自由端c的截面转角和挠度的截面转角和挠度 ： lx233961ql4321384xlwql43322341730124969618532329696qxqlxq

12、lxlweilql xql xqllxll/2q cbaeimex yfayfaxfb25基础课件4 叠加法计算梁的位移 积分法3323222261346224232401eexxlmlxlxlweilxlxllxxlqlxlmqxme单独作用 2222611346eexxlmlxlxlmweiq单独作用 3233224241xllxxqlxl qweiq cbaeill/2mexwq cbaeill/2xwcbaeill/2mexw26基础课件12ewmq12emq3f3f线性关系线性关系 叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角（或挠度）等于各个

13、荷载单独作用时梁在面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角（或挠度）的总和。该截面处的转角（或挠度）的总和。 适用条件：1 小变形2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律但是有一点需要说明：q cbaeill/2mexw27基础课件ooo1+212+为什么线性关系可以叠加？28基础课件ooo12+1 29基础课件表7(4)-1转角转角(rad) 挠度挠度(m) q(n/m) f (n) m (n.m) 3l4l2l3l1l2l简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来则当梁长增加一倍时，梁内的最

14、大正应力变为原来的的 ，最大挠度变为原来的，最大挠度变为原来的 。 n,zq f mwelieiz称为称为抗弯刚度抗弯刚度30基础课件bqaffbabqa31基础课件试用试用叠加法叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度求图示悬臂梁自由端的挠度wb。 323b/2/2532248ff lf llflweieiei 131b3fflwei3151648ff lweif1 abw1w2f1 af=16knbll/2caf=16knbcwc32基础课件bdw 408lbbqlwdwei例例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端试用叠加法求图示悬臂梁自由端b处的挠度处的挠度。 236eixq dx xl q a b x

15、dx w x l q.dx表7(4)-1(2)表7(4)-1(3)33基础课件 例例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求c截面截面的挠度和截面转角的挠度和截面转角a。q baeill/2c34基础课件q b aeill/2cq b aeill/2cq b aeill/2cq b aeill/2c(1)(2)cccwww(2)ccww (2)cwcw(1)cwcw(1)ccwwcw (1)12ccww35基础课件表表7(4)-1441525384768cqlqlweiei分析： 分析c点：qfmw33122448aqlqleieiq baeill/2ccbaq

16、/2eilabceilq/2q/236基础课件 结论（规律）： (2)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载，荷载反对称反对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为反对称反对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为对称对称图形。图形。 (1)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载也，荷载也对称对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为对称对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为反对称反对称图形；图形；fq图m图cbaq/2eilabceilq/2q/237基础课件0m0qf表表7(4)-120cweiqleilqa384242233212cccwww12aaaeiql76854eiql12833q/2am

17、fq跨度为跨度为l/2的简支梁的简支梁abceilq/2q/20cw 38基础课件 例例5：外伸梁受图示荷载作用，试用叠加法求外伸外伸梁受图示荷载作用，试用叠加法求外伸端端c截面的挠度截面的挠度。baeilafc39基础课件313cfawei23cbfa lwaaei分析： 表7(4)-1 表7(4)-1 请思考：能不能将力f向a点简化，为什么？cw baeilafcfeiabcfeiabcffaeibcc1wc1wc2悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁ceiabc2fm 40基础课件例例6：fei2eiabcll41基础课件c2wfwbeffcfwcbabc1 表表7(4)-133 2fflwei表表

18、7(4)-122 2mfl lweieiflmfb432bwl334flwei33fflwei332cflweibewfmwwm fei2eiabcll42基础课件例题：已知例题：已知 f，e，g，求，求c点铅垂位移点铅垂位移a fbc尺寸：尺寸：l, d尺寸：尺寸：a, b, h分析：分析： ab 弯曲弯曲 + 扭转变形，扭转变形， bc 弯曲变形弯曲变形 故故 c点的挠度由三部分组成点的挠度由三部分组成 ab弯曲引起的弯曲引起的b点下沉点下沉ab扭转引起扭转引起c点位移点位移 bc弯曲引起弯曲引起c点下沉点下沉43基础课件解：采用逐段刚化法解：采用逐段刚化法(1)将将ab刚化，计算刚化，计

19、算bc弯曲变形引起的弯曲变形引起的c点的挠点的挠度。度。fb(固定端固定端)c尺寸：尺寸：a, b, h()3112bczibh33(1)34( )3cbcfafaweiebh44基础课件(2)将将bc刚化刚化, 即去掉即去掉bc，但保留，但保留bc对对ab的的 作用力，计算作用力，计算ab弯曲引起的弯曲引起的c点的挠度点的挠度fab尺寸尺寸：l, dmx()4164abzid33(2)464( )33cbabflflwweie d45基础课件(3)将将bc刚化计算刚化计算ab扭转变形引起的扭转变形引起的c点的挠度点的挠度计算计算b截面扭转角截面扭转角所以，所以，c点位移为：点位移为：4pp3

20、2xbm lfalfalgigig d2(3)432( )cbfa lwag d(1)(2)(3)ccccwwwwbcb(3)cffab尺寸尺寸：l, dmx46基础课件q dbaeill3ql2xw2qlcl根据梁的根据梁的弯矩图弯矩图和和支座条件支座条件，画出梁的挠曲线的，画出梁的挠曲线的大致形状。大致形状。fq图m图47基础课件5 梁的刚度计算一、梁的刚度条件： wwmax max48基础课件 mm500600llw 0.05 0.06mmw mm100005000llw 起重机大梁、吊车梁：起重机大梁、吊车梁：发动机曲轴、凸轮轴：发动机曲轴、凸轮轴：普通机床主轴、一般的轴：普通机床主轴

21、、一般的轴：强度与刚度强度与刚度49基础课件bacp1p2d 例例7：车床主轴如图所示，车床主轴如图所示，已知工作时的径向力已知工作时的径向力p1 =2000n，齿轮啮合处的齿轮啮合处的径向力径向力p2 =1000n；主轴主轴的外径的外径d =8cm，内径内径d =4cm； l=40cm， a=20cm，c处的许用挠度处的许用挠度y=0.0001l，轴承轴承b处的处的许用转角许用转角 =0.001rad。试校核其刚度试校核其刚度。50基础课件将主轴简化为如图将主轴简化为如图b所示的外伸所示的外伸梁，梁，横截面的惯性矩为横截面的惯性矩为(1)计算变形计算变形 由表由表7-1查出，因查出，因p1在

22、在c处引起的挠度和在处引起的挠度和在b引起的引起的转角为：转角为：ycp1bac1cpp144444()(84 )188cm6464idd1224162000 20()(4020)40.6 10 cm33 21 10188cppawlaei1516200 20 4013.54 10 rad33 21 10188bppaleibacp1p2d51基础课件 由表由表7-1查得，因查得，因p2在在c处引起的挠度和在处引起的挠度和在b处处引起的转角为：引起的转角为：p2ycp2bac2bpd2225261000 402.53 10 rad1616 21 10188bpplei 22542.53 102

23、05.06 10 cmcpbpwa 52基础课件12ccpcpwww12bbpbp 则则c处的总挠度为：处的总挠度为：44440.6 105.06 1035.5 10 cm 则则b处的总转角为：处的总转角为：55513.54 102.53 1011.01 10 rad53基础课件主轴的许用挠度和许用转角为：主轴的许用挠度和许用转角为： 40.00010.0001 4040 10 cmwl 4-435.5 10 cm40 10 cmcww故主轴满足刚度条件故主轴满足刚度条件 (2) 校核刚度校核刚度 30.00110 rad 5-311.01 10 rad10 radb54基础课件二、提高承载能

24、力的措施 , , ,f q me iwwl w1 减小梁的跨度减小梁的跨度2 选择合理截面形状选择合理截面形状3 改善梁的受力和支座位置改善梁的受力和支座位置4 预加反弯度预加反弯度ff n,zq f mweli（增加支座）（增加支座）55基础课件大自然中的悬臂梁bbaf 56基础课件57基础课件em llei12ewm2122eem lvmei 22mxdvdxei6 梁内的弯曲应变能memeaomemel 22lmxvdxei2222lleiweivdxwdxei纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲58基础课件 例例 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算b点的挠度点

25、的挠度wb，已知梁的弯曲刚度为已知梁的弯曲刚度为ei。 解解： 1 弯矩方程弯矩方程2 弯曲应变能弯曲应变能3 计算计算b点的挠度点的挠度 xlfxmwv lleilfxeixlfxeixmv0322226d2d233bflweifbalwb2 3126bf lfwei59基础课件7 简单超静定梁 未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为平衡方程不能求解的梁，称为afayfaxfb mafazfax60基础课件15knf 讨论：3151648bff lweif1 af=16knbll/2c0bw1bbwwf61基础课件315

26、1648bff lweif1 af=16knbll/2c实质：存在多余约束多余约束多余约束的作用的作用增加了未知力个数增加了未知力个数增加对变形的限制增加对变形的限制使问题变为不可解使问题变为不可解使问题变为可解。使问题变为可解。wb=062基础课件fayfaxwb=0相当系统相当系统maf1 af=16knbll/2c1 解除多余约束解除多余约束(代之以约束反力代之以约束反力)；2 补充方程；补充方程；3 与平衡方程联立求解。与平衡方程联立求解。变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程解解题题步步骤骤63基础课件efcfbaal/2becfffcfc力法力法64基础课件确定超静定次数，用反力

27、代替多余约束得新结构确定超静定次数，用反力代替多余约束得新结构 静定基静定基af=16knbll/2cwb=0f1 af=16knbll/2ca=0blaf=16knl/2cma静定基静定基1静定基静定基265基础课件思考题思考题1.弯矩和剪力分别由什么应力组成?2.研究梁的正应力的基本思路是什么？3.什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4.什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么 ？66基础课件5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁？6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面

28、模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为d的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。67基础课件zeim1简支梁跨中受集中力作用简支梁跨中受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用转角方程和挠度方程总是连续的转角方程和挠度方程总是连续的(5)梁的最大挠度必产生于最大弯矩处梁的最大挠度必产生于最大弯矩处。(4)弯矩突变的截面处转角也突变弯矩突变的截面处转角也突变；(3)弯矩为零处，挠曲线曲率必为零弯矩为零处，挠曲线曲率必为零； (2)弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面转角为零转角为零；(1)正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角；9 试判断68基础课件 10 应用叠加原理的条件是什么应用叠加原理的条件是什么？ 小变形小变形 材料处于弹性阶段且服从胡克定律材料处于弹性阶段且服从胡克定律 11 两悬臂梁，其横截面和材料相同，一梁的长度两悬臂梁，其横截面和材料相同，一梁的长度是另一梁的是另一梁的2倍，在梁的自由端作用有大小相等的集中倍，在梁的自由端作用有大小相等的集中力，则长梁自由端