复变函数课件：第九章 Laplace变换(精简)

1、1第九章第九章 Laplace 变换变换9.2 Laplace 变换的性质变换的性质9.1 Laplace 变换的概念变换的概念9.3 Laplace 逆变换逆变换9.4 Laplace 变换的应用变换的应用求解常微分方程（组）求解常微分方程（组）29.1 Laplace 变换的概念变换的概念 一、一、Laplace 变换的定义变换的定义二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换 3一、一、Laplace 变换的定义变换的定义 s 的某一区域内收敛，的某一区域内收敛， 即即如果对于如果对于 则称则称 为为 的的 Laplace 变换变换 )(sF)(tf相应地，称相应地，称

2、 为为 的的 Laplace 逆变换逆变换或或像原函数像原函数， )(tf)(sF设函数设函数 是定义在是定义在 上的实值函数，上的实值函数， ),0( )(tf定义定义 复参数复参数 , js 0d)()(ettfsFts积分积分 在复平面在复平面 记为记为 )(sF,)(tf或或像函数像函数， .d)()()(0e ttftfsFts记为记为 )(tf.)(1sF 的的 Laplace 变换就是变换就是 的的 Fourier 变换。变换。 ttutf e)()()(tf注注 P213定义定义 9.1 Re s足够大足够大4 0eedtt sta 0)(e1tsasa)Re(Reas 0e)

3、(dttut s,1as ,1s )0(Re s 0e1dtts 0e1tss,1s )0(Re s 0e1dtt s1例例 )(tueatP213 例例 9.1 P216 例例 9.3 5二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换(2) )(t ; 1 ;1s (1) 1 )(tu= (4) tae;1as 6 0ed1tsmts 0e1tsmts 01dettsmtsm.!1 msm二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换 0detttsmmt解解 (3) 1 mtsm 2 mt2)1(smm 1msm! (2) )(t ; 1 ;1s 1! ms

4、m(1) 1 mt(3) )(tu= (4) tae;1as 7)11(21ajsajs .22ass 二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换costa解解 (5) e(21taj) etaj (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= 8(2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa 二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换(6) tasin)11(21a

5、jsajs .22ass costa解解 (5) e(21taj) etaj 9(2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa 二、几个常用函数的二、几个常用函数的 Laplace 变换变换(6) tasin特点特点 变换的结果均为变换的结果均为分式函数分式函数。 109.2 Laplace 变换的性质变换的性质一、线性性质一、线性性质二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质三、三、微分性质微分性质四、卷积和卷积定理四、卷积和卷积定理11一、线性性质一、线性性质P216 )(sF )(sG

6、. )(tg记记, )(tf);()( )()(sbGsaFtbgtaf 则有则有设设为常数，为常数，ba ,1 ).()( )()(tbgtafsbGsaF 12解解,1121)( sssF)()(1sFtf 211s111 s.ee2tt )(tf1 . )(sF已知像函数已知像函数例例,)2)(1(1)( sssF求求eta;1as 13二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质1. 延迟性质延迟性质 则对任一则对任一非负实数非负实数 有有 设当设当 t 0 时时 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性质性质 P222 P222 可见，在利用本性质可见，在利用本性质求逆变换时求逆

7、变换时应为：应为：因此，本性质也可以因此，本性质也可以直接表述直接表述为：为： )()( tutf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 注意注意 在延迟性质中专门强调了当在延迟性质中专门强调了当 t 0 时时 这一这一约定约定。 0)( tf )(sF记记, )(tf14 .2, 0,2,2ettt根据根据延迟性质延迟性质有有 设设 求求 ,11)(2esssF 例例 . )(1sF 111 s,et 解解 由于由于 )2(2e tut )(1sF P223 例例9.13 修改修改 eta;1as . )()( tutf )(e1sFs 15二、二、延迟性质与位移性质延迟性

8、质与位移性质1. 延迟性质延迟性质 则对任一非负实数则对任一非负实数 有有 设当设当 t 0 时时 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性质性质 P222 P222 为任一复常数，则为任一复常数，则设设a).()(easFtfat 性质性质 2. 位移性质位移性质 P223 .)(22basas cosebtat例如例如 .)(22basb sinebtat.)(!1 masmematt )(sF记记, )(tf16三、三、微分性质微分性质 )(tf . )0()(fssF 性质性质 导数的象函数导数的象函数 P217 P217 )()(tfn. )0()0()0()()1(21 nnn

9、nffsfssFs一般地，有一般地，有 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程方程( (组组) )的初值问题。的初值问题。 9.4 将专门介绍将专门介绍 ） （ )(sF记记, )(tf17四、卷积和卷积定理四、卷积和卷积定理当当 时，时， 如果函数满足：如果函数满足： 0 t,0)()(21 tftf)()(21tftf .d)()(21 tff 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有则有 )()(21tftf . )0(,d)()(021 ttfft P224 Laplace变换

10、中的变换中的卷积形式。卷积形式。Fourier变换中的变换中的卷积形式。卷积形式。182. 卷积定理卷积定理 )()(21tftf . )()(21sFsF 定理定理四、卷积和卷积定理四、卷积和卷积定理P224 此结论在此结论在数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数这门课中会用到这门课中会用到 )()(21sFsF 1 )(1sF1 1 .)(2sF 19 部分部分基本性质汇总基本性质汇总)()(tgbtfa ; )()(sGbsFa )()(1sGbsFa . )()(tgbtfa 线性性质线性性质 延迟性质延迟性质 )( tf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 微分性质

11、微分性质 )(tf . )0()(fssF )()(tfn. )0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs )(etfta. )(asF 位移性质位移性质 209.3 Laplace 逆变换逆变换一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法21一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 函数函数 的的 Laplace 变换变换 )(tf)()( jFsF 就是函数就是函数 的的 Fourier 变换，变换， ttutf e)()(.d)()()()

12、(ee ttutfjFsFtjt 即即 .d)(21)()(ee tjtjFtutf在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 )(tf(2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， (1) 由由 Laplace 变换与变换与 Fourier 变换的关系可知，变换的关系可知， 推导推导 )(sF记记, )(tf22一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， 推导推导 (3) 将上式两边同乘将上式两

13、边同乘 并由并由 有有 ,et , js .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 反演积分公式反演积分公式 P227 ( ( 9.16 ) )式式 )(sF记记, )(tf23二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法1. 留数法留数法 利用留数计算反演积分。利用留数计算反演积分。 则则 设函数设函数 除在半平面除在半平面 内有有限个孤立奇点内有有限个孤立奇点 cs Re)(sF定理定理 且当且当 时，时， s,0)(sFnsss,21外是解析的，外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF .

14、 )0( t jjt sssFjtf d)(21)(et seP227定理定理 9.2 ks为为其中，其中，在复平面在复平面s上的上的有限孤立奇点有限孤立奇点。)(sF )(sF记记, )(tf24二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 常用常用 几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa (6) tasin.)(22basas cosebtat利利用用位位移移性性质质 .)(22basb sineb

15、tat.)(!1 masmematt25.)1(122 sCsBsA( (重根重根) ) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 )()(1sFtf .eee2tttt 1 1 1 有有 (2) 由由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例例9.17 )(tf1 . )(sF已知像函数已知像函数例例,) 1)(2(1)(2 sssF求求26解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 (1) 分别为分别为 的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF

16、,2et )2e(lim1,e)(Res1 ssFtssts(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt P228 例例9.17 )(tf1 . )(sF已知像函数已知像函数例例,) 1)(2(1)(2 sssF求求279.4 Laplace 变换的应用及综合举例变换的应用及综合举例一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) ) 二、综合举例二、综合举例 28一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) ) 步骤步骤 得到像函数得到像函数求求解解微分方程微分方程( (组组) )像函数的像函数的代数方程代数方程( (组组) )L

17、aplace正正变换变换微分方程微分方程( (组组) )的解的解Laplace逆逆变换变换(1) 将将微分方程微分方程( (组组) )化为像函数的代数方程化为像函数的代数方程( (组组) )； (2) 求解代数方程得到像函数；求解代数方程得到像函数； (3) 求求 Laplace 逆变换得到逆变换得到微分方程微分方程( (组组) )的的解。解。 . )0()0()0()( )()1(21)( nnnnnffsfssFstf工具工具 )(tf)(sF)(sF)(tf29,0)()0()0()(22 sYysysYs .)(22 ssY对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，有变换，有 (

18、2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(tysY 解解 (1) 令令 )()(1sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()(22 sYsYs P218 例例9.6 利用利用Laplace变换求解微分方程变换求解微分方程例例.)0( , 0)0(, 0)()( 2yytyty .22asa sin ta30对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,16)()(3)(3)(23 ssXssXsXssXs.)1(! 3)(4 ss

19、X求解此方程得求解此方程得 )()(1sXtx .e3tt 利用利用Laplace变换求解微分方程变换求解微分方程例例. 0)0( )0( )0(,e63 3 xxxxxxxt .)(!1 masmematt31对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)()(1)( ssYsXssX.12)(2)(31)( ssYsXssY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 整理得整理得 ,1)()()1( sssYsXs.11)()2()(3 sssYssX P229 例例9.1

20、9 利用利用Laplace变换求解微分方程组变换求解微分方程组例例 . 1)0(,e2)(2)(3)( , 1)0(,e)()()( ytytxtyxtytxtxtt32, )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 .)()(ettytx (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 利用利用Laplace变换求解微分方程组变换求解微分方程组例例 . 1)0(,e2)(2)(3)( , 1)0(,e)()()( ytytxtyxtytxtxtteta;1as 33对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,)()(e2ssYsssX .2)()(2e3sssYssX 求求解得解得 .0)( sY,1)(esssX , )1()( tutx.0)( ty(2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 利用利用Laplace变换求解微分方程组变换求解微分方程组练习练习 . 0)0( )0( ),1(2 2, 0)0()0(),1( yytuyxyxtyx)1( tuss e1)1( ts e34 利用利用Laplace变