全等几何模型讲解

1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：例题讲解：1. 如图所示，p是等边三角形abc内的一个点，pa=2，pb=，pc=4，求abc的边长。 2. 如图，o是等边三角形abc内一点，已知：aob=115°，boc=125°，则以线段oa、ob、oc为边构成三角形的各角度数是多少？ 3.如图，p是正方形abcd内一点，且满足pa：pd：pc=1：2：3，则apd= . 4.如图（2-1）：p是正方形abcd内一点

2、，点p到正方形的三个顶点a、b、c的距离分别为pa=1，pb=2，pc=3。求此正方形abcd面积。（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形： 例题讲解： 1. 已知abc为等边三角形，点d为直线bc上的一动点（点d不与b,c重合），以ad为边作菱形adef(按a,d,e,f逆时针排列），使daf=60°,连接cf.(1) 如图1，当点d在边bc上时，求证： bd=cf  ac=cf+cd.(2)如图2，当点d在边bc的延长线上且其他条件不变时，结论ac=cf+cd是否成立？若不成立，请写出ac、cf、cd之间存在的数量关系，并说明理由； &#

3、160;(3)如图3，当点d在边bc的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出ac、cf、cd之间存在的数量关系。2.（13北京中考）在abc中，ab=ac，bac=（），将线段bc绕点b逆时针旋转60°得到线段bd。（1）如图1，直接写出abd的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，bce=150°，abe=60°，判断abe的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结de，若dec=45°，求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：1.在等腰直角

4、abcd的斜边上取两点m,n,使得,记am=m,mn=x,bn=n，求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。2.如图，正方形abcd的边长为1，ab,ad上各存在一点p、q，若apq的周长为2，求的度数。3.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：4. 已知，正方形abcd中，man=45°，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n，ahmn于点h（1）如图，当man点a旋转到bm=dn时，请你直接写出ah与ab的数量关系：ah=ab；（2）如图，当man绕点a旋转到bmdn时，（1）中发现的ah与ab的数量关系还成立吗？如果不成立请写出

5、理由，如果成立请证明；（3）如图，已知man=45°，ahmn于点h，且mh=2，nh=3，求ah的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形abcd中，man=45°，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb，dc(或它们的延长线)于点m，n当man绕点a旋转到bm=dn时(如图1)，易证bm+dn=mn(1)当man绕点a旋转到bmdn时(如图2)，线段bm，dn和mn之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明(2)当man绕点a旋转到如图3的位置时，线段bm，dn和mn之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6.(14房山2模). 边长为2的正方形的两顶点、分别

6、在正方形efgh的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；（3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形abcd中，ac，bd为对角线，将bac绕顶点a 逆时针旋转°（045），旋转后角的两边分别交bd于点p、点q，交bc，cd于点e、点f，连接ef，eq（1）在bac的旋转过程中，aeq的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围

7、（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究apq与aef的面积的数量关系，写出结论并加以证明8已知在中，于，点在直线上，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：_，_；（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由图1备用图9.(2014平谷一模24)（1）如图1，点e、f分别是正方形abcd的边bc、cd上的点，eaf=45°，连接ef，则ef、be、fd之间的数量关系是：ef=be+fd连结bd，交a

8、e、af于点m、n，且mn、bm、dn满足，请证明这个等量关系；（2）在abc中， ab=ac，点d、e分别为bc边上的两点如图2，当bac=60°，dae=30°时，bd、de、ec应满足的等量关系是如图3，当bac=，(0°<<90°)，dae=时，bd、de、ec应满足的等量关系是_【参考：】注意：(1) 在正方形abcd中，ab=ad，bad=90°，abm=adn=45° 把abm绕点a逆时针旋转90°得到连结则,， eaf=45°，bam+dan=45°, dam+daf=45&#

9、176;, =mn在中，, （2） ； 3.空翻模型例题：1.如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解析】 猜测.过点作交于点，又，而，2.如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？ 【解析】 猜测.在上截取，3.【探究发现】如图，是等边三角形，ef交等边三角形外角平分线cf所在的直线于点f当点e是bc的中点时，有ae=ef成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究ae、ef的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点e是直线bc上（b,c除外）任意一点时(其它条件不变)，

10、结论ae=ef仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点e是线段bc上的任意一点”；“点是线段bc延长线上的任意一点”；“ 点是线段bc反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明【拓展应用】当点e在线段bc的延长线上时，若ce = bc，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出的值4.弦图模型外弦图 内弦图 总统图例题：1.两个全等的30°，60°三角板ade,bac,如右下图所示摆放，e、a、c在一条直线上，连接bd,取bd的 中点m，连接me，mc（1）求证：edmcam；（2）求证：emc为等腰直角三角形2.如图abc中，已

11、知a=90°，ab=ac,(1)d为ac中点，aebd于e,延长ae交bc于f,求证：adb=cdf(2)若d，m为ac上的三等分点，如图2，连bd，过a作aebd于点e，交bc于点f，连mf，判断adb与cmf的大小关系并证明 3.(14朝阳二模) 已知abc=90°，d是直线ab上的点，ad=bc（1）如图1，过点a作afab，并截取af=bd，连接dc、df、cf，判断cdf的形状并证明；（2）如图2，e是直线bc上的一点，直线ae、cd相交于点p，且apd=45°，求证bd=ce图2图1二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150及有一个角

12、是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 例题：1. 如图1，在abc中，已知bac=45°，adbc于d，bd=2，dc=3，求ad的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1她分别以ab、ac为对称轴，画出abd、acd的轴对称图形，d点的对称点为e、f，延长eb、fc相交于g点，得到四边形aegf是正方形设ad=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在abc中，bac=30°，adbc于d，ad=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形aegf，求bgc的周长（画图所用字母与图1中的字母对应）2. 问题：已知abc中，bac=2acb，点d是abc内一点，且ad=cd，bd=ba.探究dbc与abc度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出