3.3.1几何概型的教学设计1

1、几何概型教学设计 教材：人教A版必修三 “几何概型”的教学设计 一、教学背景分析 教材分析 本节课选自人教 A 版必修 3 第三章第三节儿何概型，共 2 课时，本节为第一课时。 本节课的主要内容为儿何概型的概念与计算方法。 “儿何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能性概率概型。在概率论中有着重要 的地位，是等可能性事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛满足随机事件的需求而新 增加的内容。 教材这样按排的作用：是为了体现儿何概型与古典概型的区别，巩固两种概型；为 解决实际问题提供了一种新的模型，同时通过本节课的学习，为第二课时的儿何概型应用以 及体会随机模拟统计思想打下基础，因此在教材中起

2、着承上启下的作用。 教学设计依据： （-）学情分析 学生前面已经学习公式解决事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型解决概率题, 很容易把本节内容与古典概型的特点、 计算方法等进行类比。 但是归纳推理与逻辑思维能力 还需进一步地培养和加强。如何将问题的实际背景转化为“儿何测度”，学生会有一些困难 和疑惑，这就需要恰当的引导。 学习的有利因素：初中教材已涉及到了简单的儿何概型，学生凭借直觉与生活经验能够 猜测出一些问题的结果。 学习的不利因素：其理论依据并不清楚，这就需要教师引导、猜想、验证，从数学的内 部去理解问题。 （二）教学问题诊断 本节课的难点让学生体会如何将问题的实际背景转化为“儿何

3、测度”，以及儿何概型的 概念和计算方法，这对于学生来讲还比较困难。针对教学难点，因此在设计教学时，我将采 用如下的突破策略: 首先复习古典概型的相关概念以及计算方式；其次让学生从熟悉的生活悄景中直观形象 中感受儿何概型的例子，体会从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生从直观 感知上产生好奇，引发思考，激发求知欲；随后通过提出猜想，鼓励学生动手操作，运用儿 何画板，利用Excel软件验证猜想，解决情景问题；然后运用新知，解决问题；最后通过自 身归纳总结。 总之在教学过程中，通过探究活动，引导学生通过分析思考、提出猜想、证明猜想、得 出结论从而体会儿何概型的概念以及计算方法。 教学方法分

4、析： 在启发合作探究教学过程中， 以问题引导学生思维。 教学设计突出探究性教学， 随着学 生思维的发展，问题设置层层递进，环环相扣，使学生对问题探究的思考逐步深入，思维水 平不断提高。通过直观感知、动手操作、 合作探究等环节让学生体会儿何概型概念以及计算 方法的生成过程， 体会几何概型的关键因素。 新课程倡导学生自主探究学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促 进者。注重以学生发展为本，结合学生认知规律及教材内容特点，采用探究合作式教学方法。 通过学生生活情景出发，从感性到理性的认识，引导学生主动概括与归纳儿何概型概念及公 式，进而突破难点；通过情境创设与具体的实例，引导学生明确

5、儿何概型的应用从而突破难 点。 二、教学目标分析 1、 知识与技能： 理解儿何概型概念及计算公式；初步掌握儿何概型的判断及概率计算。 2、 过程与方法： 经历儿何概型的概念构建过程，体会感性到理性的认知过程，从中体会类比、转化等 数学思想方法。 3、 情感与态度： 立足于最近发展区理论，学生于原有发展水平基础上，在问题、知识、方法、思想等 方面得到相应发展。 三、教学重点与难点 （-）教学重点 1、 儿何概型的概念形成和公式的构建； 2、 儿何概型的思想方法体验。 （二）教学难点 儿何概型的概念形成和公式的构建 四、教学过程设计 教学内容 师生活动（预设） 设计意图 一、 复习回顾 问题 1：

6、什么是古典概型？ 问题 2：古典概率的计算公式是 什么？ 二、 创设情景 情境 1：小明同学到学校的时间 师：我们知道随机事件是在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件。一个随 机事件是由若干个可能结果构成，而每 一个可能结果就是一个基本事件。上节 课我们学习了一种重要的概率模型- 古典概型。那什么是古典概型？ 生（齐）：1.在一次试验中所有出现可 能的结果（基本事件）只有限个；2.每个 基本事件出现的可能性相等。 师：古典概率的计算公式是什么？ 生（齐）： A 包含的基本事件的个数 （ 基本事件的总数 师： 今天我们来学习另一种重要的概率 模型，在学习之前我们先来观察儿个我 们熟悉的生活悄

7、景。 通过复习随机事 件、 古典概型的 概念， 遵循学生 的认知发展规 律， 为学习儿何 概型的知识作好 准备。 可能是 7:00-8:00 之间的任何一 师：小明同学到学校的时间可能是 7:00 通过创设情境让 个时刻，老师 7:508:00要点名, &00 之间的任何一个时刻，老师 学生体会儿何概 求小明 7:50&00 到校的概率是 多少？ 7:508:00 要点名，求小明 7:508:00 型的模型普遍存 到校的概率是多少？ 在于我们的生活 爍 G 中；通过实际问 题的提出，引发 .扎扎扎兀 学生的认知冲 7:00 I I | I WXI 突，激发学生的 学习兴趣，使儿

8、 问题 3：该事件中基本事件是什 师：小明到学校的时刻是随机的吗？ 何概型的引入更 加迫切与自然。 么？ 生（齐）：是随机的。 问题 4：基本事件等可能吗？ 师：该事件中基本事件是什么？ 问题 5：基本事件有多少个？ 生（齐）：小明 7:008:00 之间到学校 的任何一个时刻。 情境 2：有同学喜欢在教室抛橡 师：基本事件等可能吗？ 生（齐）：可能性相等 师：基本事件有多少个？ 生（齐）：无限个 师：比如小明到校时刻可能是 7 点 05 分 05秒，7点 26 分 06 秒，7 点 47分，7 点 56 分08 秒等等。 师：下面我们来看第二个情景，有同学 创设学生熟悉的 皮擦，橡皮擦落在讲

9、台的概率是 喜欢在教室抛橡皮擦，橡皮擦落在讲台 悄景，贴近学生 多少？ 的概率是多少？ 生活，激发学生 师：抛橡皮擦落的位置点是随机的吗？ 学习的兴趣，引 生（齐）：是随机的。 导学生从有限到 无限的思维转 变。 E*O 缰星 师：该事件中基本事件是什么？ 生（齐）：是橡皮擦落在讲台的区域。 师：基本事件等可能吗？ 生（齐）：可能性相等 师：基本事件有多少个？ 问题 6：该事件中基本事件是什 么？ 生（齐）：无限个 问题 7：基本事件等可能吗？ 问题 8 8：基本事件有多少个？ 情境 3 3：面积为的正方形区 域内有一面积为兀cm1的圆形区 域，现将一颗豆子随机的抛掷在 正方形内， 求豆子落在

10、圆形区域 的概率 HAHA）。（不计豆子面积且 都能落在区域内） 问题 9 9： 该事件中基本事件是什 么？ 问题 1010：基本事件等可能吗？ 问题 H H：基本事件有多少个？ 三、合作探究 师：下面我们来看第三个情景，面积为 的正方形区域内有一面积为兀品 的圆形区域，现将一颗豆子随机的抛掷 在正方形内，求豆子落在圆形区域的概 率 P P（A A）。 （不计豆子面积且都能落在区 域内） 师：投掷豆子在圆内位置点是随机的 吗？ 生（齐）：是随机的。 师：该事件中基本事件是什么？ 生（齐）：豆子落在圆形区域。 师：基本事件等可能吗？ 生（齐）：可能性相等 师：基本事件有多少个？ 生（齐）:无限个

11、 师：上节课我们学习的古典概率是解决 试验中出现的结果为有限个，如何解决 试验结果为无限个且可能性相等的问 题，需要引入一种新的概率模型一一儿 何概型。 师：回到刚才的抛豆子试验中，我们知 道基本事件是豆子落入圆形区域内，而 且每个基本事件的可能性相等，且基本 事件有无限个。 根据古典概型的计算公式，事件 A A 的 与古典概型类 比，引起学生认 知上的冲突， 很 自然地引入新的 概率模型。 师：现在大家分组进行手动验证猜想， 计算出落入圆内的豆子，记录每一组数 据，统计出每组的数据并求出相应频数。 师：请每一组代表说一下你们组所得试 验结果。 生 1:我们组共试验了 10 次，所求频数 为

12、0. 776, 0. 77, 0.75, 0. 78, 0. 7759, 0. 779066667, 0. 7802, 0. 78, 0. 79, 0. 76 生2：我们组共试验了 20次， 所求频数 为 0. 776, 0. 77, 0.75, 0. 78, 0. 7759, 0. 779066667 , 0. 7802 , 0. 78, 0. 79, 0. 76 . 生 3：我们组共试验了 13 次，所求频数 为 0. 776, 0. 77, 0.75, 0. 78, 0. 7759, 0. 779066667 , 0. 7802 , 0. 78, 0.79,P(A) = 大胆猜想 数满足

13、条件的基本事件个数 总的基本事件的个数 圆内点的个数 正方形内点的个数 圆的面积_兀 正方形面积二 A 验证猜想 概率等于满足条件的基本事件个数除以 总的基本事件的个数，等于圆内点的个 数除以正方形内点的个数，而圆内点个 数有无数个，正方形内点的个数无数， 这就等于无数比无数。而圆内的无数个 点构成圆的面积，正方形内的无数个点 构成正方形。 我们不妨大胆猜想豆子落入圆内的 概率就为圆面积比上正方形的面积。 圆的面积为多少？ 生（齐）： 师：正方形的面积为多少？ 生（齐）：4CF 师：则事件发生的概率我们猜想是什 么？ 生（齐）：事件发生的概率等于圆的面 积比上正方形面积，即： - 0.7853

14、98163 4 通过让学生亲自 手动验证猜想， 激发学生学习的 兴趣，体会儿何 概型的形成过 程。 撒豆子实验 0. 76 . 生 4：我们组共试验了 25 次，所求频数 为 0.776, 0. 77, 0.75, 0. 78, 0.7759, 0. 779066667 , 0. 7802 , 0. 78, 0.79, 0. 76 . 师：手动验证，所得的数据有限，不具 有普遍性，现在大家小组合作探究，利 用计算机、儿何画板记录求出实验的总 次数、实验的频数、实验的频率并填写 好抛掷豆子实验报告表。 师：现在我们利用疋比刃软件，根据学 生 1的投掷豆子报告实验表中的数据， 画出对应的折线统计图

15、。模拟估计 齟子 试殁总次敷-0.00 饶亞 H内次故-0 00 师：请每组代表说一下你们所做的实验 结果。 生 1:我们组的投掷豆子实验报告表如 下： 撒豆子 : I少 氛 4 H內次刿 肾内次 0 Z SHE 的 +0.7X540 试沟总状”KIJU 抛掷豆子实验报告表 m 实验的 总次数 实验的 频数 实验的 频率 猜想的 概率 1 5K) 3S8 0.776 0.785398163 2 1000 768 0.768 0.785398163 3 5111)0 3900 0.7 0.785398163 4 10(100 7759 0.7759 0.785398163 5 1MOO 116M

16、 0.7791)6666 1).785398163 6 2(X100 15MM 0.7802 1).785398163 7 210M 1687 0.780333333 D.785398163 8 254KIO 19S37 0.78148 0.78539SI63 9 30000 23462 0.782066667 0.785398163 10 35000 27397 0.782771429 0.785398163 11 4IMMIO 31335 0.783375 II.78539XI63 12 45000 3S291 0.784244444 0.785398163 13 SiKKIO 39253

17、 0.78506 1).785398163 通 过学生 运用 计 算 机中儿 何画 板 模 拟佔汁 来验 证 猜想，让学生完 整体会数学概念 和问题的抽象与 提炼过程，培养 学生动手操作、 观察、分析数据、 统讣数据和解决 问题的能力。 抛掷豆子实验报告表 纽别 实购的 总次数 实检的 频数 实悄的 频率 猜想的 槪率 1 2 3 4 5 0 7 9 10 11 12 13 通过运用Excel 软件，根据学生 1 的投掷豆子报 证明结论 丁 - / 一实聆的皴牛 沦 . . 师：从这个折线图可以观察出实验的频 率与猜想概率之间存在什么关系？ 生（齐）：当试验次数很大时，频率无 限接近猜想的概率

18、。 师：通过生动验证以及计算机模拟佔讣， 验证我们的猜想正确，所以 数满足条件的基本事件个数 ） 总的基本事件的个数 圆内点的个数 正方形内点的个数 _圆的面积 正方形面积 4 告实验表中的数 据， 画出对应的 折线统计图， 有 利于学生更加形 象直观观察实验 频率与猜想概率 之间的关系， 学 生更能归纳总结 出儿何概型的概 念， 从而形成儿 何概型的概念， 明白该模型的计 算方法。 概念形成 1 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率 只与构成该事件区域的长度（面 积或体积）成比例，则称这样的 概率模型为儿何概率模型，简称 儿何概型。 2.在几何概型中，事件 A 的概率 计算公式： pi .

19、 构成 1WA的K 域（而枳或体枳） 师：随机事件所包含的基本事件组成的 区域与总的基本事件所在区域存在什么 关系？ 生（齐）：随机事件所包含的基本事件 组成的区域是总的基本事件所在区域的 一部分，而与它的形状及位置无关。 师：我们把如果每个事件发生的概率只 与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为儿何概 率模型，简称儿何概型。 通过概念的学 习，训练学生观 察和概括归纳的 能力，明确儿何 概型的概念与计 算公式。 问题 1212：儿何概型的特点? 问题 1313：儿何概型与古典概型的 区别？ 应用新知 例 1 1 变式 在体积为 8c8cF F 的正方形体 内有一体

20、积为-cm3的内切球 3 （如图），现随机地在正方形内 任取一点，求该点为球内点的概 率？ 师：大家总结一下儿何概型的计算方法 是什么？ 生（齐）：构成基本事件的区域长度除 以试验的全部结果所构成的区间长度 师：对于儿何概型中，事件 A A 的概率计 算公式： p（A= 构 gggjgg域（個积或体积） I厂试验的全部岀果所构成的区域长度而枳或体枳 师：儿何概型的特点是在一次试验中所 有出现可能的结果（基本事件）为无限 个且每个基本事件出现的可能性相等。 这无限个基本事件组成线、平面、儿何 体等，而随机事件所包含的基本事件也 组成相应的线、平面、儿何体等。 师：儿何概型与古典概型的区别是什 么

21、？ 生（齐）：古典概型的基本事件是有限 个，而儿何概型的基本事件是无限个。 师：下面我们来看一道变式题。 师：在体积为&的正方形体内有一体 积为- -C/PC/P 的内切球（如图），现随机地 3 在正方形内任取一点，求该点为球内点 的概率？ 通过变式例 b 巩固新知，培养 学生运用数学知 识，独立解决问 题的能力。 问题 1414：基本事件是什么？ 问题 1515：基本事件的可能性相等 吗？ 问题 1616：基本事件可能试验结果 有多少？ 师：该试验的基本事件是什么？ 生（齐）：球内的点。 师：基本事件的可能性相等吗？ 生（齐）：相等。 师：试验的结果有多少？ 生（齐）：无限多个。 师

22、：这个概率模型是儿何概型吗？ 生（齐）：是的。 师：请计算出该点为球内点的概率？ 生（齐）：球的体积除以正方形的体积， 即： 4 P（A） - 球-彳-兀 叫 8 6 多媒体投影变式 题， 引导学生读 题，分析试验的 特征，确定儿何 概型，得出答案， 巩固新知。 回到情境 解决问题 情境 1：小明同学到学校的时间 可能是 7:00-8:00之间的任何一 个时刻，老师 7:508:00 要点名, 求小明 7:508:00到校的概率是 多少？ 1 It. 师：回到前面的情景 1中，该事件是否 是儿何概型？ 生（齐）：是的。 师：前面我们分析出其基本事件为小明 7:508:00 到校的任何一个时刻。

23、我们 不妨设基本事件 A为小明 7:508:00 的 任何一个时刻。 师：总的基本事件是什么？ 通过回顾情景， 解决问题，巩固 所学知识，培养 学生解决实际问 题能力，体会生 活中处处有数 学，数学源于生 活，服务于生活。 7:00 | 1 1 1 WXl 问题 17：该事件是否是儿何概 型？ 问题 18：总的基本事件是什么？ 问题 19：小明 7:508:00 到校的 概率是多少？ 生（齐）：总的基本事件为 7:008:00 的任何一个时刻，组成一条线段。 师：这里我们以分钟为单位，那长度为 60 分钟， 事件 A 的长度为 10 分钟。 小明 7:50&00到校的概率是多少？ （）锄 7:00 7:50 8:00 単化分什 生：HA）疇 师：回答正确。以总的基本事件所在的 线段长度 60为分母，以基本事件 A 所在 的线段长度 10为分子，它们的比丄就是 6 所求概率。 情境 2：有同学喜欢在教室抛橡 皮擦， 橡皮擦落在讲台的概率是 多少？ 问题 20：该事件是否是儿何概 型？ 问题 21：设教室是一个长宽 为 b 的长方形，