【精校】2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试( 浙江卷 ) 数学理一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合 P=x R|1<x<3, Q=xC R|x2A4,则 PU(CrQ)=()A.2 ， 38 .(-2 ， 3C.1 ， 2)D.(-巴-2 U 1 , +8)解析：Q=xC R|x2 >4=x C R|x A2 或 x&-2,即有 CQ=xC R|-2 vxv2,则 PU (CrQ)=(-2 , 3.答案： B9 .已知互相垂直的平面a , 3交于直线l ,若直线mi n满足m/

2、a , n，B ,则()A.m/ lB.m/ nC.nllD.m± n解析：互相垂直的平面a , B交于直线l ,直线m, n满足m/风,：m/ B 或 m B 或 ml B , l B ,/ n± (3 , ; nil.答案： C10 在平面上，过点 P作直线l的垂线所得的垂足称为点 P在直线l上的投影，由区域 x 2 0，x y 0, 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|二( )x 3y 4 016A.2 2B.4C.3 2D.6工=2区域内的点在直线x+y-2=0解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）,上的投影构成线段R'

3、; Q',即SAB而R'Q =RQ3y0，曰 x得y1, 一即 Q(-1 , 1),1,2,2,2,则 |AB|=|QR|= 、12 212 2.9-9 3 2.答案：C4.命题“xC RnW N*,使得n>x2”的否定形式是A.xC RnW N*,使得nvx2B.xC RnW N*,使得nvx2C.xC R,2n 6 N*,使得 nvxD.xC R,n C N*,使得 n v x2解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x C R,n C N*,使得 n > x2”的否定形式是： x R,nW N*,使得nvx2.答案：D.5 .设函数f(x)=sin 2

4、x+bsinx+c ,则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关 解析：二,设函数 f(x)=sin 2x+bsinx+c , ：c是图象的纵坐标增加了 c,横坐标不变，故周期与 c无关,当 b=0 时，f(x)=sin 2x+bsinx+c=- 1cos2x+1+c 的最小正周期为 T=2二n， 222当 bw0 时，f(x尸- cos2x+bsinx+ 1+c, 22y=cos2x的最小正周期为n，y=bsinx的最小正周期为 2n，f(x)的最小正周期为2n，故f(x)的最小正周期与b有关.答案：B6 .如图

5、，点列An、Bn分别在某锐角的两边上,且 |AnA+l| = |A n+lA+21，AnAn+1, nCN*, |BnB+i|=|B n+B+2|,BnwB+1,nW N*,(P wQ 表示点P与 Q 不重合)若dn=|AnBn|,S 为AnBB的面积，则()昂 里 扁 当A.S n是等差数列B.S n2是等差数列C.d n是等差数列D.d n2是等差数列解析：设锐角的顶点为O, |OA1|二a , |OB|二b,|AnA+l| = |A n+A+2| = b , |BnR+l| = |B n+B+2|=d , 由于a, b不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设ABBn+1

6、的底边 RBn+1上的高为hn,由三角形的相似可得旦 2 a n 1b,皿OA a n 1b hn 1 OAn 1 a nbhn 1OAn 1 a nb两式相加可得,hnhn 22a 2nbhn 1a nb2 ,即有 hn+hn+2=2hn+1 ,1由$=1d hn,可得S+Sn+2=2$+1,即为S+2-Sn+1 = $+1-Sn,则数列Sn为等差数列. 2答案：A7.已知椭圆G:22Xy =1(m> 1)与双曲线 O: 2- n2y =1(n >0)的焦点重合，e1, e2分别为C1,。的离心率，则()A.m> n 且 e1e2> 1B.m> n 且 e1e2

7、 V 1C.m< n 且 e1e2> 1D.m< n 且 e1e2 V 1解析：.椭圆C:2X2 m22X 2y =1(m>1)与双曲线。：-2 y =1(n >0)的焦点重合,n;满足 c2=m-1=n2+1,即 n2-n2=2>0, ： m>n：则 m>n,排除 C, D.则 cJrVivr2，c2=n2+1>n2, 则 cvm.c>n, e1 = , mc e2=,n2贝(j e1 e2= = m n mn22c c-2 m nm2 1 n2 12 222m n m n 122m n1 m2 n2 12 12212-2m nm

8、n1 -22 >1， m n. . ee2> 1 , 答案：A.8 .已知实数a, b, c.()A.若 |a 2+b+c|+|a+b 2+c|<1,则 a2+b2+c2< 1009 .若 |a 2+b+c|+|a 2+b-c| <1,则 a2+b2+c2< 100C.若 |a+b+c2|+|a+b-c 2|<1,贝1 a2+b2+c2< 100D.若 |a2+b+c|+|a+b 2-c| <1, WJ a2+b2+c2< 100解析：A.设 a=b=10, c=-110 ,贝1J |a 2+b+c|+|a+b 2+c|=0 <

9、 1, a2+b2+c2> 100;B.设 a=10, b=-100, c=0,贝1J |a 2+b+c|+|a 2+b-c|=0 <1, a2+b2+c2> 100;C.设 a=100, b=-100, c=0,则 |a+b+c 2|+|a+b-c 2|=0 < 1, a2+b2+c2>100.答案：D二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题4分，共36分.10 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.解析：抛物线的准线为 x=-1 ,二.点M到焦点的距离为10,二点M到准线x=-1的距离为10,:点M到y轴的距离为9

10、.答案：9.10 .已知 2cos2x+sin2x=Asin( w x+ 6 )+b(A >0),贝1 A=, b= .=1 + .2(库cos2x+2j+12解析：: 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=显 sin(2x+ )+1 , 4' A=y/2 , b=1,答案：.,2 ； 1.11 .某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是cm 2,体积是3 cm.正视图 侧视图俯视图解析：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的,则其表面积为22 X (24-6)=72cm 2,其体积为4 X 23=32,答案：72, 32

11、12 .已知 a>b>1,若 log ab+log ba=5 , ab=ba,贝U a=, b= .2解析：设 t=log ba,由 a>b>1 知 t>1,代入 log ab+log ba=5 得 t+1 =勺，2 t 2即 2t 2-5t+2=0 ,解得 t=2 或 t= 1(舍去)，所以 log ba=2,即 a=b2, 2因为 ab=ba,所以 b2b=ba,则 a=2b=t2,解得 b=2, a=4,答案：4; 2.*13 .设数列an的前 n 项和为 S,若 &=4, an+i=2$+i, n C N , WJ ai=, 4=.解析：由 n=1

12、 时，ai=Si,可得 a2=2S+1=2ai+1,又 卷=4,即 ai+a2=4,即有 3ai+i=4,解得 ai=i ；由 小+产S+i-Sn,可得 S+i=3S+i,由 展=4,可得 &=3X4+i=i3, &=3X i3+i=40, &=3X 40+i=i2i.答案：i, i2i.14 .如图，在 ABC中，AB=BC=2/ABC=i20 .若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA PB=BA则四面体PBCD勺体积的最大值是.解析：如图，M是AC的中点.当AD=tv AM=/3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是 A到BD的距离，即图hDM=/

13、3-t ,由 AD&ABDbM 可得- 1V1 2.3 t 1 ,t 13 2, ,3 t2 i 6当AD=t> AM=73时，如图，此时高为3.3 t 2-3 t 2 1t c (0, 73).P到BD的距离，也就是 A到BD的距离，即图中AH2DM=t-73,由等面积，可得1BM!- BD- AH224m2 1，h=.J31 1.V=3 2tJ3 t23.3 t,3 t2C(T3, 273).综上所述,V=16,3 t2令m= 32),则V=-624 md,m=1 时,mVmaJ .215.已知向量,b , | a |=1 , | b |=2 ,若对任意单位向量rb的最大值是

14、解析:r rK a+b)r rI a - e|+|：|( a+b) e| <| a+b | <| a|2+| b| 2+2a . b& &,r 即 12+22+2ar1b的最大值是1.2三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB.(I )证明：A=2B2(n )若 ABC的面积S=,求角A的大小.4解析：(I)利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B212(阴若4ABC的面积S=,则,bcsinA=,结合正弦定理、二倍角公式，即

15、可求角 424A的大小.答案：(I)'.' b+c=2acosB, sinB+sinC=2sinAcosB ,sinB+sin(A+B)=2sinAcosB ,sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ,sinB=2=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B) ,.A, B是三角形中的角，：B=A-B, ：A=2B.a21 . . . a2(n) . ABC的面积 S=, bcsinA=,.2bcsinA=a2 , 2sinBsinC=sinA=sin2B 424：sinC=cosB , B B+C=90 ,或 C=B+90 , ： A=90&

16、#176; 或 A=45° .17.如图，在三棱台 ABC-DE叩，已知平面 BCFEL平面ABC / ACB=90 , BE=EF=FC= ,1BC=2, AC=3(I)求证：EF±¥面 ACFD(II)求二面角B-AD-F的余弦值.解析：(I)先证明BF±AC再证明BF±CK,进而得到BF，平面ACFD.(II)先找二面角B-AD-F的平面角，再在RtBQF计算，即可得出.答案：(I)延长AD BE, CF相交于点K,如图所示，二平面BCFEL平面ABC / ACB=90 , AC，平面 BCK BF±AC.又 EF/ BC, B

17、E=EF=FC=1 BC=2. ： BC。等边三角形，且 F 为 CK的中点，则 BF± CK ：BF，平面 ACFD.(II)过点F作FQL AK,连接BQKVBF±¥面 ACFD.：BF，AK 则 AK1平面 BQF:BQ! AK. ： / BQF是二面角B-AD-F的平面角.在 RtACK中,AC=3 CK=2 可得 FQ包13.13在 RtBQF中， BF=V3, FQ=3"3.可得：cos/BQF=3.1343.面角B-AD-F的平面角的余弦值为 宁.18.已知 a>3,函数 F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中 m

18、in(p , q)=p, p q q，p> q.(I )求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；(n )(i)求F(x)的最小值 m(a);(ii) 求F(x)在0, 6上的最大值 M(a).解析：(I )由a>3,讨论x<1时，x>1,去掉绝对值，化简 x2-2ax+4a-2-2|x-1|,判断符号，即可得到 F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；(II )(i)设 f(x)=2|x-1|, g(x)=x 2-2ax+4a-2 ,求得 f(x)和 g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值；(ii)分别对当0<x&

19、lt;2时，当2Vx<6时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在0 ,6上的最大值 M(a).答案：(I )由a>3,故x<1时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;当 x>1 时，x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-(2+2a)x+4a=(x-2)(x-2a),则等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是(2 , 2a); (n )(i)设 f(x)=2|x-1|, g(x)=x 2-2ax+4a-2 ,则 f(x) min=f(1)=0 , g(x) min=g(a户-a 2+4a2.由-a2+4

20、a-2=0,解得a=2+72（负的舍去），由F(x)的定义可得 m(a户minf(1) , g,即 m(a)=0,3 aa2 4a 2, a>2,2.(ii) 当 0<x<2 时，F(x) <f(x) < maxf(0) , f(2)=2=F(2);当 2Vx<6 时，F(x) < g(x) <maxg(2) , g(6)=max2 , 34-8a=maxF(2) , F(6).则 M(a)=34 8a,32, a>4.4,2（I）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a, k表示）（n）若任意以点a（0, 1）为圆心的圆与椭圆至多有三个

21、公共点，求椭圆的离心率的取值 范围.解析：（I ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可（n）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 A（0, 1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围答案：（I）由题意可得:y kx 1,x22 可得：(1+a2k2)x2+2ka2x=0,y2 1， a得 Xi=0 或 x2= -2ka 21 k a直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：J1k2 x1 x22a 2k2 TTV .1 a2k2(n)假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点

22、P,Q,满足 |AP|二|AQ| ,记直线AP, AQ的斜率分别为：ki, k2；且ki, k2>0, kiWkz,由(1)可知 |AP|= 2a 小1 2 kL , |AQ|= 2a 卜21 2 k2_ , 1 a k11 a k2皿2a2k1J1k122a2k2J1k2222222222,故： 1 ； 2 1 =2 ¥ 2 2 ,所以,(k12-k22)1+k 12+k22+a2(2-a 2)k12k22=0 ,由1 a k11 a k2k1 w k2,k, k2>0,可得：1+k12+k22+a2(2-a 2)k 12k22=0, 11因此(：2+1)( -12+1

23、)=1+a2(a2-2)，因为式关于k, k2；的方程有解的充要条件是：1+a2(a2-2) >1,所以a>五.因此，任意点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1vav2,c a2 12e=- 得，所求离心率的取值范围是：0ve< 1.a a220.设数列满足|a n- 冬| <1, n C N*2(I)求证：|a n| >2n-1(|a 1|-2)(nC N*)(n)若|an| <( 3)n, nCN*,证明：|an|<2, n C N* 2，一一 一一 1 an an 11解析：(I)使用三角不等式得出|an| - |an+

24、1|<1,变形得 T 17T,使用累加法22n 2n2n可求得国V1,即结论成立； 22n(II)利用的结论得出 处目,进而得出|an| <2+(3)m- 2n,利用m的任意2224性可证|a n| <2.答案：(I) |an- an_1| <1, |an|- 1 |an+i| < 1 ,：阚 1-1- , nCN*,222n2n 7<1.2n2211 + + 12T 23+ +2A |a n| >2n-1(|a1|-2)(n N*).(II)任取 nW N*,由(I)知,对于任意 m> n,Ian2nam2man2nanan 1|a n|2n

25、12nan 22n 2am 12m 1am2m12n 112m 112m n 12<1212n 11V 2n 1am 2n2m12n 112mm2nm2n.:同母=（同母双母母心以 22n22222n由m的任意性可知|an| < 2.否则，存在n0c N*,使得| an0 | >2,一一，an0 2 -取正整数 mo> log 3且 m>n0, 则42n0Q 叫 Q a J 22n03<2n°e log3 an0 2,与式矛盾4442no综上，对于任意n C N*,都有|a n| <2.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁

26、都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的 知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的

27、一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。一是学会合理定位考试成绩你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时 “放一放”， 把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。二是认真