定积分的应用

1、8.5定积分的应用平面区域的面积平面曲线的弧长应用截面积求体积旋转体的侧面积一微元法微元法元素法元素法一、一、微元法微元法 利用定积分计算利用定积分计算实际实际问题，首先根据实际问题，首先根据实际问题的实际意义问题的实际意义做出积分和做出积分和，然后再，然后再取极取极限限，从而就将实际问题，从而就将实际问题抽象抽象为定积分为定积分.但是，但是，将将作积分和作积分和与与取极限取极限两步分开的做法比较两步分开的做法比较麻烦。在实际应用中是将作积分和与取极麻烦。在实际应用中是将作积分和与取极限两步限两步合并合并为一步，即为一步，即“微元法微元法”，简便，简便易行易行. 定积分是分布在区间上的定积分是

2、分布在区间上的整体整体量量.因为整体是由因为整体是由局部局部组成的，所以将实际问题组成的，所以将实际问题抽象抽象为定积分，为定积分，必须必须从整体着眼，从局部入手从整体着眼，从局部入手 .这里所说的局这里所说的局部部不是不是区间分法的小区间，而是小区间在极限区间分法的小区间，而是小区间在极限( )过程中缩小为一过程中缩小为一“点点”了了.但是，我但是，我们看待这个们看待这个“点点”仍具有小区间的意义仍具有小区间的意义.例如，例如，他们的他们的“长长”是是dx.0具体作法是： 首先首先将区间上的将区间上的整体量整体量化成区间上每一化成区间上每一点点的的微分微分，亦称，亦称化整为零积零为整即即:

3、待求的定积分待求的定积分 化整为零局部微分局部微分 积零为整得到的定积分得到的定积分具体过程是：具体过程是：下面以曲边梯形的面积为例，下面以曲边梯形的面积为例，说明怎样用微元法将实际问题说明怎样用微元法将实际问题化成化成定积分定积分ab xyo)(xfy a按定义，将按定义，将面积面积转化转化为定积分的为定积分的步骤步骤如下如下iiixfa )( iix （3）求和求和，得，得a的近似值的近似值.)(1iinixfa （4）求极限求极限，得，得a的精确值的精确值iinixfa )(lim10 badxxf)( .da首先首先求曲边求曲边梯形面积的梯形面积的面积微元面积微元 , a b, x在在

4、上任取一上任取一点点在点在点xda( ),f x上的面积微元上的面积微元就是就是高高为为“宽宽”为微分为微分dx的矩形面积，即的矩形面积，即 ( ).daf x dx其次其次将每一将每一点点x的面积的面积da 微元微元连续累加连续累加ab到到从从 a到到b就得到所求的曲边梯形的面积就得到所求的曲边梯形的面积定积分定积分 babadxxfdaa)(起来，即得起来，即得 从上例可以看出，欲将实际问题从上例可以看出，欲将实际问题抽象抽象为定积分，为定积分，首先首先，求微元求微元.要求出要求出欲求量欲求量的的微元微元. 例如，求曲边梯形面积就要求出例如，求曲边梯形面积就要求出面积面积微元微元.其次其次

5、，求积分求积分. 再将每一点上的微元再将每一点上的微元连续累加连续累加起来，就得到了定积分起来，就得到了定积分.微元法 微元法是分析、解决实际问题中的微元法是分析、解决实际问题中的常用方法，也是从常用方法，也是从部分部分到到整体整体的思维的思维方法。用该方法可以使一些方法。用该方法可以使一些复杂复杂的过的过程，用我们熟悉的规律迅速地加以解程，用我们熟悉的规律迅速地加以解决，使所求的问题决，使所求的问题简单化简单化。 “微元微元”字面上理解：字面上理解：微小微小的、的、细微细微的的元素元素.微元法微元法，一句话，一句话“简单简单方法解决方法解决复杂复杂问题的方问题的方法法”. 具体说是具体说是“

6、用最简单、最原始的公用最简单、最原始的公式写出式写出微元微元，从而，从而积分积分解决一个较复杂解决一个较复杂的物质量的计算问题的物质量的计算问题”的方法的方法. 也就是说谓的也就是说谓的“常代变常代变”、“直代直代曲曲”、“匀代不匀匀代不匀”的的局部线性化局部线性化思想思想. “微元微元”字面上理解：字面上理解：微小微小的、的、细微细微的的元素元素，它具备以下三点特性：它具备以下三点特性：1.与原物质与原物质属性相同属性相同 2.比原物质要比原物质要微小微小3.比原物质比原物质单纯单纯、计算方法、计算方法简单简单， 回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfa)(定积分的

7、微元法ab xyo)(xfy 按定义，将按定义，将面积面积转化转化为定积分的为定积分的步骤步骤如下如下iiixfa )( iix （3）求和求和，得，得a的近似值的近似值.)(1iinixfa （4）求极限求极限，得，得a的精确值的精确值iinixfa )(lim10 badxxf)(分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到: 所求量所求量(即面积即面积)a满足：满足：1。与与区间区间a, b及及a, b上连续上连续函数函数f(x)有关有关;2。对对a, b具有具有可加性可加性，; 1iniaa 即即3。 ( ), ()iiiiafxox局部量且误差为step1: 选取积分变量及积分选取积

8、分变量及积分区间（如区间（如x属于属于a, b）step2: 取微分区间取微分区间x, x+dx 求出求出 ( ) ()af x dxd d 局局部部量量 ( ) daf x dx 并并记记称称为为面面积积元元素素 step3: ()baafx dx 计计 算算这种方法称为定积分的这种方法称为定积分的微元法微元法。（元素法）（元素法） 实际上，引出实际上，引出a的积分表达式的关键步骤的积分表达式的关键步骤 是是第二步第二步，因此求解可，因此求解可简化简化如下：如下：微元法微元法(元素法元素法)的一般的一般步骤步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法(元素法元素法) 欲将实际问题欲将实

9、际问题抽象抽象为定积分，为定积分，首先首先，要求出，要求出欲求量欲求量的的微元微元.其次其次，再将每一点上的微元，再将每一点上的微元连续累加连续累加起来，起来， 就得到了就得到了定积分定积分.1 求微元求微元写出典型小区间写出典型小区间 ,badxxx 上的局部量上的局部量 u 的近似值的近似值dxxfdu)( 这就是局部量的这就是局部量的微元微元2 求积分求积分即把微元即把微元 du在区间在区间 a , b 上上 dxxf)(作积分表达式，作积分表达式，求它在求它在 a , b 上的定积分，即上的定积分，即 badxxfu)(这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来 ，相当于把

10、相当于把 具体做法是：具体做法是：在采用微元法时在采用微元法时,必须必须注意注意如下几点如下几点:1) 所求量所求量(面积面积) a关于分布区间关于分布区间(a,b)必须是必须是代数可加代数可加的的.2) 微元法的微元法的关键关键是是正确正确给出给出 的的近似表达式近似表达式)()(xoxxfa aa即adadxxfa )(.)()()(后果用微元法将导致严重的作为近似表达式，否则成立，则就不能用若不能保证xxfxoxxfa 在一般情况下在一般情况下,要严格检验要严格检验a- f( x)x 是否为是否为x 的高阶无的高阶无穷小量往往不是一件容易的事穷小量往往不是一件容易的事.因此对上式的合理性

11、需特别因此对上式的合理性需特别小心小心.若令在上一节我们已经熟知,)()( xadttfx且或为连续函数时，则当,)()(),()( )(dxxfxdxfxxf .)()(, 0)( badxxfba 现在恰好要把问题倒过来，现在恰好要把问题倒过来，就得到微元法就得到微元法.)(,),(,为最终所求的值时，而且当即的函数或说它是该区间端点上的，是分布在某区间如果所求量bbxbaxxxxa .)(,)(),()(0,)(,就是该问题所求的结果计算出来，那么只要把定积分亦即时，而且当为某一连续函数其中的线性形式近似表示为的微小增量若能把上，在任意小区间 badxxfdxxfdxoxxfxfdxxf

12、xbaxxx二、求面积求面积平面图形的平面图形的面积面积1、直角坐标系直角坐标系2、参数方程参数方程3、极坐标极坐标二二、平、平 面区域面区域( 图图 形形 )的的 面面 积积1、当、当 f (x) 0，定积分，定积分badxxf)(的的几何意义几何意义就是曲线就是曲线 y = f (x)直线直线 x = a， x = b， y = 0 所所围成的围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积baoxyay=f (x)s定积分的几何意义定积分的几何意义2、当函数、当函数 f (x) 0 ， x a, b 时定积分时定积分badxxf)(sdxxfba)(几何意义几何意义就是位于就是位于 x 轴下方的轴下方

13、的曲边梯形面积曲边梯形面积的的相反数相反数. 即即oxyaby=f (x)s几何意义：几何意义：( ),xf xxa xbxx它是介于 轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的在 轴上方的面积取正号；在 轴下方的面积代数和取负号 abbadxxf)(, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值1a2a3a4a4321)(aaaadxxfba abbadxxf)(直角坐标系下直角坐标系下平面图形的平面图形的面积面积 ：由定积分的几何意义，由定积分的几何意义，非负非负连续曲线连续曲线与直线： 轴所围成

14、的曲边梯形的面积为：)(xfy a0 xyb( ) , ,( ).( )( )( )( ).bacdacebdef xa baf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx若在上不都是非负的则所围成图形（如右图）的面积为bo)(xfy cdexyoa能为负，所以因为平面图形的面积不有如果, 0)(, 0)(, badxxfxfbax1122121122( )( )( )( ) .( )( )baxyf xyfxxaxbaf xfxyxg yxgyyayb一般地，若平面区域是区域： 由上曲线、下曲线、左直线、右直线所围成，则其面积公式为：若平面区域是区域： 由左曲线、右曲线、下直线

15、、上直线x型区域型区域21,( )( ).baagygy dy所围成则其面积公式为：如图所示。y型区域型区域yxo)(11xfy )(22xfyabxyoab)(1ygx )(2ygx 如果平面区域如果平面区域既不是既不是x型区域，型区域，也不是也不是y型区域，则用一组型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域平行于坐标轴的直线，把平面区域分成分成尽可能少尽可能少的若干个的若干个x型型区域与区域与y型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总总的面积等于各区域面积之的面积等于各区域面积之和和。如右下图：。如右下图：上曲线由三条不同的曲线：上曲线由三

16、条不同的曲线：ab、bc与与cd 构成；下曲构成；下曲线由两条不同曲线：线由两条不同曲线：ef与与fg所构成。为计算其面积，所构成。为计算其面积，可分别过点可分别过点b、c与与f作平行作平行于于 y轴的直线，则把平面区轴的直线，则把平面区域分成域分成4个个x型区域。型区域。yxeababcdfgo直角坐标系下的面积公式 xfy ab badxxfaab dxxfabaab xfy xfy1 xfy2 badxxfxfa21 ,yfxa b 设设在在连连续续 12,yfxyfxa b设设, ,在在连连续续xyo)(xfy ab)(xgy badxxgxfa| )()(|1x2x所围成，与及二直线

17、彼此可能相交与上的两条连续曲线平面区域是由区间bxaxxgyxfyba )()(,图形复杂分块简化在平面直角坐标系下，在平面直角坐标系下，面积微元面积微元的计算公式是用最简单的的计算公式是用最简单的小矩形面积小矩形面积. .221ln2 ,21所围成平面区域的面积与轴及二直线，上连续曲线求在区间 xxxxy则此区域的面积为上在上已知在, 0ln,2 , 1 ; 0ln, 1 ,21 xx.212ln2312)ln(211)ln(lnlnln21121221 xxxxxxxdxxdxdxxa.的圆的面积求半径为rxyo221xry 222xry 的圆的方程式是心为原点，半径为在直角坐标系中，取圆

18、r.222ryx .222221xryxry -下半圆的方程式是：；上半圆的方程式是：于是，圆的面积为dxxrdxyyrrrr 22212a2222arcsinrrrrxrxrx .22围成的平面区域的面积与求有两条曲线yxxy xyo11则此区域的面积为与两条曲线的交点是),1 , 1 ()0 , 0(310133132)(23102 xxdxxxa2xy 2yx .14,22围成的平面区域的面积和直线求由两条曲线 yxyxyxyo1122xy 42xy 1 y.2倍分面积的其面积是第一象限那部轴对称，此区域关于y，此区域的面积为与的交点分别是与与曲线在第一象限中，直线) 1 , 2() 1

19、 , 1 (4122xyxyy .344220221102 dxxdxdxxa解法一型区域 x解法二型区域-y此区域的面积是看作自变量所围成和直线曲线域是由在第一象限的那部分区看作自变量将)(12,.yyyxyxy 2、由、由参数方程参数方程表示的曲线表示的曲线所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积则由曲线则由曲线c 及直线及直线x = a, x = b 和和x 轴所围的图形轴所围的图形,其面积计算公式为其面积计算公式为dttta )( )(p30p278)cos1 (),sin()(tayttax ：摆线求轮转线.)20 , 0(轴围成区域的面积的一拱与xta a如果由参数方程如果由参数方

20、程所表示的曲线是所表示的曲线是封闭封闭的的,即有即有x = x( t), y = y( t), t ,x() = x(), y() = y(),且在且在(,)内内曲线曲线自身不再相交自身不再相交,那么由曲线自身所围图形的面积为那么由曲线自身所围图形的面积为ab 例 1 求椭圆求椭圆12222byax所围成的图形面积。 s 4s1 4dxxaaba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyo y22xaab s1则椭圆的面积为下页 由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线 baf(x)g(x)dx。 sxa、xb所围成的图形的面积为 解：设椭圆在第一象限的面

21、积为s1， s 4s1 4dxxaaba0220 的面积计算公式为：曲边扇形所围成的平面图形、两射线：与由曲线上连续，在其中给出，由极坐标方程曲线设)(.2,)(, )( crrrc dra)(2123、极坐标下平面图形的面积 1221,rrrrrr qaqb abqaqb abq qqqqqqq由由曲曲线线 ， 及及两两条条连连续续曲曲线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积为为 221212arrd b ba aqqqqqq 2rr q q 1r r q qa ab bxo d)(rr d .应用微元法扇形面积微元是的，夹角是向径是，有扇形面积公式，在角的微元是角的向径在角drrdrr)(

22、.),(, .)(212122drdrda 此区域的面积：连续累加起来，就得到到从再将扇形面积微元da dra)(212da极坐标系下极坐标系下面积微元面积微元的计算公式最简单的的计算公式最简单的小扇形面积小扇形面积.22121360rlrrns 扇例例7 7 求双扭线求双扭线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积)0(2cos22 aar4, 04变化的范围为：在第一象限而倍。部分面积的一象限的，故其面积是其在第对称平面图形是关于坐标轴它所围成的如图所示，解：22402240042sin2cos2214aadadra 区域的面积为：故双纽线所围成的平面围成的平面区域的面积倍。分面积的

23、只需计算第一象限那部叶全等，三叶玫瑰线围成的三个6平面区域的面积是于是，三叶玫瑰线围成到由的变换范围是中，角三叶玫瑰线在第一象限.60解解:利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aa d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0212dar d221 cos2ad22021cos2aad22012coscosad2034coscos22ad2134sinsin2022a232a 三、弧长平面曲线的平面曲线的弧长弧长 1、参数方程参数方程 2、直角坐标系直角坐标系3、极坐标极坐标三、三、平面曲线的平面曲线的弧长弧长主要介绍平面曲线弧长的主要介绍

24、平面曲线弧长的计算公式计算公式平面曲线弧长的平面曲线弧长的概念概念 我们已经学习过，利用刘徽割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公式。01211(,iinncabcabapppppppbc设平面曲线为曲线弧），如图所示 在 上从 到 依次取分点：它们成为对曲线 的一个分割x=a=byo1p2p1ipip1np0pnp.)(t，记为分法x=a=byo1p2p1ipip1np0pnp).( 条弦的内接折线得到曲线用线段连接相邻两点，nab.)(),(11 nkkkpptltl即设内接折线的长是.)(.)(也不同不同，一般来说，分法有关仅

25、与分法显然，内接折线的长tltttl,maxmax)(11011nnkknkpppppptl 记ctlctc则称曲线存在极限，设的内接折线的长平面曲线时，只要当怎样分割若无论对于)(0,.)(lim0ltl 可求长. l，其长为思考题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？思考题思考题解答解答不一定不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线曲线光滑光滑才可求长才可求长由参数方程给出设平面曲线c,).(),( ttytx )0)()( ,(0,)( )( 22 ttttt，有即连续，且不同时为在与若则称平面曲线则称

26、平面曲线c是是这是曲线可求长的一个这是曲线可求长的一个充分条件充分条件,而连续曲线不一定是可求长的而连续曲线不一定是可求长的.1、参数参数方程方程下的弧长公式下的弧长公式有参数方程给出，设曲线c是可求长的，且弧长为为一光滑曲线，则若cc dttts)()(22上式称为上式称为,).(),( ttytx即的弧长运动到则可得到曲线由端点对应的参数是设上任取一点在曲线,)(),(,0ttpptppc tduuuts)()()(22由于被积函数是由于被积函数是连续连续的，因此的，因此)()()( 22ttts 2222)()()()(dydxdtttds 或为弧微分称ds2222dxdydsdxdyd

27、tdtdt 22dstt dt 22stt dt xtyt,t .应用微元法xyo的圆的周长求半径为ra a a求星形线的全长20, 0,sin,cos33 aayax倍。第一象限那部分弧长的它在于是，星形线的全长是都对称星形线关于两个坐标轴4. ,cossin3,sincos322ayax2、直角坐标直角坐标方程曲线弧长公式方程曲线弧长公式dxxfsba )(12,),(baxxfy .),(,bxaxfyxx 若曲线若曲线c 由直角坐标方程表示由直角坐标方程表示,把它看作以把它看作以x为参数的参数方程时为参数的参数方程时,即为即为所以当所以当 在在 a, b上上连续连续时时,此曲线即为一此

28、曲线即为一光滑光滑曲线曲线.这时弧长公式为这时弧长公式为)(xfdxxfds)(12 .应用微元法108642-5510moaaoxy2xxeey., 0)(2)(上的弧长在求悬挂线aeeaxfaxax 2cosh2sinhxxxxeexeex 双曲余弦双曲正弦2cosh,2sinhxxxxeexeex 双曲余弦双曲正弦若曲线若曲线c 由极坐标方程表示由极坐标方程表示,3、极坐标极坐标方程曲线弧长公式方程曲线弧长公式. ,),( fr将其化成以将其化成以 为参数的参数方程时为参数的参数方程时,即为即为.,sin)(,cos)( fyfx222222)()(.cos)(sin)( ,sin)(c

29、os)( rrffyxffyffx 可导时，有当)(f因此当因此当 在在 上连续上连续,且且 与与 不同时为零时不同时为零时,此极坐标曲线为一光滑曲线此极坐标曲线为一光滑曲线.这时弧长公式为这时弧长公式为)( f,)( f)(fdrrs 22drrds22 rr, 22dsdxdy22dxdyddd22cossinddrrddd22cossinsincosdrdrrrddd22222222cos2cossinsinsin2sincoscosdrdrdrdrrrrrddddd 22drr dd22dsrr d22srr d642245510cbd2ax0y1 cosra四、体积应用截面面积求应用

30、截面面积求体积体积1 1、已知已知平行截面面积的求体积平行截面面积的求体积2、旋转体的体积旋转体的体积四四、由平行、由平行截面面积截面面积求求 本节我们分本节我们分两类两类特别情况特别情况,来讨论如来讨论如何利用定积分求出几何体的体积问题何利用定积分求出几何体的体积问题.至至于更一般的几何体的体积的求法于更一般的几何体的体积的求法,在后面在后面重积分中讨论重积分中讨论.1 1、已知平行截面面积的几何体的体积、已知平行截面面积的几何体的体积2 2、旋转体的体积、旋转体的体积，如图有封闭曲面围成的立体在空间直角坐标系中，称其为的函数，设为即截面面积是知的，如果截面的面积都是已轴的任意平面截立体，用

31、垂直于),(zpzz截面面积函数.,)(,的连续函数是并设轴上的投影是区间如果立体在bazpbaz 1、已知平行、已知平行截面面积截面面积（函数函数）求）求体积体积的公式的公式，的柱体的体积，即、厚度为截面面积为是的体积微元则在点设厚度是微分，已知截面的面积是上任取一点在区间dzzpdvzdzzpzba)(,),(,)()(高底面积柱体体积 dzzpdv就得到立体的体积连续累加起来，到从的体积微元再将每一点badvz babadzzpdvv.)()(体积公式椎体的体积是的高为证明：底面面积为hq,.31qhv ).(正方向向下轴垂直于底面的直线为设过顶点zo).()0(zphzzo的截面的面积

32、为为设距顶点 离的平方比，即等于二者分别距顶点距底面积之比锥体底面的截面面积与由初等几何知，平行于22)(hzqzp 22)(zhqzp hz 0的椎体的体积为，高为则底面积为的连续函数，是hhzpq, 0)(.3103)(230220220qhhhqzdzzhqdzzhqdzzpvhhh 的体积立体所围成及平面求椭圆柱面)0(0,12222 zzaczbyax在椭圆上，所以因为点是直角三角形轴的平面截立体，截面且垂直于，点轴上的任意一点，用过为qpqrypyypbby,), 0(, .122byaxpq 上，所以在平面又因为点xaczr 221bycxaczqr 的面积为角三角形从而截面的面积，即直pqr).1 (22)(22byacqrpqya