小学奥数之行程问题比列专题

1、行程问题之比例综合题【例 1】 小狗和小猴参加的100米预赛结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【解析】 小猴不会如愿以偿第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点【例 2】 甲、乙两人同时从 a地出发到 b 地，经过 3 小时，甲先到 b

2、地，乙还需要 1 小时到达 b 地，此时甲、乙共行了 35 千米求 a， b 两地间的距离【解析】 甲、乙两个人同时从a地到b地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35÷（43）×4=20（千米），所以，a、b两地间距离为20千米【例 3】 、三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市开车后小时车出了事故，和车照常前进车停了半小时后以原速度的继续前进、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常前进车停了半小时后也以原速度的继续前进结果到达乙市的时间

3、车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市的距离为 千米【分析】如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，因为车后来的速度是车的，即两车行小时的路车比车慢小时，所以慢小时说明车后来行了小时从甲市到乙市车要行小时同理，如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，说明车后来行了小时，这段路车需行小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的故甲、乙两市距离为(千米)【例 4】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小时到达甲于分钟前曾到过的地方此后乙每小时多行米，经过小时追上速度保持不变的甲甲每小时行多少米？分析根据题意，乙加速之前步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以甲、乙的速度之比为，乙

4、的速度是甲的速度的倍；乙加速之后步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为加速后乙的速度是甲的速度的倍；由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为米/小时【例 5】 甲、乙两人分别骑车从地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车12 分钟后丙也骑车从地出发去追甲丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙已知乙的速度是每小时千米，丙的速度是乙的2倍那么甲的速度是多少？分析 丙的速度为千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了千米后与甲、乙同时出发如图所示，相当于甲、乙从，丙从同时出发，丙在处追上甲，此时乙走到处，然后丙掉头走了3千米在处和乙相遇从丙返回到

5、遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故为千米那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了千米，因此速度为(千米/小时)【例 6】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×

6、1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 【例 7】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处一列火车以每小时千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？【分析】设铁路桥长为米在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；在小狗向东跑

7、的情况下：小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了米，火车一共走了米；因为是的倍，所以火车速度是小狗速度的倍，所以小狗的速度为(千米/时)；因为火车速度为小狗速度的倍，所以，解此方程得：所以铁路桥全长为米，小狗的速度为每小时千米【例 8】 如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为 平方米 【分析】如图，由题意知，丙从到用分钟，丁从到用分钟，乙从经到用分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的

8、倍因为甲走用分钟，所以丙走要用(分钟)，走用(分钟)因为乙走用分钟，所以丙走用(分钟)因为长米，所以丙每分钟走(米)于是求出(米)，(米)，(米) (平方米)【例 9】 如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上所以我们只要讨

9、论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于乙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于丙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点需要检验的时间点有、个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于分钟个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、的位置

10、第二次构成最大三角形所以再过分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？课后作业练习1. 甲、乙两车分别从 a、b 两地出发，在 a、b 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，a、b 两地之间的距离等于多少 千米？ 【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3

11、5;（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷12045-12040-（12040-12039）×10=300 米. 练习2. 甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是，他们第一次相遇后甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么、两地的距离是多少千米？【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为，相遇后，甲、乙两人的速度比为；到达地时，即甲又行了份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程为乙从相遇后到达还要行份的路程，还剩下(份)，正好还剩下千米，所以份这样的路程是(千米)、两地有这样的(份)，因此、两地的总路程为：(千米)练习3. 小明和小刚进行米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)当小刚跑了米时，小明距离终点还有米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？【分析】当小刚跑了米时，小明跑了米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之比，为；在小刚跑完剩下的米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程之比等于相应的速度之比，则可知小明这段时间内跑了米，还剩下米练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比