高中数学图像及公式

1、幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形 三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sin, csc cos , sec tan, cot三角函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域rrxxr且xk+,kzxxr且xk,kz值域-1，1x=2k+ 时ymax=1x=2k- 时ymin=-1kz-1,1x=2k时ymax=1x=2k+时ymin=-1kzr无最大值无最小值r无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k-,2k+ 上都是增函数； 在2k+ ,2k+上都是减函数(kz)在2k-，2k上都是增函数； 在2k，2k

2、+上都是减函数 (kz)在(k-，k+)内都是增函数 (kz)在(k，k+)内都是减函数 (kz)反三角函数的图形 反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx (x-,) 的反函数，叫做 反正弦函数， 记作x=arsinyy=cosx (x0,)的 反函数，叫做 反余弦函数，记作=arccosyy=tanx (x(- , )的反函数，叫做 反正切函数，记作x=arctanyy=cotx (x(0,) 的反函数，叫做反余切函数， 记作x=arccoty理解arcsinx表示属于-,且正弦值等于x的角arccosx表示属于0，且余弦值等于x的角arctanx表示属

3、于(-,)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，)且余切值等于x的角性质定义域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域-，0，(-，)(0，)单调性在-1，1上是增函数在-1，1上是减函数在(-，+)上是增数在(-，+)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx 奇函数arccos(-x)=-arccosx 非奇非偶arctan(-x)=-arctanx奇函数arccot(-x)= -arccotx 非奇非偶周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1)arcsin(sinx)=x(x-,)cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(c

4、osx)=x(x0,)tan(arctanx)=x(xr)arctan(tanx)=x(x(-,)cot(arccotx)=x(xr)arccot(cotx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)arctanx+arccotx=(xr)三角函数公式两角和公式sin(a+b) = sinacosb+cosasinb sin(a-b) = sinacosb-cosasinb cos(a+b) = cosacosb-sinasinb cos(a-b) = cosacosb+sinasinb tan(a+b) =tan(a-b) =cot(a+b) =cot(a-b)

5、 =倍角公式tan2a =sin2a=2sinacosacos2a = cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin=cos=tan=cot= tan=三倍角公式sin3a = 3sina-4(sina)3cos3a = 4(cosa)3-3cosatan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)附推导过程：sin3a =sin(2a+a) =sin2a·cosa+cos2a·sina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a) =cos2a

6、·cosa-sin2a·sina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina·2sin(60°+a)/2cos(60°-a)/2 ·2sin(60°-a)/2cos(60°+a)/2 =4sina·

7、sin(60°+a) ·sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-(3/2)2=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa·2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2 ·-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosa·sin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosa

8、·sin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosa·cos(60°-a)-cos(60°+a) =4cosa·cos(60°-a) ·cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tana·tan(60°-a) ·tan(60°+a)和差化积 sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb

9、=积化和差 sina·sinb = -cos(a+b)-cos(a-b)cosa·cosb = cos(a+b)+cos(a-b)sina·cosb = sin(a+b)+sin(a-b)cosa·sinb = sin(a+b)-sin(a-b)诱导公式 sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(-a) = cosacos(-a) = sinasin(+a) = cosacos(+a) = -sinasin(-a) = sinacos(-a) = -cosasin(+a) = -sinacos(+a) = -cosatga=tan

10、a =万能公式sina=cosa=tana=其它公式asina+bcosa=sin(a+c) 其中tanc=asina-bcosa = cos(a-c) 其中tanc=1+sina=(sin+cos)2 sin2a+cos2a=1 1+tan2a=sec2a 1+cot2a=csc2a1-sina = (sin-cos)2 tanacota=1 secacosa=1 cscasina=1其他非重点三角函数csca = seca =双曲函数sinh(a)= cosh(a)=tg h(a)=公式一设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos

11、tan（2k）= tan cot（2k）= cot 公式二 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）= -sin cos（）= -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式五 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2-）

12、= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot公式六sin（-）= cos cos（-）= sin tan（-）= cot cot（-）= tan ±及±与的三角函数值之间的关系： sin（+）= cos cos（+）= -sin tan（+）= -cot sin（-）= -cos cos（-）= -sin tan（-）= cot cot（-）= tan (以上kz)cot（+）= -tan sin（+）= -cos cos（+）= sin tan（+）= -cot cot（+）= -tan asin(t+)+ bsin(t+

13、) =sin乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b<=>-bab |a-b|a|-|b| -|a|a|a| 一元二次方程的解 根与系数的关系（韦达定理）x1+x2=-b/a x1x2=c/a 判别式 b2-4ac=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注： 其中 r 表示三角形的外接

14、圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosb 注：角b是边a和边c的夹角 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+n2=13+23+33+43+53+63+n3=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+n(n+1)= 正切定理(a+b)/(a-b)=tan(a+b)/2/tan(a-b)/2附过程 (a-b)/(a+b)=(a/b-1)/(a/b+

15、1)=(sina/sinb-1)/( sina/sinb+1)=(sina-sinb)/(sina+sinb)=2cos(a+b)/2sin(a-b)/2 / 2sin(a+b)/2cos(a-b)/2=tg(a-b)/2/tg(a+b)/2圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+dx+ey+f=0 注：d2+e2-4f>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 s=ch c为底面周长，h为侧棱长.斜棱柱侧面积 s=c'h c'为直截面的周长，h为侧棱长.正棱锥

16、侧面积 s=ch' c为底面周长，h'为侧面的高线长.正棱台侧面积 s=(c+c')h' c、c'为上下底面的周长，h'为侧面的高线长.圆台侧面积 s=(c+c')l= (r+r)l c、c'为上下底面的周长，l为母线长.球的表面积 s=4r2圆柱侧面积 s=ch=2h 圆锥侧面积 s=cl=rl 弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=lr 锥体体积公式 v=sh 圆锥体体积公式 v=r2h 斜棱柱体积 v=s'l 注：其中,s'是直截面面积， l是侧棱长 柱体体积公式v=sh圆柱

17、体v=r2h-三角函数        积化和差、和差化积公式用两角和差的正余弦： cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)/2 相减：sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2 sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)/2 相减：sinbcosa=sin(a+b)-sin(a-b)/2 这样一共4组积化和差，倒过来既是和差化积 （附口诀）正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负.三角形中的一些结论：(不要求记忆)    (1)ana+tanb+tanc=tan