排列组合经典题型

1、 排 列一、优先法例1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列5040（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×17！5040（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列=720（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法（5）7位同学站成一

2、排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有2400种排列方法解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑二、捆绑法：例2 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与

3、其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有720种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙

4、站在排头或排尾有2种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有960种方法（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，一共有排法种数：（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）三、插空法例37位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻

5、的排法共有多少种？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有1440种说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）四、倍除法5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列解：（1）先将男生排好，有种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两

6、端）中，（2）方法1：；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法故本题的结论为（种）强化练习1（2007年天津卷）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）用2色涂格子有c62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有c63，第二步涂色，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×c63=360种方法，故总共有390种方法故答案为：

7、3902（2007年江苏卷）某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75种不同选修方案。（用数值作答）3（2007年北京卷）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）1440种960种720种480种4（2007年全国卷i）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种（用数字作答）先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有c31a42=3×4&#

8、215;3=36种5（2007年全国卷）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ b ）a40种b60种c100种d120种6. （2007年陕西卷）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）设3名老师分别为甲，乙，丙；6所学校分别为a,b,c,d,e,f;先分配甲，甲可以去这6所学校中的任一所，故有6种可能；再分配乙，由条件每校至多2人，故当乙和甲去同一所学校，则丙去剩余5所学校中一所，这种情况下有6*5=30种方案；若乙不和甲去同一所学校，则乙

9、可以有5种选择，而丙可以去这6所学校中任一所，故有6*5*6=180种分配情况，两种情况相加共有210种方案。7（2007年四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（a）288个 （b）240个 （c）144个 （d）126个解析：选b对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位最高位中间三位”分步计数：个位是0并且比20000大的五位偶数有个；个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目8.（2007年辽宁卷）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，则不同的

10、排列方法有 种（用数字作答）解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30 组 合1.组合数的性质1：2组合数的性质2：+一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想证明： + 说明：公式特征：下标相同而上标差1的两

11、个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； 此性质的作用：恒等变形，简化运算 例1（1）计算：；（2）求证：+解：（1）原式；证明：（2）右边左边例2证明：。证明：原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例3证明：（其中）。证明：设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：男同学0个，1个，个，则女同

12、学分别为个，个，0个，共有选法数为。又由组合定义知选法数为，故等式成立。例4证明：。证明：左边=，其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类（），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例5证明：。证明：由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）

13、的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。共有+种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。思考：1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部