高二数学奥赛讲义

1、高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.正整数=1素数合数.（2）互素；如果两个整数与没有共同的素因数，则称与互素，记为（，）=1.（3）设a为大于1的整数，则a的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a为大于1的整数，若对所有不大于的素数，有？（表示a不被整除），则a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为的形式.（2）奇数与偶数的性质：奇数偶数；奇数个奇数之和为奇数，偶数个

2、奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；两数和与两数差的奇偶性相同；积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；偶数与任何整数的乘积都为偶数；个偶数的积为的倍数.3. 带余除法若是两个整数，则一定有且只有两个整数，使得成立. 时，称整除，记作.（1）若两个整数与被除的余数相同，则，则与被除的余数相同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；（3）设b是整数，则任意个整数中，至少有两个数被b除的余数相同.4. 整除的性质设为的最大公因数，记为的最小公倍数，记为，整除有以下性质；（1）若；（2）若；（3）若（4）若（5）若（6）若（7）若；（8）若则；（9）若且是的公因数，则（10）；（

3、11）；（12）若为素数，例1.证明：对于任何自然数,数都不能分解成若干个连续的正整数之积.例2. 设是1，2，7的一个排列，求证： 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数满足关系式例4. 试求出所有的正整数，其中的因数.例5. 设是正整数，能被24整除，求所有这样的的个数.二、同余定义设是一个给定的正整数，如果两个整数除所得的余数相同，则称对模同余，记为同余的基本性质（1）反身性：.（2）对称性：若，则.（3）传递性：若.（4）若（5）若（6）若.（7）若（8）若（9）若（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，

4、1或-1，整数的四次方模16同余于0，1.例1. 求的个位数字是？例2.若，且都是完全平方数，那么必为40的倍数.例3. 设具有下列两条性质；（1）对任何恒有（2）.证明：g中的奇数的个数是4的倍数，且g中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法.定理1 把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至少含有个元素.定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式；定理2 把个元素分成n个集合，其中

5、必有一个集合至多含有个元素.我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1. 设为无理数.证明：对任意的正整数n，存在整数，满足例2. 求所有的正整数n，使得集合的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足例3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在中，求证：变式：在中，求证：四、客斥原理客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家j.j.西尔维

6、斯特首先创立.当是有限集合a的一个分划，即这时我们有这实际上是组合计数中的加法原理.但当时，又该如何计数呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设为集合a的有限子集，其元素个数分别为，则由集合知识，有从而容斥原理还有另一种表现形式容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法，就是要计算可以考虑所有元素对的贡献；如果，则x对的贡献为1，否则贡献为0，这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等.容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一，也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题上.用容斥原理解决这些问题的关键是用

7、集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来.例1. 用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位数不是3的没有重复数字的五位数的个数.例2. 从自然数列1，2，3，4，5，中依次划去3的倍数和4的倍数，但是其中凡是5的倍数均保留. 划完后剩下的数依次构成一个新的数列：求例3. 在一次数学演讲中，有5个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了. 求证：一定存在某个时刻有三个人同时睡着了.例4. 求满足的方程的整数解的个数.例5. 的一个错位排列是的一个排列，使得.用表示的错位排列的个数.证明：例6. 有8个孩子坐在旋转木马上，如果让他们交换位置，使得每一个孩

8、子的前边都不是原来在他前面的那个孩子，问有多少种不同的方法？五、圆的有关定理圆中的相关知识主要有：1. 圆的对称性，垂径定理；2. 与圆有关的角；圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角.3. 切线的判定与性质；4. 圆幂定理；5. 正弦定理以及在其后几节中出现的许多定理.圆中的基本问题：1. 证明角相等或计算角度、弧长；2. 证明线段相等或线段成比例或计算线段长度、图形面积；3. 证明图形相似；4. 证明各个几何图形的位置关系（如共线，共点，共圆，平行，垂直等）.解决这些基本问题的常用方法，通常是：（1）可以通过证明三角形全等或相信；（2）可以利用圆周角、弦切角等与圆有关的角的关系进行转化；（

9、3）可以利用圆幂定理；（4）转化为三角计算.例1. 如图27-1，设i为的内心，射线ai，bi，ci分别交的外接圆于点d，e，f，求证：例2. 如图27-2，过外一点p作的一条切线pc和一条割线pab，已知这两条线均在po的同一侧，q为c在po上的射影，求证：qc平分例3. 如图27-5，切正三角形abc的边bc于点d，分别交边ab于点m，交边ac于点p，q，求证：bd+am+an=cd+ap+aq.例4. 如图27-6，p为外的一点，作的两条切线pa，pb与任一割线pcd，证明：（1） （2）例5. 如图27-13，与相交于a，b两点，的一条弦cd切于点e，且ae与切于点a，求证：.例6.

10、如图27-16，的两条弦ac，bd交于点k，设m，n分别为的外心，证明：四边形omkn是平行四边形.例7. 如图27-18，半圆的直径为ab，c为ob上一点，过点c且垂直于ab的直线交半圆于点d，与半圆内切于点f，与cd切于点e，与cb切于点g. 证明为等腰三角形.例8. 如图27-19，中，d为bc中点，点m在边bc上，且满足，若的外接圆与ab的另一交点为k，的外接圆与边ac的另一交点为l，求证：六、共圆如果有四点或四个以上的点在同一个圆上，就是共圆问题.点共圆问题出现的形式一般有两种；一是以点共圆作为证题目的；二是以点共圆作为解题手段，即作出辅助圆来汇聚条件、揭露隐含、转化所证结论的作用.

11、证明四点共圆的常用方法1. 注意圆的定义；证明几个点与某个定点距离相等；2. 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；3. 证明凸四边形有一组对角互补（或外角等内对角）.4. 证明这四点可以满足圆幂定理（相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理）.5. 其他方法共圆的作用；1.利用多点共圆找出角度或者是三角形边长之间的等量关系；（证角相等、垂直、线段相等）2.利用四点共圆证明多点共圆.例1. 如图28-1，设圆和圆相交于点m和p，圆的弦ma和圆相切于点m，圆的弦于圆相切于点m，在直线mp上截取ph=mp. 证明：m，a，h，b四点共圆.例2. 在锐角中，m，n分别是高线的中

12、点，am与，an与分别交于点p，q.证明：（1）m，n，p，q四点共圆；（2）若b，c，p，q四点共圆，则是等腰三角形.例3. 在abc中，交ac于d，如图28-10，cp垂直bd，垂足为p，aq垂直bp，q为垂足，m是ac中点，e是bc中点. 若的外接圆o与ac的另一个交点为h. 求证：o，h，e，m四点共圆.例4. 如图13，在圆内接中，ab=ac，经过a任作二弦ae，aq且ae交直线bc于d，aq交直线cb于p. 求证：p，q，d，e四点共圆.例5. 如图28-17，给定凸四边形abcd，p是平面上的动点，令.求证：当达到最小值时，p，a，b，c四点共圆.例6. 如图28-19，已知d，

13、e，f分别是三边ab，bc，ca上的点，且ad=af，bd=be，de=df.设i是的内心，过点a作外接圆的切线与bi交于点k，若ak=ad，证明：ak=ek.例7. （九点圆定理）三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连结线段的中点，这九点共圆.已知：在中，h是垂心，l，m，n分别为bc，ca，ab的中点，d，e，f分别是三高之垂足，p，q，r分别是ah，bh，ch的中点，求证：l，m，n，d，e，f，p，q，r九点共圆.七、共线点与共点线（一）点共线共线，指的三个及以上的点在同一条直线上. 多点共线可化归为三点共线问题. 证明三点a、b、c共线的方法很多，常从以下几个方面考虑

14、：1. 从角考虑：如图29-1，设b在线段xy上，证明（对顶角相等的逆定理）.而在图29-2中，应改为证明.2. 从线考虑：证明ab，ac与同一条直线平行（或垂直）；或证明ab+bc=ac.3. 从有关结论考虑：梅涅劳斯（menelaus）定理、simson线等；4. 从形考虑：证a，b，c三点所成的三角形面积为零；可利用位似；5. 从方法上考虑；可考虑反证法、同一法、解析法等.（二）线共点共点，指n条（）直线经过同一点.多直线共点可化归为三线共点问题.证明几条直线共点，常用的方法有：1. 设其中两条直线相交于点a，然后证明a在其他直线上，即化为证明a与在其他直线上的两个点共线.2. 先找出其

15、中某两线的交点所具有的性质（例如经过某个特殊点），证明其余的点也具有这个性质.3. 利用ceva定理等结论证明共点.4. 利用已证的共点线. 例如得用三角形的“五心”及三个圆的根轴是共点线.5. 证明两个图形是位似图形，则对应点连线共点.例1. 设四边形abcd的对角线ac，bd交于点o，且ab=bc，cd=ca，设的边ab，cd上的高线分别为dn，bk.证明：n，o，k三点共线.例2. 西姆松定理：过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线称为西姆松线）.已知：p为的外接圆上任意一点，p在三边上的射影为l，m，n，证明l，m，n共线.例3. 设p为内一点，且满足，m，

16、n分别是边ac，bc的中点. 若bp=2pm，证明：a，p，n三点共线.例4. 设ad，be，cf为的三条高，从点d引ab，be，cf，ac的垂线dp，dq，dr，ds，垂足分别为p，q，r，s，求证：p，q，r，s四点共线.例5. 帕普斯（pappus, 约3世纪）定理，设是直线上三点，是直线上三点. 交于l，与交于m，与交于n，求证：l，m，n三点共线.例6. 设四边形abcd外切于圆o，对角线ac和bd的中点分别为mn. 求证：m，n，o三点共线.例7. 证明帕斯卡定理：圆内接交边形三对对边（所在直线）的交点共线.例8. 设p为内任一点，作射线al、bm、cn，使例9. 在中，为其外心，

17、分别是边bc，ca，ab的中点.已知，点分别使得成立.证明：直线三线共点.例10. 如图29-27，设p为内任一点，在形内作射线al，bm，cn，使得，求证：al，bm，cn三线共点.八、 图论（1）图 由一个点集v以及连结其中某些点对的线段(可以是曲线)集e组成的图形称为图，记为g（v，e)，其中，v中的点称为图g的顶点(点)，e中的线段称为图g的边，有n个顶点的图称为n阶图，对图g中任一点v，所连的边数称为点v的度，记作，显然 .一正则图 每个顶点的度数都为的图称为一正则图 无向图 每一条边都是无向的图称为无向图 有向图 每一条边都是有方向的图称为有向图 简单图 无环和重边的无向图称为简单

18、图 完全图 任意一个顶点都与其他所有顶点相连的简单图称为完全图因此一个n阶完全图()有条边 竞赛图 有向完全图称为竞赛图，其中每条边均有一个起点和一个终点对于图中的每一点，以为起点的边的数目称为点的出度，记为；以为终点的边的数目称为点的人度，记为显然，对于n阶竞赛图的每一个顶点，都有 二部图 可将图的顶点分划成两个子集，每个子集中的任意两个点是不相连的 n部图 可将图的顶点分划成n个两两不交子集，图中任意一条边的两个顶点属于两个不同的子集 对于部图，若每个点均与其他子集中的所有点都相连，则称为完全部图 对于图g，若任意两点，且存在一条到的路，则称g是连通的若g是连通的，且不存在圈，则称g为一棵

19、树容易得出，若图g的顶点数为n，且为一棵树，则g含有n-1条边 定理：图g为二部图当且仅当图g中不存在奇圈(长度为奇数的圈) 在图论中，我们主要研究的是点与边之间的关系在解决一些实际问题时，我们常常先是通过类比的方法，将问题中的实体抽象成图的顶点，再将它们之间的关系抽象成边，最后将所要研究的问题转换成研究图的性质在图论问题的处理上，反证法、归纳法、极端(极值)法是常用的方法本讲中，我们将主要介绍两类特殊图的应用：二部图(咒部图)、完全图例1.将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形.对是由顶点引出的蓝色边的条数.求证：.例2. 45个校友聚会，在这些人中，任意两个熟人数目相同的校友互不相识. 问在参加校友聚会的人中，认识熟人最多的人的数目是多少？例3. 已知一个有限图g，设是图g中的3阶完全图的个数，是图g中的4阶完全图的个数.求最小的常数c，使得对于每个图g，有.图论2对象m是图g的边子集，且m中的任意两条边不相邻（即没有公共顶点0.）euler（欧拉）环游（一笔画问题） 从某一顶点出发，经过图g所有边恰好一次，并回到原来的顶点，这样的图也称为euler图.容易得出：一个连通图g是euler图当且当图g没有度数为奇数的顶点.hami