二元一次方程组的应用四中

1、北 京 四 中编稿：徐长明审稿：赵云洁责编：张杨 二元一次方程组的应用 一、对应用题的观察和分析 利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点： (1)题中有哪几个未知数(包括明显的未知数和隐含的未知数)？ (2)题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系(包括明显的相等关系和隐含的相等关系)？题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系. (3)设立哪几个未知数，利用哪几个相等关系，可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？(利用剩下的等量关系列方程组.) 二、常见几类应用题及其基本数量关系 明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常

2、遇到的几类应用题及其基本关系如下： 1.行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离 2.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量 计划数量×超额百分数=超额数量 计划数量×实际完成百分数=实际数量 3.百分比浓度问题：基本关系式为:溶液×百分比浓度=溶质 4.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量 混合前纯物重量=混合后纯物重量 混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量 5.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度 静水速度-水速=逆水速度 6.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系. 7.倍比

3、问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等. 三、 例题精析 如何分析应用题： 例1. 某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？ 思考如下： （1）题目中的已知条件是什么？ （2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45人，15人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？ 解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得 解这个方程组，得 答：该单位共有5辆车，240人. 例2.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45

4、千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间。 思考问题： （1）路程、速度、时间三者关系是什么？ （2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？ （3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45千米，则要延误小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行使50千米，就可以提前小时到达目的地”又可理解成什么？ 解：设甲、乙两地的距离为x千米，原计划行驶时间为y小时.依题意，得 解这个方程组，得 答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间为小时。 例3. 甲、乙两人从相距36千米的两地同时相向出发，经过4小时30分

5、钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲再出发，这样甲经过3小时40分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度。 分析：此题是行程问题中的相遇问题。题中有两个未知量：甲、乙两人的速度。 有两个等量关系： （1）甲、乙二人4小时所走的路程=36千米； （2）甲3小时所走的路程+乙(2+3)小时走的路程=36千米。 解：设甲、乙二人的速度分别为x千米/时，y千米/时。 根据题意，得 整理此方程组，得 解这个方程组，得 。 答：甲、乙二人的速度分别为4千米/时和3千米/时。 例4. 甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人

6、相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.(只列方程，不求出) 分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即 (1)背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米； (2)同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米. 解：设甲人速度为每分钟x米，乙人速度为每分钟行走y米.依题意，得 例5. 某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）。现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 解: 法（

7、一） 设可以制作甲种小盒x个，乙种小盒y个 根据题意列出方程组 解得： 答：可以制作甲种小盒30个，乙种小盒60个。 解：法（二） 设制作甲种小盒用去x张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒x个，乙种小盒根据题意列出方程组：解得： 答：可以制作甲种小盒30个，乙种小盒60个。 四、如何设未知数 列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数.那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？ 直接设所求量为未知数 例1. a，b两地相距 20千米.甲、乙两人分别从a，b两地同时相向而

8、行，两小时后在途中相遇，然后甲返回a地，乙仍继续前进，当甲回到a地时，乙离a地还有2千米.求甲、乙的速度. 分析：这个问题是直线行驶中的相遇、追及问题.其中设两个未知数：甲、乙各自的速度，有两个相等关系. 解：设甲人的速度是每小时行x千米，乙人的速度是每小时y千米.依题意，得 解这个方程组，得 合理选择，间接设元 许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数.这种方法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系.因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的. 例2. 从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小

9、时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达学校共用55分钟，他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1小时。从夏令营到学校有多少千米？ 分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程： 9； 同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程 12 还可设山路长和平路长分别为x千米，y千米，由来回的时间关系建立二元一次方程组 或设下山和上山的时间分别为x小时，y小时.由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组 设而不求，巧用辅助量 当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，目的不是要

10、具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程(组)创造条件.在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值. 例1. 一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？ 解 设x分钟后发现掉了物品，船静水速为v1，水速为v2，由题意得 (x5)v2x(v1-v2)5(v1v2)， xv2+5v2xv1-xv25v1+5v2， xv15v1， v10， x5. 答：乘客5分钟后发现掉了物品. 注：这里的辅助未知数是v1和v2. 例2. 一只船发现漏水时，已进了一些

11、水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水. 解 设2小时淘完水需x人，一人淘水量为y，每小时进水量为z，再设原进水量为a，由题意得 (2)-(1)得5z=10y，z2y，(4) (2)(3)得6z=2y(20-x)，(5) 把(4)代入(5)得6×2y2y(20-x)， 解得x=14. 答：2小时淘完水需14人. 注：这里的y，z，a是设而不求的辅助未知数. 例3. 甲班与乙班共83人，乙班与丙班共86人，丙班与丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？ (首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) 解 设甲、乙、丙、丁班各有人数

12、a、b、c、d，由题意得 (1)-(2)+(3)得 ad=85人. 答：甲班和丁班共有85人. 例4.一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路程需_小时. (武汉市初二数学竞赛试题) 解：设甲、乙两个码头的距离是s公里，小船在静水中的速度为x公里/小时，水流速度为y公里/小时，依题意得 即 由(1)-(2)得 答：一木块顺水漂流这段路程需小时。 例5.有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放