Matlab及应用 - 第3章矩阵分析与处理

1、链接: http:/ 密码: 69e9课件地址特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数主要内容 通用的特殊矩阵 零矩阵零矩阵 幺矩阵幺矩阵 单位矩阵单位矩阵 随机矩阵随机矩阵 用于专门学科的特殊矩阵 魔方矩阵魔方矩阵 范德蒙德矩阵（范德蒙德矩阵（ Vandermonde） 希尔伯特矩阵（希尔伯特矩阵（ Hilbert matrix ） 特普利茨矩阵（特普利茨矩阵（ Toeplitz matrix ） 伴随矩阵伴随矩阵 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数 zeros：产生：产生全全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵) ones： 产生

2、产生全全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵) eye： 产生产生单位矩阵单位矩阵 rand： 产生产生01间间均匀分布均匀分布的的随机矩阵随机矩阵 randn：产生：产生均值为均值为0，方差为，方差为1的的标准正态分布标准正态分布随机矩阵随机矩阵 以zeros函数为例 zeros(m)：产生：产生mm零矩阵零矩阵 zeros(m,n) ：产生：产生mn零矩阵零矩阵 zeros(size(A) ：产生一个与矩阵：产生一个与矩阵A同样大小的零同样大小的零矩阵矩阵通用的特殊矩阵例 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。 建立一个建立一个33零矩阵零矩阵zeros(3) 建立一个建立一个32零矩阵零矩阵

3、zeros(3,2) 设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建建立一个与矩阵立一个与矩阵A同样大小零矩阵同样大小零矩阵A=1 2 3;4 5 6; %产生一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样同样大小的零矩阵大小的零矩阵通用的特殊矩阵(续)通用的特殊矩阵(续)随机矩阵的生成Rand:生成均匀分布的伪随机数生成均匀分布的伪随机数,分布在（分布在（01）之间）之间主要语法：主要语法：rand(m,n)生成生成m行行n列的均匀分布的伪随机数列的均匀分布的伪随机数rand(m,n,double)生成指定精度的均匀分布

4、的伪随机数，参数还可生成指定精度的均匀分布的伪随机数，参数还可以是以是singlerand(RandStream,m,n)利用指定的利用指定的RandStream(随机种子随机种子)生成伪随生成伪随机数机数产生在产生在a,b区间服从均匀分布的随机数方法区间服从均匀分布的随机数方法 a + (b-a)*rand(m,n) Randn:生成标准正态分布的伪随机数生成标准正态分布的伪随机数（均值为（均值为0，方差为，方差为1）主要语法：和上面一样主要语法：和上面一样产生均值为产生均值为 ，方差为，方差为 的随机数方法的随机数方法2( , )randn m n 例 建立随机矩阵：(1) 在区间20,5

5、0内均匀分布的5阶随机矩阵。(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 注意：正常情况下每次调用相同rand指令生成的随机数是不同的 例如：例如： rand(1,3) ans = 0.139043482536049 0.734007633362635 0.194791464843949 rand(1,3) ans = 0.602204766324215 0.937923745019422 0.149285414707192通用的特殊矩阵(续) 主要原因： matlab的的rand函

6、数生的是伪随机数函数生的是伪随机数,即由随机即由随机种子递推出来的种子递推出来的,相同的种子相同的种子,生成相同的随机生成相同的随机数数. matlab刚运行起来时刚运行起来时,种子都为初始值种子都为初始值,因此每因此每次第一次执行次第一次执行rand得到的随机数都是相同的得到的随机数都是相同的. 多次运行生成相同的随机数方法 用用rand(state,S)设定种子设定种子 ，S为为35阶向量，最阶向量，最简单的方法是设为简单的方法是设为0 例例: rand(state,0); rand(5)通用的特殊矩阵(续) 魔方矩阵 性质：每行、每列及两条对角线上的元素和都性质：每行、每列及两条对角线上

7、的元素和都相等相等 实例实例 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 例 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 M=100+magic(5)用于专门学科的特殊矩阵 范德蒙德(Vandermonde)矩阵 性质：性质：最后一列全为最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。 实例：实例： 64 16 4 1 125 25 5 1 216 36 6 1 343 49 7 1 可以用一个指定向量生成一个范德蒙德矩

8、阵 函数函数vander(V)生成以生成以向量向量V为基础向量为基础向量的范德蒙德矩阵的范德蒙德矩阵 例如，例如，A=vander(4;5;6;7)即可得到上述范德蒙德矩阵即可得到上述范德蒙德矩阵 A=vander(4;5;6;7) 等价于等价于vander(4:7)用于专门学科的特殊矩阵(续) 希尔伯特矩阵 性质：性质：矩阵的每个元素矩阵的每个元素aij为为1/(i+j-1) 实例实例 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 生成希尔伯特矩阵的函数 hilb(n) 求希尔伯特矩阵的逆的函数 希尔伯特矩阵是一个

9、希尔伯特矩阵是一个条件数很差条件数很差的矩阵，使用一般方法求逆会因为原始数据的的矩阵，使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。微小扰动而产生不可靠的计算结果。 MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。 例 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。format rat %以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4)用于专门学科的特殊矩阵(续) 特普利茨矩阵 （ Toeplitz matrix ） 性质：性质：除第一行第一列外，

10、其他每个元素都与左上角的元素相同除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同 实例实例 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 3 4 5 6 生成特普利茨矩阵的函数 toeplitz(x,y)，生成一个以，生成一个以x为第一列，为第一列，y为第一行为第一行的托普利兹矩阵。的托普利兹矩阵。这里这里x, y均为向量，两者不必等长。均为向量，两者不必等长。 例例 toeplitz(2:5,2:9) toeplitz(2:5,2,8,9) toeplitz(x)用向量用向量x生成一个对称的特普利茨矩阵。生成一个对称的特普利

11、茨矩阵。 例例 T=toeplitz(1:6)用于专门学科的特殊矩阵(续)伴随矩阵 矩阵中的元素用它们在行列式中的代数余矩阵中的元素用它们在行列式中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫叫A的伴随矩阵。的伴随矩阵。生成伴随矩阵的函数 compan(p)，其中，其中p是一个多项式的系数向是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。 例，求多项式例，求多项式x3-7x+6的伴随矩阵的伴随矩阵p=1,0,-7,6;compan(p)用于专门学科的特殊矩阵(续) 帕斯卡矩阵 二次项二次项(x+y)n展开后的系展

12、开后的系数随数随n的增大的增大组成一个三组成一个三角形表，称角形表，称为杨辉三角为杨辉三角形。形。 由杨辉三角由杨辉三角形组成的矩形组成的矩阵称为帕斯阵称为帕斯卡卡(Pascal)矩矩阵阵用于专门学科的特殊矩阵(续) 生成一个n阶帕斯卡矩阵的函数 pascal(n) 例 求(x+y)4的展开式pascal(5)ans = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式的系数用于专门学科的特殊矩阵(续)特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵

13、的超越函数主要内容 对角阵 只有只有对角线对角线上有上有非非0元素元素的矩阵称为对角矩阵的矩阵称为对角矩阵 特例 对角线上的对角线上的元素相等元素相等的对角矩阵称为的对角矩阵称为数量矩阵数量矩阵 对角线上的对角线上的元素都为元素都为1的对角矩阵称为的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵 对角线的性质 转置运算对角线元素不变转置运算对角线元素不变 相似运算对角线元素的和不变相似运算对角线元素的和不变 矩阵研究中需要 提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素生成列向量生成列向量 利用向量利用向量构造对角矩阵构造对角矩阵对角阵 提取矩阵的对角线元素 设设A为为mn矩阵，矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵函

14、数用于提取矩阵A主对主对角线元素，产生一个具有角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的个元素的列向量列向量。 A=1,2,3;4,5,6; B=diag(A) diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提，其功能是提取第取第k条对角线的元素条对角线的元素 与主对角线平行与主对角线平行,往上为第往上为第1条条,第第2条条,第第n条对角线，条对角线，往下为第往下为第-1条，第条，第-2条条,第第-n条对角线条对角线。 例，提取例，提取B矩阵主对角线两侧对角线元素矩阵主对角线两侧对角线元素 C=diag(A,1) D=diag(A,-1)对角阵（续）构造对角矩阵

15、 设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产将产生一个生一个mm对角矩阵，其主对角线元素对角矩阵，其主对角线元素即为向量即为向量V的元素。的元素。 diag(1,2,3,4) diag(V)函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个其功能是产生一个nn(n=m+|k|)对角阵，对角阵，其第其第k条对角线的元素即为向量条对角线的元素即为向量V的元素的元素 diag(1:4,-1)对角阵（续） 例 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,

16、22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数 问题：对矩阵A的每列元素乘以同一个数，如何实现？ 答：对角阵右乘矩阵A对角阵（续） 三角阵 上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵 下三角阵：对角线以上的元素全为下三角阵：对角线以上的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵 上三角矩阵 求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu(A) 功能：提取矩阵功能：提取矩阵A的上三角元素的上三角元素 A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,

17、10,11,12;13,14,15,16 B= triu(A) triu(A)函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu(A,k) 功能：提取矩阵功能：提取矩阵A的第的第k条对角线以上的元素条对角线以上的元素 C= triu(A,2) (2) 下三角矩阵 tril(A)和和tril(A,k) 用法与提取上三角矩阵的函数用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。三角阵矩阵的转置 转置运算符是转置运算符是单撇号单撇号() D=A矩阵的旋转 以以90为单位为单位对矩阵按对矩阵按逆时针方向逆时针方向进行进行旋转旋转 rot90(A,k)将矩阵将矩阵A旋转旋转9

18、0的的k倍，当倍，当k为为1时可省略。时可省略。 E=rot90(A) F= rot90(A,4)矩阵的转置与旋转 矩阵的左右翻转 列调换列调换 将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，数第二列调换，依次类推。，依次类推。 MATLAB对矩阵对矩阵A实施左右翻转的函数是实施左右翻转的函数是fliplr(A) G= fliplr(A) 矩阵的上下翻转 行调换行调换 MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud(A) H=flipud(A)矩阵的转置与旋转（续）特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩

19、阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数主要内容 矩阵的逆 对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得，使得 AB=BA=I (I为单位矩阵为单位矩阵) 则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。中，求一个矩阵的逆非常容易。 求方阵求方阵A的逆矩阵可调用函数的逆矩阵可调用函数inv(A)。 A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1 B=inv(A) A*B B*A矩

20、阵求逆 矩阵的伪逆 如果矩阵如果矩阵A不是一个方阵不是一个方阵，或者，或者A是一个是一个非满秩的方阵非满秩的方阵时，时，矩阵矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵的转置矩阵A同同型的矩阵型的矩阵B，使得：，使得： ABA=A BAB=B此时称矩阵此时称矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。的伪逆，也称为广义逆矩阵。 在在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。 A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1 B= pinv(A)矩阵求逆（续） 用矩阵求逆方法求解线性方程组 在线性方程组在线性方程组Ax=b两

21、边各左乘两边各左乘A-1，有，有 A-1Ax=A-1b 由于由于A-1A=I，故得，故得 x=A-1b 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b也可以运用左除运算符“”求解线性代数方程组。 x=Ab线性方程组求解6278294532zyxzyxzyx特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数主要内容 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为所对应的行列式的值。 在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 例例 A=rand

22、(5) B=det(A)方阵的行列式 矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。 在在MATLAB中，求矩阵秩的函数是中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; r= rank(A) 矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和于矩阵的特征值之和 在在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; trace(A)矩阵的秩和迹 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在矩

23、阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义某种意义下的长度。下的长度。 范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。 向量的范数 3种常用范数及其计算函数种常用范数及其计算函数 设向量设向量V=(v1,v2,.,vn) 1-范数：范数：|V|1=v1+v2+vn 2-范数：范数： |V|2=(v12+v22+vn2)1/2 -范数：范数：|V| =max(v1,v2,vn) 在在MATLAB中，求向量范数的函数为：中，求向量范数的函数为：(1) norm(V)或或norm(V,2)：计算向量：计算向量V的的2-范数。范数。(2) norm(V

24、,1)：计算向量：计算向量V的的1-范数。范数。(3) norm(V,inf)：计算向量：计算向量V的的-范数。范数。向量和矩阵的范数 矩阵的范数及其计算函数 1-范数：范数：A1 = max |ai1|, |ai2| , ,|ain| （列和范数列和范数，A每每一列元素绝对值之和的最大值）一列元素绝对值之和的最大值） 其中其中|ai1|第一列元素绝对值的和第一列元素绝对值的和|ai1|=|a11|+|a21|+.+|an1|,其余类其余类似；似； 2-范数：范数：A2 = A的最大奇异值的最大奇异值 = ( max i(AH*A) ) 1/2 ( 谱范谱范数数,即即AA特征值特征值i中最大者

25、中最大者1的平方根，其中的平方根，其中AH为为A的转置共轭矩的转置共轭矩阵）；阵）； -范数：范数：A = max |a1j|, |a2j| ,., |amj| （行和范数行和范数，A每每一行元素绝对值之和的最大值）一行元素绝对值之和的最大值） 其中为其中为|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似；第一行元素绝对值的和，其余类似； MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=norm(A,1) a2=norm(A,2) ainf=norm(A, inf)向量和矩阵的范数（续） 矩阵的条件数 用用矩阵及

26、其逆矩阵的范数的乘积矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数表示矩阵的条件数 cond(A)= |A|.|A-1| 为什么要研究矩阵的条件数？ 矩阵条件数的大小是衡量矩阵条件数的大小是衡量矩阵矩阵“坏坏”或或“好好”的标志的标志 一个简单的例子是，如果我们想求解线性方程组一个简单的例子是，如果我们想求解线性方程组Ax=b，虽然当，虽然当A可可逆时，理论上可以解出逆时，理论上可以解出x=A(-1)*b,但在实际工程中，由于构成但在实际工程中，由于构成A、b中的数可能都不是精确的，而仅是一些近似数，当中的数可能都不是精确的，而仅是一些近似数，当b中数据发生中数据发生“小小”的变化时会对解的变化时

27、会对解x造成多大的误差呢？如果误差很大，那么，造成多大的误差呢？如果误差很大，那么，这种方程按这种方程按x=A(-1)*b算出的结果算出的结果x就不可信，因此称为病态方程。就不可信，因此称为病态方程。 利用矩阵论理论，利用矩阵论理论，当当A的条件数越大，方程的条件数越大，方程Ax=b的病态就越严重的病态就越严重。这也就是我们研究条件数的原因。这也就是我们研究条件数的原因。矩阵的条件数 由于矩阵范数的定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的条件数也是等价的。 在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1) cond(A,1) 计算A的1范数下的条件数。(

28、2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2范数数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算A的 范数下的条件数。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=cond (A) B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; a2=cond (B) 矩阵的条件数（续）特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数主要内容 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种： (1) E=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构成向量的全部特征值，构成向量E。 (2) V,D=eig(A)：

29、求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵的全部特征值，构成对角阵D，并求并求A的特征向量构成的特征向量构成V的列向量。的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：与第：与第2种格式类似，但第种格式类似，但第2种种格式中先对格式中先对A作相似变换后求矩阵作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，的特征值和特征向量，而格式而格式3直接求矩阵直接求矩阵A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2 V,D=eig(A) A*V V*D矩阵的特征值与特征向量 例 用求特征值的方法解方程 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 第一

30、步：构造与方程对应的多项式的伴随矩阵第一步：构造与方程对应的多项式的伴随矩阵 p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A为伴随矩阵为伴随矩阵 第二步：求第二步：求A的特征值的特征值 x1=eig(A) %A的特征值即为方程的根的特征值即为方程的根 比较： 用直接求多项式零点的方法解方程用直接求多项式零点的方法解方程 x2=roots(p) edit roots.m roots函数正是应用求伴随矩阵的特征值方法来求方程的根函数正是应用求伴随矩阵的特征值方法来求方程的根矩阵的特征值与特征向量（续）特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数主要内容 矩阵的超越函数 在在MATLAB中中sqrt 、exp、log等命令也可以作用到矩阵上，但这种运算等命令也可以作用到矩阵上，但这种运算是定义在矩阵的是定义在矩阵的单个元素上单个元素上的，即分别对