金融数量方法课件：第三章 金融中的概率方法

1、1第三章第三章 金融中的概率方法金融中的概率方法内容概览内容概览3.1 概率论基础及常用的金融概率论基础及常用的金融 概率分布概率分布3.2 金融中概率方法的应用金融中概率方法的应用23.1 3.1 概率论基础及常用的金融概率分布概率论基础及常用的金融概率分布l一、概率论基础一、概率论基础l二、几个常用的金融概率分布二、几个常用的金融概率分布3一、概率论基础一、概率论基础l1. 随机事件及其概率计算随机事件及其概率计算l2. 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布l3. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征41.随机事件及其概率计算随机事件及其概率计算l（1）随机事件：）随机事件：A、Bl（

2、2）事件的加法法则：）事件的加法法则：lP(A+B) = P(A)+P(B)P(AB)l（3）事件的乘法法则：）事件的乘法法则：lP(AB) = P(A) P(B/A）= P(B) P(A/B）5例如例如，假定金融时报，假定金融时报100100指数以指数以0.550.55的的概率上升，以概率上升，以0.450.45的概率下跌；的概率下跌；l还假定同一时间内，标准普尔还假定同一时间内，标准普尔500指数以指数以0.35的的概率上升，以概率上升，以0.65概率下跌；概率下跌；l再假定两个指数可能以再假定两个指数可能以0.3的概率同时上升。那的概率同时上升。那么，么，（1）金融时报）金融时报100指

3、数，或者标准普尔指数，或者标准普尔500指数指数上升的概率是多少？上升的概率是多少？ （2）若两指数相互独立，二者同时上涨的概率多）若两指数相互独立，二者同时上涨的概率多大？大？（3）在给定金融时报）在给定金融时报100指数已经上涨的条件下，指数已经上涨的条件下，标准普尔标准普尔500指数上涨的概率多大？指数上涨的概率多大？62. 2. 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布l（1）随机变量的定义）随机变量的定义l将随机变量将随机变量 X（）视为定义在样本空间）视为定义在样本空间上的函数。上的函数。简言之，随机变量是依赖于随机结果的特殊变量。简言之，随机变量是依赖于随机结果的特殊变量。这是这

4、是R.V.的的本质。本质。l（2） 概率分布的定义概率分布的定义l一种描述概率分布的方法是，分别就离散型与连续一种描述概率分布的方法是，分别就离散型与连续型随机变量分别讨论：对应地用分布列与密度函数型随机变量分别讨论：对应地用分布列与密度函数来刻画其概率分布；来刻画其概率分布；l另一种刻画概率分布的方法是，二者统一用分布函另一种刻画概率分布的方法是，二者统一用分布函数来刻画其概率分布状况。数来刻画其概率分布状况。73. 3. 随机变量的数字特征：期望与方差随机变量的数字特征：期望与方差l1.数学期望数学期望l2. 方差方差dxxxfXEXpxXEXiii)()(:)(:1连续型的离散型的)()

5、()(2XEXEXDXVar注意其经注意其经济意义济意义8二、几个常用的金融概率分布二、几个常用的金融概率分布l1.离散型离散型R.V.的分布：的分布：l二项式分布、泊松（二项式分布、泊松（Poisson）分布）分布l2.连续型连续型R.V.的分布：的分布：l正态分布、对数正态分布正态分布、对数正态分布91. 1. 二项二项( (式式) )分布分布l金融中最重要的离散分布之一就是二项式分布金融中最重要的离散分布之一就是二项式分布, 也称为贝努利也称为贝努利(Bernoulli)分布。分布。l某随机变量某随机变量 X 必须满足下列条件：必须满足下列条件：l第一第一，每一次观测或试验中，变量只能出

6、现两个可能的取值或结，每一次观测或试验中，变量只能出现两个可能的取值或结果：果：“成功成功”或或“失败失败”l第二第二，对于连续进行的，对于连续进行的n次观测或试验中每一次试验，每个可能次观测或试验中每一次试验，每个可能结果的概率是常数；结果的概率是常数；l第三第三，每次试验是独立的，每次试验是独立的l记每一次试验中记每一次试验中” 成功成功”的概率为的概率为p, 且连续进行的且连续进行的n次独立试验次独立试验中中“成功成功”的次数记作随机变量的次数记作随机变量X。则称为则称为X服从参数为服从参数为n,p的二的二项式分布，记为项式分布，记为l其中，其中，X可能取值为可能取值为0，1，2，n(

7、, )XB n p10二项概率公式、期望值与标准差：二项概率公式、期望值与标准差：l假设用假设用X表示连续独立的表示连续独立的n次试验中，次试验中，“成功成功”这一结这一结果出现的次数，则果出现的次数，则X是一个随机变量，其所有可能的是一个随机变量，其所有可能的取值为取值为0，1，2，n;l且某一随机结果（即且某一随机结果（即”成功成功”出现出现j次）发生的概率为次）发生的概率为l服从二项分布的随机变量服从二项分布的随机变量X的期望、方差和标准差分的期望、方差和标准差分别为别为(1),0,1,.,jjnjnP XjC ppjn();()(1);. .(1)E Xnp Var XnppS Dnp

8、p11特别的，当特别的，当n=1n=1时时, X, X就成为极其特殊的就成为极其特殊的分布分布l(j)=pj(1-p)1-j, (j=0,1)12比如，资产价格在下一分钟内上升或下比如，资产价格在下一分钟内上升或下降的概率均为降的概率均为0.50.5，那么，那么，l下两分钟内，价格上下两分钟内，价格上升升2次、次、1次和次和0次的次的概率分别为概率分别为2202021111120020222!(2)(1)0.5 (10.5)0.252!(22)!2!(1)(1)0.5 (10.5)0.51!(21)!2!(0)(1)0.5 (10.5)0.250!(20)!P XC ppP XC ppP XC

9、 pp13当二项分布的当二项分布的n n很大时，即随机结果有大很大时，即随机结果有大量观测值时，而且其均值既不接近于量观测值时，而且其均值既不接近于0 0，l也不接近于也不接近于n时，此时，二项分布接近于时，此时，二项分布接近于正态分布。正态分布。l二项分布是模拟资产价格的行为的有利工二项分布是模拟资产价格的行为的有利工具。具。特别是在模拟衍生证券的定价，构造特别是在模拟衍生证券的定价，构造数值近似的价格时非常有用，应该深刻理数值近似的价格时非常有用，应该深刻理解其概率分布的特点。解其概率分布的特点。142.泊松（泊松（PoissonPoisson）分布）分布l我们假定，引起市场价格发生显著变

10、化的信息是以一我们假定，引起市场价格发生显著变化的信息是以一种离散的、独立、随机和均匀速度运动的。种离散的、独立、随机和均匀速度运动的。l比如，平均每分钟有比如，平均每分钟有10条信息到达交易所，那么请问：条信息到达交易所，那么请问：“在下一分钟内仅有在下一分钟内仅有8条信息到达的概率为多少？条信息到达的概率为多少？”l比如，比如，我们尝试用我们尝试用n=60,概率为概率为p=1/6的二项公式分布的二项公式分布来模拟它，来模拟它，那么，那么，60秒秒(即一分钟内的间隔为一秒即一分钟内的间隔为一秒)内内信息到达的数量可能分别为信息到达的数量可能分别为0，1，2，,60条，共计条，共计61种可能结

11、果，对于可能的结果种可能结果，对于可能的结果 j=8而言，其概率为而言，其概率为88526015( ) ( )0.116266C15二项分布模型的局限性二项分布模型的局限性：在信息高速发展的信：在信息高速发展的信息时代，每秒钟内甚至每个瞬间内都有信息运息时代，每秒钟内甚至每个瞬间内都有信息运动动l更细化为更细化为 n=120（每半秒间隔）（每半秒间隔）,p=1/12,其对应的概率其对应的概率为为l类似地类似地，随着逐渐减少时间间隔，模型的数据量越来越，随着逐渐减少时间间隔，模型的数据量越来越多，随机变量的可能取值越来越多，但最后的概率值并多，随机变量的可能取值越来越多，但最后的概率值并没有多大

12、改变：没有多大改变：l对于对于n=240,p=1/24,概率为概率为0.113534；l对于对于n=480,p=1/48,概率为概率为0.113067；这就是该模型的局；这就是该模型的局限性。即随着观测次数无限增大时，概率值不再敏感了限性。即随着观测次数无限增大时，概率值不再敏感了88112120111() ()0.11451212C16PoissonPoisson分布是二项式分布的极端情形分布是二项式分布的极端情形l当试验次数当试验次数n趋于无穷大，成功的概率趋于无穷大，成功的概率p趋趋于于0，而均值，而均值=np为常数的情形。为常数的情形。l概率公式为概率公式为l记作记作P() )。lPo

13、isson分布有一个参数分布有一个参数，代表事件发生，代表事件发生的平均速度（数学期望），在上例中的平均速度（数学期望），在上例中为为1010，即即1 1分钟内平均有分钟内平均有1010条信息到达，且其具体条信息到达，且其具体的可能取值有无穷多。的可能取值有无穷多。l对于均值为对于均值为1010的的PoissonPoisson分布，发生分布，发生8 8次次事件的概率为事件的概率为()(0,1,2,., ,.)!keP Xkknk108100.11268!e17PoissonPoisson分布的期望与方差相等，均为分布的期望与方差相等，均为l如果如果足够大，我们就可用正态分布足够大，我们就可用正

14、态分布N N（，）来近似估计）来近似估计Poisson分布分布18PoissonPoisson分布的应用分布的应用l以金融时报以金融时报100指数的日收益率大幅度波动的指数的日收益率大幅度波动的概率模型为例来说明概率模型为例来说明Poisson分布的应用。分布的应用。l我们感兴趣的是模拟该指数的日变化（即日收我们感兴趣的是模拟该指数的日变化（即日收益率）超过益率）超过1%的过程。的过程。l首先，需要估计出来首先，需要估计出来的数值才能已知的数值才能已知Poisson分布。分布。l根据该指数自根据该指数自19841984年年1 1月月3 3日到日到19921992年年4 4月月3 3日期日期间的

15、日数据的分析表明：在这间的日数据的分析表明：在这8 8.25.25年中，每年中，每6 6个月内该指数日变化超过个月内该指数日变化超过1%1%的的平均次数为平均次数为5 5次，次，则则=5=5。19那么，欲求在接下来的那么，欲求在接下来的6 6个月内，至少发个月内，至少发生生3 3次这种变化的概率多大？次这种变化的概率多大？l采用逆事件的概率求解。采用逆事件的概率求解。l需要首先分别求出发生需要首先分别求出发生0、1、2次的概次的概率，之后再用率，之后再用1 减去这几种可能的概率减去这几种可能的概率即可。即可。l设设X表示发生的次数：则有概率如下表示发生的次数：则有概率如下5051525(0)0

16、.00670!5(1)0.03371!5(2)0.008422!eP XeP XeP X20因此，有因此，有l所以，在接下来的所以，在接下来的6个月内该指数的日收个月内该指数的日收盘价的变化至少有盘价的变化至少有3次超过次超过1%的可能性的可能性是是95.1%，l也就是说，该股价指数日收益率超过也就是说，该股价指数日收益率超过至少有三次的概率高达至少有三次的概率高达95.1(3)1 (0)(1)(2)10.04880.951P XP XP XP X 213. 3. 正态分布正态分布(Normal distribution)(Normal distribution)l因为大多数据的频数分布都是因

17、为大多数据的频数分布都是正态或高斯正态或高斯（Gauss）分布，因而正态分布应用最广）分布，因而正态分布应用最广泛。泛。l它是连续分布，可用于模拟离散型的随机它是连续分布，可用于模拟离散型的随机变量。变量。22正态分布的密度函数曲线正态分布的密度函数曲线l其密度曲线是对称的钟其密度曲线是对称的钟形曲线。形曲线。l其统计特性主要由分布其统计特性主要由分布的均值与标准差来确定。的均值与标准差来确定。l因为均值指出了密度曲因为均值指出了密度曲线的中心位置，标准差线的中心位置，标准差指出了钟形是怎样的陡指出了钟形是怎样的陡峭程度。峭程度。l可以证明：可以证明：0.682722 0.954533 0.9

18、973PXPXPX22() / 21( )2xf xe23正态分布的基本定理：中心极限定理正态分布的基本定理：中心极限定理l为何假定很多随机变量都服从正态分布的为何假定很多随机变量都服从正态分布的合理性依据就是中心极限定理。合理性依据就是中心极限定理。l该定理告诉我们该定理告诉我们：不论一个随机变量数据：不论一个随机变量数据的原始分布是什么样的，只要分布具有有的原始分布是什么样的，只要分布具有有限方差，则该随机变量的限方差，则该随机变量的大量独立样本的大量独立样本的均值均值将服从正态分布。将服从正态分布。l即，大样本数据的均值的分布近似为正态即，大样本数据的均值的分布近似为正态分布分布24举例

19、说明：考虑某股价指数的每分钟变举例说明：考虑某股价指数的每分钟变化情况化情况l假设，在接下来的一分钟内，指数假设，在接下来的一分钟内，指数X会以相等的概率上升或下跌会以相等的概率上升或下跌一个点，即分布为一个点，即分布为分布：分布：l可能的结果：可能的结果：-1 +1l 概率概率 ： 0.5 0.5同理，指数在同理，指数在2分钟内的可能结果的分布为分钟内的可能结果的分布为l可能的结果：可能的结果：-2 0 +2l 概率概率 ： 0.25 0.5 0.25l3分钟内可能结果分布为分钟内可能结果分布为l可能的结果：可能的结果：-3 -1 +1 +3l 概率概率 ： 1/8 3/8 3/8 1/8l

20、4分钟内可能结果分布为分钟内可能结果分布为l可能的结果：可能的结果：-4 -2 0 +2 +4l 概率概率 ： 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16l可见，继续这一过程，当数据增多时呈现出来明显的集中趋势，可见，继续这一过程，当数据增多时呈现出来明显的集中趋势，而取值两端的概率越来越小。而取值两端的概率越来越小。25标准正态分布标准正态分布的概率密度及其图形的概率密度及其图形(0,1)XZN2/ 21( )2xxe我们把均值为我们把均值为0，标准差为，标准差为1的正态分布的正态分布称为标准正态分布，记号为称为标准正态分布，记号为N（0，1）；）；其概率密度函数表达式为其概率密度函数表达式

21、为对于服从普通正态分布对于服从普通正态分布N（，2 2）的）的随机变量随机变量X而言，则实行下列的标准化而言，则实行下列的标准化变换就可转化为标准正态变量：变换就可转化为标准正态变量：2( ,)XN 26正态分布如何转化为标准正态分布，并正态分布如何转化为标准正态分布，并查表查出概率的数值查表查出概率的数值l比如，我们希望得到一个给定资产的收益比如，我们希望得到一个给定资产的收益率介于率介于4.9%和和5% 之间的概率，并且已知之间的概率，并且已知该资产的收益率服从均值为该资产的收益率服从均值为4% ，标准差为，标准差为1%的正态分布，即的正态分布，即X N（4,12）。l首先求出首先求出，收

22、益率，收益率4.9%和和5.0%对应的对应的z值值分别为分别为lz=(4.9-4)/1.0=0.9lz=(5.0-4)/1.0=1.0l其次其次，查表查出介于，查表查出介于0与与0.9之间的面积为之间的面积为P1=0.3159l以及介于以及介于0与与1.0之间的概率之间的概率P2=0.3413l最后，二者概率之差即为所求面积或概率最后，二者概率之差即为所求面积或概率l图中的数值均为如下三个概率（面积）图中的数值均为如下三个概率（面积）lP（0X0.9）=0.3159;lP（0X1）上升或以因子）上升或以因子d (d1)下降。下降。l在此图形中，表示作了两次试验在此图形中，表示作了两次试验和三种

23、可能结果：和三种可能结果：Su2表示两次表示两次“成功成功”的结果，的结果，lSud表示一次表示一次“成功成功”的结果，的结果，lSd2表示两次表示两次“失败失败”的结果的结果53举例说明：资产价格的二叉（项）树模举例说明：资产价格的二叉（项）树模型型l假设：期初资产价格为假设：期初资产价格为S=50元，上升元，上升因子因子u=1.10, 下降因子下降因子d=1/1.10, l则在第一期期末则在第一期期末T1时刻，时刻，S可能上涨可能上涨到到S1.1=55元，或者可能下降到元，或者可能下降到S1/1.10=45.45元。元。l在第二期期末在第二期期末T2，可能的价格有可能，可能的价格有可能为为

24、lSu2=60.50元，元，Sud=50元，元， Sd2=41.32元，元， l那么，这一过程中对应的上升或下降那么，这一过程中对应的上升或下降的概率分别是多少？的概率分别是多少？54求第二期期末求第二期期末T2T2时的资产的期望价格与时的资产的期望价格与方差方差l首先求出各种情形的概率：首先求出各种情形的概率：l若若PX=Su=p=0.5， PX=Sd=0.5；l则则PX=Su2=0.50.5=0.25,lPX=Sud=20.50.5=0.5lPX=Sd2=0.50.5=0.25,则到则到2期末，该资产的期望价格为期末，该资产的期望价格为=60.50.25+50.00.5+41.320.25

25、=50.46元元(经济经济意义？意义？) ； 2期末的价格的方差期末的价格的方差=46.18（元（元2）2222(60.550.46)0.25(5050.46)0.5(41.3250.46)0 .2546.1855请问，你会预测出三期末该资产的平均请问，你会预测出三期末该资产的平均价格与标准差么？价格与标准差么？l更进一步的，更进一步的，n期末的情形呢？期末的情形呢？56本章作业本章作业由第三、第四、第五小组分别各自寻找一个应用实例来由第三、第四、第五小组分别各自寻找一个应用实例来说明概率方法在你们已学过的许多金融知识中的应用，并说明概率方法在你们已学过的许多金融知识中的应用，并撰写一个应用分

26、析小论文。撰写一个应用分析小论文。.某种证券的价格在一个月内有某种证券的价格在一个月内有0.6的概率会上涨的概率会上涨1%， 有有0.4的概率会下跌的概率会下跌1% ，假设证券价格的每月变化是独立的。，假设证券价格的每月变化是独立的。假设：假设：（a）在个月内证券价格达到初始价格的（）在个月内证券价格达到初始价格的（1.01）3的概率。的概率。（b）在个月内证券价格达到初始价格的）在个月内证券价格达到初始价格的0.99（1.01）2的的概率。概率。（c）假如该证券的当前价格为）假如该证券的当前价格为10元，那么一年后的价格为元，那么一年后的价格为10.40元的概率多大？元的概率多大？573. 3. 一项对两个金融市场上每日价格变化一项对两个金融市场上每日价格变化的研究结果如下：的研究结果如下：l计算某一天下列事件的概率计算某一天下列事件的概率(a) 市场市场1价格上涨价格上涨(