人教版高中数学选修22理推理与证明

1、人教版高中数学选修人教版高中数学选修2-2(理理)推推理与证明理与证明选修选修2-2(2-2(理理) ) 选修选修1-2(1-2(文文) )1 1 作用地位作用地位2 2 结构体系结构体系3 3 教学建议教学建议（一）（一） 课时安排课时安排（二）（二） 知识解读知识解读（三）（三） 问题探讨问题探讨推理与证明推理与证明一一 作用地位作用地位教学功能教学功能 是归纳与引领是归纳与引领 培养创新精神培养创新精神 教材亮点之一教材亮点之一 从创造过程看，从创造过程看，数学却是一门实验数学却是一门实验性的归纳科学。性的归纳科学。 -波利亚波利亚问题一问题一 为什么要将为什么要将合情推理合情推理写进课

2、标教材？写进课标教材？问题二问题二 证明方法在大纲教材里基本上是分散的，证明方法在大纲教材里基本上是分散的，为什么要将它们整合在一块？为什么要将它们整合在一块？演演绎绎推推理理完完全全归归纳纳推推理理逻逻辑辑推推理理 归归纳纳推推理理不不完完全全归归纳纳推推理理类类比比推推理理观观察察、实实验验非非逻逻辑辑推推理理 比比较较、猜猜想想灵灵感感、顿顿悟悟 论证推理论证推理 合情推理合情推理推理分类推理分类二二 结构体系结构体系二二 结构体系结构体系 2.1.1 2.1.1 合情推理合情推理 1 1课时；课时； 2.1.2 2.1.2 演绎推理演绎推理 2 2课时；课时； 2.2.1 2.2.1

3、综合法和分析法综合法和分析法 2 2课时；课时； 2.2.2 2.2.2 反证法反证法 1 1课时；课时； 2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法( (文科无文科无) 1) 1课时；课时； 小结小结 1 1课时课时。三三 教学建议教学建议 ( (一一) )课时安排课时安排( (约约8 8课时课时) )三三 教学建议教学建议 ( (二二) )知识解读知识解读1.1 1.1 归纳推理归纳推理(2)(2)分类：完全归纳与不完全归纳。分类：完全归纳与不完全归纳。 (1)(1)定义定义: :从个别事实中概括出一般结论的推理模式。从个别事实中概括出一般结论的推理模式。（特点：（特点：由特殊到一般由特殊到一般

4、）(3)(3)思维过程：（思维过程：（“三步曲三步曲”）实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论1 1 推理推理sab说明说明: :第一第一, ,掌握归纳推理特点，体会思维过程掌握归纳推理特点，体会思维过程“三步曲三步曲”. . 第二第二,不完全归纳法的结论未必正确，但有发现新结不完全归纳法的结论未必正确，但有发现新结论、探索解决问题的作用论、探索解决问题的作用.第三第三, ,用集合论的观点解释用集合论的观点解释. .1.2 1.2 类比推理类比推理(1)(1)定义：在两类不同的对象之间进行对比，找出若定义：在两类不同的对象之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其

5、他方面也可能存在相同点干相同点之后，推测在其他方面也可能存在相同点的一种推理模式。的一种推理模式。( (特点：特点：由特殊到特殊由特殊到特殊) )(3)(3)难点难点: :类比对象的确定类比对象的确定 实验、观察实验、观察联想、比较联想、比较猜想新的结论猜想新的结论(2)(2)思维过程：（思维过程：（“三步曲三步曲”）说明说明:第一第一,掌握归纳推理特点，了解思维过程掌握归纳推理特点，了解思维过程“三步曲三步曲”.第二第二,类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能，是一种具有创造性的推理具有发现的功能，是一种具有创造性的推理.第三第三, 用

6、集合论的观点解释用集合论的观点解释. abpq?pq例例1 1 探测火星是否有生命探测火星是否有生命, ,科学家把火星与地球作类比科学家把火星与地球作类比. .如果没有类比推理，那么无论是在初等数学还是在如果没有类比推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现现的东西，也可能无从发现.-.-波利亚波利亚 类比的风险类比的风险egd例例2 例例3（1 1）定义：从一般性的原理）定义：从一般性的原理( (包括定义、公理、定理包括定义、公理、定理等等) )出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为出发，

7、推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理演绎推理. .（特点（特点: :由一般到特殊由一般到特殊）（2 2）模式：三段论（大前提、小前提、结论）模式：三段论（大前提、小前提、结论）. . （3 3）作用：演绎推理具有证明结论作用，整理和构）作用：演绎推理具有证明结论作用，整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法. .1.3 1.3 演绎推理演绎推理说明说明: 第一第一,演绎推理是一种必然性推理，只要大前提演绎推理是一种必然性推理，只要大前提是正确的，小前提是正确的，且推理形式正确，是正确的，小前提是正确的，且推理形式正确，则结论必定是正

8、确的。则结论必定是正确的。 引起结论错误的有三种情况：引起结论错误的有三种情况： 大前提错误；大前提错误； 小前提错误小前提错误; 推理形式错误。推理形式错误。 大前提大前提: 高风中学是一所省二级重点中学，高风中学是一所省二级重点中学， 例例4 三段论例子三段论例子 小前提小前提: 张某是高风中学的教师，张某是高风中学的教师， 结论结论: 张某是一位省二级重点中学的教师。张某是一位省二级重点中学的教师。小前提小前提: 张某不是高风中学的教师，张某不是高风中学的教师， 结论结论: 张某不是一位省二级重点中学的教师。张某不是一位省二级重点中学的教师。说明说明: : 第一第一, , 只要大前提是正

9、确的，小前提是正确的只要大前提是正确的，小前提是正确的, ,且推理形式是正确的，则结论必定是正确的。且推理形式是正确的，则结论必定是正确的。 第二第二, ,有些数学命题的演绎证明过程实质是一连串有些数学命题的演绎证明过程实质是一连串三段论的有序组合三段论的有序组合, , 只是为了简洁只是为了简洁, ,往往略去大前提或往往略去大前提或小前提小前提. . 第三第三, ,集合论的观点解释：集合论的观点解释：m m是是p ps s是是p p推理教学的三个推理教学的三个注意注意点点：第一第一, ,合情推理与演绎推理并重，不追求对概念的抽合情推理与演绎推理并重，不追求对概念的抽象表述，但要理解各种推理的特

10、点；象表述，但要理解各种推理的特点；第二第二, ,以实际问题与已学问题为主要素材展开教学，以实际问题与已学问题为主要素材展开教学，教学时可以通过实例来归纳相应的方法，然后再通教学时可以通过实例来归纳相应的方法，然后再通过实例体会方法，应用方法过实例体会方法，应用方法; ;第三第三, ,要控制难度，体现新课程要控制难度，体现新课程螺旋上升螺旋上升的特点的特点. .“两头挤两头挤” 分析法和综合法分析法和综合法2.1 2.1 直接证明直接证明 数学归纳法数学归纳法 难点：难点： 在第二步中，为什么能在假设下进行证明？在第二步中，为什么能在假设下进行证明？ 反证法反证法（体现一种正难则反的思想）（体

11、现一种正难则反的思想）2.2 2.2 间接证明间接证明2 2 证明证明证明证明教学中的几个注意点：教学中的几个注意点： 教学应以具体问题的讲练为主，让学生掌握教学应以具体问题的讲练为主，让学生掌握方法，体会书写，培养思维，学以致用为主。方法，体会书写，培养思维，学以致用为主。 如何找反例？如何找反例？（1）利用特位构建）利用特位构建;（2）利用特值构建）利用特值构建;（3）利用特形构建）利用特形构建 参阅参阅合理构建反例七则合理构建反例七则数理天地数理天地 05年第年第12期期1、怎么论证你所猜想的命题是错误的？、怎么论证你所猜想的命题是错误的？ ( (三三) )问题探讨问题探讨 找反例找反例

12、2、如何确定类比对象、如何确定类比对象?就就形式形式而言而言,由条件的相似类比结论的相似由条件的相似类比结论的相似;由命题结论的相似类比推理方法的相似由命题结论的相似类比推理方法的相似就就内容内容而言而言,形与形类比；数与数类比；数与形类比形与形类比；数与数类比；数与形类比, 式与式类比；式与式类比；数与式类比数与式类比; 运算类比；低维与高维运算类比；低维与高维(平面与空间类平面与空间类比比); 有限与无限类比有限与无限类比; 抽象与具体的类比抽象与具体的类比 平面与空间之间的类比规律平面与空间之间的类比规律: 平面中的点平面中的点-空间中的点或线；空间中的点或线； 平面中的线平面中的线-空

13、间中的线或面；空间中的线或面； 平面图形平面图形-平面或空间图形平面或空间图形例例53 3、如何理解合情推理中的、如何理解合情推理中的“合情合情”？ 合情推理是根据已有的事实，经过观察，分析、合情推理是根据已有的事实，经过观察，分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，通俗地讲，是指的推理，通俗地讲，是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理 4 4、数学归纳法是归纳法还是演绎法、数学归纳法是归纳法还是演绎法? ?观点一观点一 数学归纳法是一种演绎法数学归纳法是一种演绎法. “从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发从一定意义上说它又是古典演绎

14、逻辑的一种发展了的形式展了的形式,其严密性与演绎推理相同其严密性与演绎推理相同”.（平辛伦（平辛伦.数学归纳法史述数学归纳法史述,数学教学数学教学,1995,1） “早在五十年代的苏联的教学法书籍中早在五十年代的苏联的教学法书籍中,已明确指已明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式，八十年代的中出数学归纳法是演绎法的特殊形式，八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点，国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点，不能不令人遗憾，如实地确认数学归纳法是演绎法不能不令人遗憾，如实地确认数学归纳法是演绎法,大有助于提高这一部分的教学质量。大有助于提高这一部分的教学质量。” (重庆师范重庆师范

15、学院唐以荣教授学院唐以荣教授)观点二观点二 数学归纳法是数学归纳数学归纳法是数学归纳演绎法演绎法. “按现代逻辑的观点按现代逻辑的观点,将前提与结论之间有必然性联将前提与结论之间有必然性联系的推理称为演绎推理系的推理称为演绎推理, 则数学归纳法当然是一种演绎则数学归纳法当然是一种演绎法法. 但是我们还应看到数学归纳法中是以有限的步骤去但是我们还应看到数学归纳法中是以有限的步骤去概括无穷多个结论概括无穷多个结论, 那就有归纳的成分那就有归纳的成分. 因此可以说因此可以说,数数学归纳法的实质是数学归纳学归纳法的实质是数学归纳演绎法演绎法”(赵龙山赵龙山.有关有关数学归纳法教学中的逻辑问题数学归纳法教学中的逻辑问题,数学通报数学通报,1992,9)数系的扩充和复数的引入数系的扩充和复数的引入 了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的条件，掌握复数的代数形式及其几何意义，复数相等的条件，掌握复数的代数形式及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算（其中，乘法类似于能进行复数代数形式的四则运算（其中，乘法类似于二个多项式相乘，除法的实质是分母实数化），了解二个多项式相乘，除法的实质是分母实数化），了解代数形式的加减运算的几何意义。代数形式的加减运算的几何意义