(完整版)矢量分析

1、矢量代数赵黎晨第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而 ,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳 .主要是为了应用 ,而不追求数学上的严格 .一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若v, a2 , a3 )va (a1b (b1, b2 ,b3 )v v则 a , b 的点乘 (也称标量积 )v va2b2a3b3v vvvv va b a1b1( a bbaa b cos )v va , b 的叉乘 (也称矢量积 )e1e2e3a b a1a2a3e1 (a2 b3a3b2 ) e2 (a3 b1 a1b3 ) e3 ( a1b2 a2b1 )b1b2

2、b3a b 的大小vv，v,vab sin为 ab 的夹角方向：既垂直于 a ，又垂直于 b ,与 a,b 满足右手螺旋关系。叉乘的不可交换性abba2.三个矢量的混合积v v vv vvvvvc (a b) c1 (a b)1c2 (a b ) 2 c3 (a b)3= c1 (a2b3a3b2 ) c2 (a3b1a1b3 ) c3 (a1b2 a2b1 )几何解释 :以 a, b, c 为棱的平行六面体的体积性质： (1)轮换不变性 ，在点乘号 ,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换 ,其混合积不变 .vvvvvvvvva (bc)b ( ca)c (ab )(2)若只把两个矢量对调

3、 ,混合积反号。vav(bvc)vav(cvb )vbv(avc )vcv(bva)(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序 )。vav(bvc)v(avb )vc3.三个矢量的叉乘令vvvvc(ab )fvvvve1e2e3则 fc1c2c3a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1f1c2 ( a1b2a2b1) c3 (a3b1a1b3 )a1( c2 b2c3b3 ) b1(c2 a2c3a3 )a ( cb c b c b ) b (c a c a c a )11122331112233vvvva1( c b )b1 (ca)同理 f

4、 2vvvva2 (c b) b2 (c a)f 3vvvva3 (c b ) b3 (c a)故vvvvvvvv vvc (a b )f(c b) a ( c a)b而vvvvvvvv v(a b ) c (c a)b (c b)a二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号 ,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。 (“远正近负，再取和 ”)二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。 这是需要引入场的概念。 如果在全部空间或部分空间里的每一点 ，都对应着某

5、个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标t空间坐标vvvvv v vx( x, y, z)ixjykz ， i , j ,k 构成右手系。标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号 标量场v( x)vvv矢量场 FF ( x)v张量场TT（x）4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。三、场分析及其微分特征量（矢量微分）整体上来看分析场的奇异性，敛散性局域上来看函数某点附近的性质，

6、微分特征量。1.梯度在标量场中， 标量的分布情况， 可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。 而研究标量场的另一个重要方面， 就是还要对它作局部性的了解， 即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。 为此，引入方向导数，梯度的概念。(1)方向导数v方向导数给出了函数 (x) 在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向， 函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。函数vv点 l 方向上的方向导数为（场的空间坐标为vv( x) 在 Mxx(l ) ）vd

7、 (x)dx(l ), y(l ), z(l )dldlxyzxlylzlvv xv yvz。xcos，ycos，zcos 在l 方向上的单位矢量 l0ijkllllllv点 l 方向上的方向余弦。其余三个数，也可视为某一矢量的坐标MxyzvvvvGx exy eyz ez 。(2)梯度在直角坐标系下，定义梯度 (gradient)： gradvvv。x exy eyz ez这样上式可以表示为 dvl 0 。dlv从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数( x) 上升最快的方向，大小为其改变率数值。(3)梯度的性质（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）方向导数是梯度在

8、该方向上的投影；v（3）梯度的方向为指向(x) 增加最快的方向。2.散度：(1)通量通量的定义，设有矢量场vvF ，沿某一有向曲面 S 的某一侧面的曲面积分v vF dSsvv叫做矢量场 F 向积分所沿一侧穿过曲面S 的通量。说明： 1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;2.通量可以叠加 ;vv3.若为闭合面，?FdS ，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿s出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。根据通量的正负可以得知 S 内有产生通量的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。但仅此还不能了解源在 S 内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了描述上述问题，我们引入散度的概念。(2)散

9、度vvvvsFdS散度 (divergence)的定义 divff lim?VsVs0散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处 源的强度（散发通量或吸收通量的能力 ）。其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量v之负源，其绝对值divf 就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。对于流体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度 ，（单位时间单位体积内所产生的流体质量） 。(3)散度的性质（ 1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。vvfxfyfz（ 2）在直角坐标系下有 divffxyz3旋

10、度（ 1）环量的定义：vl 的曲线积分设有矢量场 F ，则沿场中某一闭合的有向曲线?lvvFdl称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量。我们已知磁场中有?lvvHdl I由上式可以知道，磁场vH 的环量， I 为通过磁场中以 l 为边界的一块面积 S 的总的电流强度。显然，仅此还不能了解磁场中任一点vM 处通向任一方向 n 的电流vv密度（即在点 M 处沿 n的方向，通过与 n 垂直的单位面积的电流强度） 。为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。（ 2）环量面密度。vv设 M 为矢量场 F 中的一点，在 M 点处取定一个方向n ，再过 M 任作一微小曲面vS 表其面积，其周S ，以

11、 n 为其在 M 点处的法矢，对此曲面，我们同时又以vl 之正向的环量与面积界 l 之正向取作与 n 构成右手螺旋关系。 则矢量场沿S 之比，当曲面S 在保持 M 点于其上的条件下， 沿着自身缩向 M 点时，若vS的极限存在，则称其为矢量场v的环量面密度（就是环量对F 在点 M 处沿方向 n面积的变化率），记作n ，即，lim ?vvlimlFdlnSSS MSMvv例如，在磁场强度 H 所构成的磁场中的一点 M 处，沿方向 n 的环量面密度，? lvvnlimHdllimIdI (电流密度 ) 。S MSSMSdSvv的环量面密度为又如在流速场 v中的一点 M 处，沿方向 n?lvvnlim

12、v dllimQtdQtS MSSMSdSv即为在点 M 处与 n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为 环流密度 （或环流强度 ）。单位时间单位面积流走的电荷电量。从上面我们可以看出， 环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系， 正如梯度与方向导数之间的关系一样。这个矢量我们称之为旋度.下面，我们给出旋度的定义，（ 3）旋度vvv若在矢量场

13、F 中的一点 M 处存在这样的一个矢量 R ，矢量场 F 在点 M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是vvR ，则称矢量 R 为矢vv量场 F在点 M 处的旋度 (rotation, curl) ，记作 rotF ，即v v rotF R简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。(4)旋度的性质（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即有vrot n Fn 。vvvv?lFdlnnrotF limSS0vv例子 1:在磁场 H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模

14、即为最大电流密度的数值，而且它在任一方向上的投影， 就给出该方向上的v电流密度。在电学上称rotH 为电流密度矢量 。vv是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，例子 2:在流速场 v中，旋度 rotv其模即为最大环流密度的数值， 而且它在任一方向上的投影， 就给出该方向上的环流密度。（ 3）在直角坐标系中v v v ex ey ezvv(f zf yv(fxfzvf yfxvrotffyyz)exzx)ey(y)ezxzxfxf yf z例题：设一刚体绕过原点 O 的某个轴 l 转动，其角速度为 vvvv1i2 j3k ，则刚体上的每一点处都具有线速度v，从而构成一个线速度场。由运动学知道

15、，矢v径为rvvvv的点M的线速度为xiyjzkvv v( 2 zv( 3 xvvv的旋度。vr3 y)i1z) j ( 1 y2 x)k ，求线速度 v解：由速度场的雅可比（Jacobi）矩阵v0320Dv31210得rotvvvvv2 1i2 2 j2 3k 2 vv这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点M 的旋度，除去一个常数因子外：恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。注，对于一个矢量v( ,)vvv，雅可比矩阵可以表示为fxyzif xjf ykfzfxf xf xxyzvf yf yf yDfyzxf zf zf zxyz其中对角元f x，f y，fzv，其余六个正好是旋度的公

16、式中所需要的。xyz之和为 divf按照逆 S 顺序排列，每两个作为一组求和，其中后面的偏导数前面加负号，并且v v v按照 i , j , k 的顺序排列。四、几个重要定理1牛顿莱布尼兹定理v v (b ) (a)bavdl（由方向导数的公式dvvvvdll 0 ，得 ddl，从 a到 b 取积分得到vvbb(b )(a)adavdl ）2奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（Gauss）公式，奥高公式）：vvv? fdSf dVSV闭曲面 S 为 V 的表面， ds 等于 ds 乘以外法线方向单位矢量。（在矢量场中任取体积 V ，包围这个体积的闭合面为 S ，用垂直于坐标轴的三组平行面把体积

17、V 分割成许多无限小的六面体 （分割足够细， 可以看成六面体），vvvvFdS由散度的定义 divff lim?s可知，通过每个六面体表面的通量是Vs0VsvvffdV ，在 S 所围的体积 V 中，小六面体的表面可以分成两VS种：一种是内部的面， 它们每个同时是相邻两个小六面体的表面，但是对于这两六面体，此面的法线方向应当是相反的，所以此面的通量对一个六面体来说是正的对另一个就是负的， 因而在求和时， 所有内部的面上通量都互相抵消，另一种是外部的面，它们是面 S的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过面 S 的通量即vvvvv?s Fd

18、s，最后得到 ? fdSf dV ）SV3. 斯托克斯（ stokes）公式：vvvv? fdlSfdSL闭曲线 L 为 S 的边界。 S 方向与 L 成右手螺旋关系。vS ，它的圆周界长度为 l ，把 S 任意分割为（在矢量场 A 中，任取一个非闭合面无数多的面积元 dsi， dsi的边界为 li，绕行的方向与 l的绕行方向相同，根据旋?vv度的定义式vvlimlFdl，nenrotFSS MvvvvvvdS ，对于每个面积元矢量 A 的线积分为Fdlen dSrotF(rotF )ev?lin将此结果求和vvvv?liFdl( rotF )ev dSs( rotF )ev dS ，沿小面积

19、元的边界取线nn积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，而且积分的方向相反， 在求和时这两部分互相抵消，结果只剩下外边与l 重合部分的积分值，因而得到vvvv，于是最后得到vvvvv）FdlFdl?FdlFv dSFdS蜒lSeni liLS4. 标量场本质上可以由该场的梯度确定， 矢量场本质上由该场的散度、 旋度确定。五、微分算符（nabla ，Hamilton ，代尔）1. 的性质（ 1）算符性（约定被作用量放在算符的右侧）（ 2）矢量性（ 3）一阶微分性（ 4）直角坐标系下，rrrexeyezxyz2.二次微商（1）()0exeyez证明：yexyz=0xzz yxyz逆定理：反之

20、，在单连通区域，如果某一矢量f 的旋度为零 (f0 )，则矢量f 可表示为某个标量的梯度f，称为矢量场 f 的标量势。补：单连通区域的判定办法： 对于区域内任意选取闭合回路， 都能使之在区域内连续收缩，若能收缩为区域内的一点，则该区域为单连通区域（ 1）无孔的三维空间 单连通（ 2）三维空间抽出 z 轴非单连通（ 3）三维空间挖出一个球 单连通（ 4）三维空间挖出一个球壳 非连通，球内球外均为单连通，整体为非连通区域。（ 5）（2）中去掉包含 z 轴的半个空间 单连通（ 6）除去包含闭合电路为边界所张成的面后的空间 单连通（ 2）v0f证明：vf zf yfxfzf yfx0fxyzyzxz

21、xy记忆：vv0ff逆定理： 如果某一矢量 A 的散度为零（v0 ），则矢量 A 可表为另一矢量的A旋度Av称为矢量场 A 的矢量势f 。 f2222（ 3）()(z2 )x2y22 vvvv2 f x v2f y v2 f z v2f2f2 ffx2y22x2exy2eyz2ezz（ 4）(v(v2vf )f )f证明：由vvvvv v v vvv vvv v vc( ab )(cb)a(c a)ba(cb )(c a)b故vvvv2 vfffff3.乘积场的微商，算子具有矢量性和微分性()(I.18)(vv()v(I.19)f )ff(vvv(I.20)f )ffvvv(vvv(I.21)

22、( fg)gf )f (g )vv( gvvvvvvv(I.22)( fg) ff (g)( f)gg(f )vvvvvvv(vvv(I.23)( fg )f(g )( f)ggf )(g) f只要把看成具有矢量运算和微分运算双重性质的量，从这两种运算的特点考虑，即可得到上面这些式子。(I.18)作为一个矢量， 与标量相乘，结果应是矢量， 由于又是微分算子，因而它对的乘积的作用() 应得。(I.19)作为微分算子，既要作用到上，又要作用到 f 上 ，再考虑到的vv(v矢量性质，必须把点乘放在正确的位置上， 不能有 f () 而应得 ff )两项。(I.20)与上式道理相同，作为微分算子既要作用

23、到上，又要作用在 f 上，但叉乘号必须放到正确位置上，因而得vv。ff(I.21)vv根据的微分性质，应分别作用到f， g 上，可形式上写为fgvvvvvv而且还有矢量性质， 可通过矢量混合积的( fg )ffggfg性质改写，使其分别直接作用到f 和 g 上。由vvvvvvabcabc有第二项fgvvvvvvfgffgfgvv不能写成 (vv， 因g 要作用在 g 上。fggf) gvv考虑到gfgvvvvvwggffggfg故得vvvvvv( fg )g (f )f (g)(I.22)vvvvvv（微分性）( fg)ffggfg由vvvvvvvvv因而由矢量性得abca cba b cvv

24、vvvvvvvvff ggffgffgfgf (vvvv因f 只作用在 f上 fg) fgf ，同理，vvvvvvvvvvgfgfgggfgfgfg最后得vvvvvvvvvv( fg)(g) ff (g)( f)gg(f )(I.23)vvv vv v（ 由微分性）fgffggfg而由vvvvvvvvv( a b ) c (c a)b (c b )a得vvvvvvvvva b ca cbabc故vvvvffggffvvvvvvffggfgf(括号里面的量一个一定在括号外，有一个一定在括号里面。其脚标的量一vv定在括号内，不是脚标的量一定在括号外。f表示对 f作用，因此 f一定在括v)号里面，因

25、此有ff，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。同理vvv vvv vvg f gg g ffg fg于是v vv(vvvvvvv( f g)fg ) ( f) gg (f ) (g) f第二节-函数简介本节是为了格林函数做基础的，可视具体学时适当删减。一、电荷密度的函数表示1、数学上的函数定义 v0处的函数定义为：质点 xvv0 ；( x) 0xv1 积分区域 V 为包含 x0 点的任意区域。V( x)dVv0点，vv可见，在 x( x) 必为无穷大，否则不可能使包围 x 0 点的小区域内的积分为 1。性质 (1)选择性vvvvf (x) ( x)dVf (0) ，f ( x) 为原点 x

26、0 附近的连续函数。 V 为Vv0在内的任意区域。包含 x(2)偶函数(x)( x)(3)(ax)(x)a更一般的v函数应定义在 x 附近：vv0vv时( xx )当 xxvv1vV时( xx )dV当 xV性质 选择性vvvvvv点附近的连续函数， Vf ( x) (xx )dVf ( x )f (x) 为 xVv为包含 x 点在内的任意区域。2、电荷密度：通常电荷密度是与空间位置有关的有限连续函数。如果不是有限连续的，例如点电荷（点电荷是体积很小,电荷密度很大的带电小球的极限） ，或分布在一表面上或一曲线上的电荷，可用函数表示，因此我们可以用来表示 一个点电荷的电荷密度为vvv( x)q

27、( xx )一组点电荷的电荷密度为vqivv)( x)( xxii一个在原点处的电偶极子的电荷密度为vvv( x)( p) ( x)vvv( (x) 函数的导数是奇函数， 以电偶极子pql的中心为坐标原点， 两个点电vvvvvv荷 q 分别处于l0 ，该体系的电荷密度为x2( x exy eyzez ) 2，于是当 lvq (xll)( x)q (xv22q( x)vvvq( x)x( x) y(x)z vxyzvql( x)v v ( p ) ( x)其中.)在曲线坐标系中用函数表示电荷密度。例如，在球坐标系中均与分布在半径为 R 的球壳上的电荷为 q ，则电荷密度为q( r )4 R2 (

28、 r R)(r )r 2dr sin ddq4 R2(rR)r 2 drq在柱坐标系中均匀分布于半径为b 的圆柱面上每单位长度的电荷为，则电荷密度为( r )(rb)2 b(r )rdrddzd(rb)rdr2 b二、一个有用的公式2 1vvvr4rr 3( xx ) ，（其中 r( x x ) 2( yy )2( zz ) 2。由此得由库仑定律：vqvqvvqv vrE0r 34 04 ( x x )( x x ) ）40v0 处是没有意义的，那么这个式子代表什么。原来一个封闭面的这个式子在 rvvv4 ，（如果积分面所包含的面积分r3 dS( 1 ) dS 是有意义的。右方等于rr体积包含

29、原点）；或等于零，（如果积分面所包含的体积不包含原点）。将上式改写为(1)dV(2 1)dVrr如果体积包括原点，右方等于4；如果体积不包含原点，右方等于零。因此可以用(2 1)dV4vvr( xx )dV由于其中所选的体积任意则有v2 1vvr4rr 3( xx )这个式子的意义仅是原来的(1v4或 0（视面所包含的体积是否包含原点）) dSr这个式子是有实际用途的。2 1vvv证明：r4rr 3( xx ) （此种证明并不严谨）rv在 r0vv0，但在 r 0 处其值是无穷大的， 即它是一个函数。即 xx 处，r3取以 r0 点 为中 心， 半径 r0 的小球面，由高斯定理，及球面元矢量vr2sind dvdSer ，有vvvrrr 3dV?S r 3dS4由关于函数的定义，有4vv4v在 V内），( xx )dV（当 xV由于所选体积任意，因此v1vvr2r 34( xx ) 。r严谨证明 ：在球坐标系中，2 11r 2( 1) 0 ， r 0 。rr 2 rrr在 r0 点， 1 奇异，上式不成立。因此2 1 是这样一个函数，它在r0 处的rr值为零，只有在r0 点上可能不为零。我们采用极限的方法来求此积分