线性代数复习题2(含答案)

1、线性代数复习题2一、 单项选择题(每题 3分，共18分)1、 设矩阵A3 2, B2 3, C3 3，那么以下运算可行的是【】A. AC ,B.CB , C. ABCD. A B2、 设A, B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，那么以下等式成立的是【】A. A B A B A2 B2 B. A E A E A2 EC. ABBAD. A B E A BE3、设方阵A有特征值1、2，a是与1对应的特征向量，b是与2对应的特征向量，以下判断正确的是【 】A.a与b线性无关B. a b是A的特征向量C .a与b线性相关D . a与b正交4、设4阶方阵A的行列式为2，那么A的伴随矩阵 A*的行列式为【 】

2、(A)2；(B)4 ；(C) 8 ；(D) 11a1 25、假设矩阵A01a 2的秩r(A) 2,那么a的值为【】101 2(A) 0(B)0 或-1(C) -1(D)1 或 16、A与B为同阶方阵，如果 A与B具有相同的特征值，那么【】(A) A 与 B 相似；(B)A 与 B 合同；(C) A B ； (D)A B、填空题(每题3分，共18 分)7、D0 2 00030 0 050000，那么D4aaaa9、设矩阵Aaaaa，那么A的非零特征值为aaaaaaaa&设3阶矩阵A，且矩阵行列式 A3 ，那么矩阵行列式2A10、假设方阵A有一个特征值是1,那么E A11、n维向量空间的子

3、空间W(X1,X2丄,Xn)x1x2 Lxn0x2 L xn 0的维数是12、设E(i,j)表示由n阶单位矩阵第i行与第j行互换得到的初等矩阵，那么EE(i,j)三、解答以下各题(每题 6分，共24分)1522012013、计算行列式D17342957123114、设矩阵A045，B500222101215、解矩阵方程530 X20001012 216、问 取何值时，二次型 f Xi 4X20 010 ，求行列式AB3124X32 X1X22X1X34X2X3 为正定二次型?四、综合题每题10 分,共40分17、设向量组172301a1,a2a321400311求向量组的秩，并判断其相关性52

4、11a4J6a5421线性表示.18、设线性方程组为X2X33x402 x1X23X35x41，问a,b各取何值时，线性方程组无解，有唯3%2x2ax37x41X1X23 X3X4b2求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解119、E 1是矩阵A12125a3 的一个特征向量1b21试求参数a、b及特征向量E所对应的特征值;2问A是否相似于对角阵？说明理由.20、向量组(I)a1,a2，a3 ；(U)a1,a2，a3,a4 ;山a1，a2，a3，a5 -如果各向量组的秩分别为R IRn3, R川4，证明：向量组(W)a1,a2,a3,a5a

5、 4的秩为4.线性代数复习题二答案A ; 4、C; 5、A; 6、C、7、120;8、24;9、4a;、1522012013解：D1 73 4295712 01C1r22E21 6011 31、1、 C ; 2、 B; 3、3 091310、0; 11、 n 2 ; 12、 E i, j1522310120421021601132014 解:A8 ;B1AB21011215 解:X530200010116解：f的矩阵为因此，二次型f为正定二次型.A|B8310121 6520201 10001010 111A421 24A为正定矩阵.矩阵A的各阶顺序主子式全大于零.而矩阵A的各阶顺序主子式分别

6、为D110，D2D3所以，二次型f为正定二次型.D2，且D30，得0，得由D2由D3因此，得 21四、17解:172 5217252301 11r0217147ai, a2, a3 ,a4, a52140 6400440031 21031212110017 2521703233r03 121r0301111rr01000 110001103300 000000000011000000所以(1)R a1 ,a2 ,a3,a4 ,a535,所以向量组线性相关，(2)取a1 ,a2,a3为一个极大无关组，2111a4aia2a3a5a1a20a3333311 1301113021 3510111 1

7、18 解：A32 a7100a 41 011 31b0002 b 2当a4时，方程组有唯一解；当a4,b2时，方程组无解当a4，b2时，r(A)r(A)=3< 4，方程组有无穷多组解，其通解为(1,1,0,0)Tk(2,1,1,0)Tk为任意常数.12 1219 解:1由于E1是矩阵A5 a3的一个特征向量，所以有11 b22121I A E5a31 01b2121 20即：5a3 0 解得a3,b0,11 b202122122)由1 )得 A533 ，所以，I A533102102因此1是矩阵A的3重特征根.而3 12R I AR5 2321 0 1从而1所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵A不能相似于对角矩阵.20、证：因为 R I R 口3，所以向量组a a2, a3线性无关，而a1, a2,a3,a 4线性相关，所以，存在数1,2,3，使得况41 a2 a：3 a3(*)设有数k1，k2，k3，k4 ,使得a1k2 a2k3 a3k4 a5a40将*式代入上式并化简,得1k4况1k：2 k4 a：k33