空间向量立体几何绝对经典章节课堂

1、例1：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)abcda1b1c1d1g1)1 (aaadab1111)1 (acccacaaacaaadab解m 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量1教书育人 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点a a且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点o,o,点点p p在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式op=oa+t o

2、p=oa+t 其中向量叫做直线的其中向量叫做直线的方向向量方向向量. .llaaoabpa 若若p p为为a,ba,b中点中点, , 则则12 opoaob2教书育人2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使, a byx, p, a bomababapp pxayb 3教书育人 推论推论: :空间一点空间一点p p位于平面位于平面mabmab内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点o,o,有有 mpxmay

3、mb opomxmaymb注意：注意：空间四点空间四点p、m、a、b共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,xympxmaymb （） 使得(1)opxomyoazobxyz 其其中中，4教书育人例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为b，且lm，ln，求证：l。nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以

4、l 5教书育人巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aaop.,0,0,0,paapaaaoaapoapaoaypoxpayxoapooapoaoaaoaapoapopoaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在paaoaaapaoapapo求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,6教书育人复习:2. 向量的夹角:aboabab0ab ，ab ，向量 的夹角记作:ab与a b | | cos,aba b 1.空间向量的数量积:111222( , , ),( , )ax y z bx y z设12121 2x xy yz zcos| |

5、a babab ，12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz7教书育人5.向量的模长:2222|aaxyz( , , )ax y z设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,),(,)axyzbxyz12121 20 x xy yz z0aba b (2)| | |a bab | |,a baba b 同方向| |,a baba b 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。8教书育人oabp3.a、b、p三点共线的充要条件三点共线的充要条件a、b、p三点共线三点共线apt ab a(1)op xo

6、yob x y 9教书育人反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpababpp cp10教书育人例例5 (课本例课本例)已知已知 abcd ，从平面，从平面ac外一点外一点o引向量引向量 a,oekoa ofkob ogkoc ohkod 求证：四点求证：四点e、f、g、h共面；共面；平面平面ac/平面平面e

7、g.bcdoefgh证明：证明：四边形四边形abcd为为 acabad （）egogoe kockoa ()k ocoa kac （）代入）代入()k abad ()k oboaodoa ofoeohoe 所以所以 e、f、g、h共面。共面。efeh 11教书育人证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：efofoe kobkoa ()k oboa kab 由知由知egkac /egac/efab/egac面面面面abcdoefgh12教书育人 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一

8、平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面) 0(/ababapabbyxpabtoaopacyabxoaop小结小结共面共面) 1(apyxobyoxo) 1(0zyxoczobyoaxop13教书育人3）射影eaeaabbaelabbablbalallelaab,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量balea1b1注意：在轴l上的正射影a1b1是一个可正可负的实

9、数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。14教书育人例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形oabc中，中，oabc，obac，求证：，求证：ocabacobcboa，证明：由已知abco 0)(0)(0,0oaocobobocoaacobbcoa所以oaobocoboboaocoa所以00)(0ocbaocoboaocobocoa所以aboc 所以15教书育人3.已知空间四边形，求证：。,oabcobocaobaoc oabc oacb证明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0oa bcoa ocoboa ocoa oboaocoaoboa

10、oboaob oabc16教书育人 4. 4.空间向量基本定理空间向量基本定理 若三个向量若三个向量a a，b b，c c不共面，则对空间任一向量不共面，则对空间任一向量p p，存在有序实数，存在有序实数组组 x，y，z ，使得，使得p pxa ayb bzc.c.其中其中a，b，c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a，b，c都叫做都叫做基向量基向量 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为基底为正交基底正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为个基底为单位正交基

11、底单位正交基底17教书育人x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1zz2 2(r) (r) a/ba ppbl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzpllllll+18教书育人线线面面平平行行 面面面面平平行行 (五五)、空间位置关系的向量法：、空间位置关系的向量法：19教书育人异面直线所成角的范围： 0,2abcd1d,cd ab 与 的关系？思考：思考：,dc ab 与 的关系？结论：结论：coscos,cd ab |题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入20教书育人题型二：线面角题型二：线面角直线与

12、平面所成角的范围： 0,2abo, n ba 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n ab |题型二：线面角题型二：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入21教书育人题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n abo关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入22教书育人2、e为平面为平面外一点外一点,f为为内任意一内任意一 点点, 为平面为平面的法向量的法向量,则点则点e到平面的距离为到平面的距离为: 3

13、、a,b是异面直线是异面直线,e,f分别是直线分别是直线a,b上的点上的点, 是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为|nefnd|nefndnn n feo 23教书育人xzy24教书育人几何法几何法坐标法坐标法25教书育人26教书育人27教书育人一一.引入两个重要的空间向量引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)确定的直线ab的方向向量是2121 21(,)a b x x y y z z zxyab28教书育人

14、求平面的法向量的坐标的一般步骤: 第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 11122200 xx yy zzxx y y z z29教书育人 例例1在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,o是面ac的中心,求面oa1d1的法向量. a aabcdoa1b1c1d1zxy30教书育人解：以a为原点建立空间直角坐标系o-xyz,设平面oa1d1的法向量的法向量为n=(x,y,z

15、), 那么o(1，1，0)，a1(0，0，2)，d1(0，2，2)得平面oa1d1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z =120 xzy解得:2020 x yzx yz 得:1oa1od 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）31教书育人 例例2已知平行六面体abcd-a1b1c1d1的底面abcd是菱形,c1cb=c1cd=bcd=,求证: c c1bda1b1c1d1cbad32教书育人 证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 c c1bdcdcb1ccbdcbcd

16、1ccbd33教书育人 例例3棱长都等于2的正三棱柱abc-a1b1c1, d,e分别是ac,cc1的中点,求证: (1)a1e 平面dbc1; (2)ab1 平面dbc1a1c1b1acbedzxy34教书育人 解：以d为原点，da为x轴，db为y轴建立空间直角坐标系d-xyz.则 a(-1,0,0), b(0, ,0), e(1,0,1), a1(-1,0,2), b1(0, ,2), c1(1,0,2). 设平面dbc1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而a1e 平面dbc1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 ab1

17、 平面dbc1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1ea)2 , 3, 1 (1ab1ab35教书育人 例例4 正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点,求证:平面aed平面a1fdzxyabcdfea1b1c1d136教书育人 证明:以a为原点建立如图所示的的直角坐标系a- xyz, 0202yzx021yzx平平面aed平面a1fdn1 n2 = -2+0+2=0同理可得平面a1fd的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面aed的法向量为n1=(x,y,z)得) 1 , 0 , 2(ae)0 , 2 , 0(ad于是

18、 ，设：正方体的棱长为2,那么e(2,0,1),a1(0,0,2), f(1,2,0),d(0,2,0),37教书育人 例例5如图在正方体abcd-a1b1c1d1中,m是ab的中点,则对角线db1与cm所成角的余弦值为_. bc a mxzyb1c1d1a1cd38教书育人 解: 以a为原点建立如图所示的直角坐标系a- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 m(1,0, 0), c(2,2,0), b1(2, 0, 2), d(0,2 ,0),30153452444041042cos =|cos|cm1db设db1与cm所成角为, 与 所成角为,) 0 , 2, 1(cm) 2 , 2, 2

19、(1db于是：39教书育人 (2)直线与与平面所成的角 若n是平面的法向量, a是直线l的方向向量,设l与所成的角, n与与a所成的角 则 = - 或= - 于是, 因此n|cos|sinnananana|arcsinnana22naa40教书育人 例例6正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为a,高为 ，求ac1与侧面abb1a1所成的角。a2zxyc1a1b1acbo41教书育人 解:建立如图示的直角坐标系,则 a( ,0,0),b(0, ,0) a1( ,0,). c(- ,0, ) 设面abb1a1的法向量为n=(x,y,z) 得 由 ，解得 ， 取y= ,得n=(3, ,0)， 设

20、与n夹角为夹角为 而 故：ac1与侧面abb1a1所成的角大小为30.2aa23a22a2a)2, 0 , 0(),0 ,23,2(1aaaaaab0200232azayxa03zyx33)2, 0 ,(1aaac21332320039|003|cos|sin22aaaaa.3042教书育人 （3）二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-l-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2n1n243教

21、书育人 例例7 在四棱锥s-abcd中dab=abc=90，侧棱sa底面ac，sa=ab=bc=1，ad=2，求二面角a-sd-c的大小.zxyabcds44教书育人解：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，则 b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），s（0，0，1）. 设平面scd的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面sad的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角a-sd-c的大小满足 二面角a-sd-c的大小为 .)0 , 1 , 1(),1, 1 , 1 (cdsc得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,66610014111,co

22、scos21nn66arccos45教书育人 例例8在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,求异面直线ac1与bd间的距离.zxyabcdd1c1b1a146教书育人 解:建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz,则 a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),c1(1,1,1), 设异面直线ac1与bd的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). , 异面直线ac1与bd间的距离)0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1 (1bdac得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0 , 0 , 1 (ab66411|001|nnabd47教书育人

23、 例例9 在直三棱柱abc-a1b1c1中,aa1= ,ac=bc=1,acb=90, 求b1到面a1bc的距离.2zxycc1a1b1ab48教书育人 解:以c为原点建立空间直角坐标系c-xyz ,则 c(0,0,0),a1(1,0, ),b(0,1,0),b1(0,1, ). 设面a1bc的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关. 22),0 , 1 ,0(),2,0 , 1 (1cbca得取得,1,02,002zyzxyzx)2, 0 , 0(1bb2363212|200|1nnbbd)0 , 1 , 1(11ba363212|002|11nnbad)2, 1 , 0(1cb363212|200|1nncbd49教书育人 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. 例例10四棱锥p-abcd的底面acbd是菱形,ab= 4, abc=60, 侧棱pa底面ac且pa= 4,e是pa的中点,求pc与平面ped间的距离. xzypbeadcf50教书育