溜溜球中的力学现象

1、溜溜球中的力学现象何超 051893 hicy5627地址：上海市同济大学1239号 邮编：200092 摘要：讨论溜溜球上下来回沿绳滚动的原理，并建立模型进行定量分析。关键词：溜溜球，运动过程主要内容：yo-yo，又名溜溜球，最早起源于中国，被称为第二古老的玩具。溜溜球的基本结构可视为一个两端大中间小的短绕线轴，将溜溜球释放后它的轴将沿着绳做来回滚动。本文将就溜溜球竖直释放后的上下来回运动进行研究。溜溜球能够沿绳上下来回运动的基本原理是：假设在理想状态下，当球沿绳滚动时，由于球与绳的接触处无相对运动，绳的拉力不做功，主动力只有重力，溜溜球机械能守恒。绳的拉力不过溜溜球的质心，它改变了溜溜球对

2、质心的动量矩，而重力与绳的拉力一起改变溜溜球的动量。当溜溜球运动到绳端时，绳的拉力产生变化。由于球轴半径相对绳长可忽略，所以此时绳端可视为静止。于是绳对溜溜球突加一个冲量改变了溜溜球质心的运动方向。且这个变化的拉力作用方向可近似看成通过质心。于是它不改变溜溜球对质心的动量矩。由于机械能守恒，球质心将以与原来大小相等方向相反的速度沿绳向上运动。下面具体分析运动过程。为分析方便，忽略绳的质量和直径。设溜溜球的质心与形心重合。溜溜球中间轴的半径与绳长相比极小。绳一端与轴紧密连接，无相对移动。首先讨论理想状态。忽略一切阻力与摩擦，将绳不与球相连的一端固定。绳、球系统机械能守恒取m为溜溜球质量，g为重力

3、加速度，r为球中间转轴半径，为溜溜球回转半径，为对质心的转动惯量， 为绳长。 滚动过程中小球以与绳相切的一点为瞬心做类似纯滚动的平面运动。静止释放溜溜球。取为广义坐标。以向下为质心运动正向，顺时针方向为角速度正向。动能 势能（取绳的固定端为重力势能零点） 解得球运动的角加速度 质心运动加速度 由于质心速度方向改变时没有机械能损失，所以在理想状态下溜溜球将永远不停上下运动。但是实际有损失。为具体分析该情况下的运动情况，假设球每下上一次机械能损失 （包含了各种原因造成的损失），且损失集中在质心运动到绳下端，运动方向由向下变为向上时期，沿绳运动期间无机械能损失。溜溜球无初速释放。1球沿绳向下运动到刚

4、达绳端过程该过程运动与理想状态相同，有mgf绳mgvc球运动的角加速度 质心运动加速度质心经过路程 总用时2在绳端处改变质心运动方向且机械能损失过程令绳与球固连端不动，球轴可视为在绳端做绕固定点的定轴转动。设该过程初始时刻质心速度大小，球角速度；末时刻质心速度大小 球角速度 3球沿绳向上且外力做功补偿机械能过程vcf外mgw损失的能量由作用在绳上端的外力做功补偿。该过程内力做功和为零。由于球刚开始上升时速度大，沿绳运动平稳，易于控制方向，可设外力在球刚沿绳上升时即开始做功。此时的初始条件是： 简化外力的作用形式，设加一衡外力f作用在绳上端。设绳共上升y。给球补偿的能量保证球刚好能上升至上升后的

5、绳端。令绳端运动速度为 系统有两个自由度。取和为广义坐标。列第二类拉格朗日方程。 解得： 以顺时针方向为正。以向上方向为正。由 得f作用时间 t时刻 为这段过程中球质心上升的总距离 4外力停止做功，球继续沿绳上升过程这时绳端速度突变为=0 溜溜球又做类似纯滚动的平面运动，满足由能量守恒得 解得：但实际并不需要小球回到绳端时刚好动能为零，且手不能一直上升，需要下降。设手（即绳上端）在球上升过程中完成了一上一下回到原处的动作。同时保证在绳端返回原高度时球刚好能上升到这个高度（即球能回到手中）。绳端上升过程运动同过程3，对过程4进行修改。4 绳端停在空中及之后向下运动过程绳下降过程中绳未处于拉紧状态

6、，对球无作用力，球完全在重力作用下运动，机械能守恒，对质心动量矩守恒。设绳端开始向下时溜溜球速为 要保证 得 设绳端上升后停在空中的时间为t 这段时间内球的运动方式同原过程4，之后绳端开始向下。同样为分析方便，设球上升到达绳端时质心速度恰为0。于是以上几个不等式皆可取等号。t过程中质心上升的距离为 之后只受重力，a=-g 用时 质心上升距离 绳上端只要保证在t时间段内返回原高度即可。当球到达绳端时，角速度不为零，可人为调整。以上四步骤可构成一个溜溜球上下运动的完整环节。之后球反转向下，开始下一个来回。下图显示了这几个过程中球质心的位置随时间的变化。x轴为时间，y轴为质心所在高度。设g=9.8n

7、/kg; m=0.01kg; l=1m; k=1/2; r=0.005m; y=0.2m; =0.015m（2）过程3（3）过程4（4）过程4（1）过程1一般情况，当溜溜球从手中甩出时已人为地给予初动能。这也有利于补偿球实际运动过程中损失的机械能。但是溜溜球的乐趣不仅在于让它上下运动。实际溜溜球有很多花样玩法，往往不急于回收球，专业玩家使用的球（即正式的溜溜球）绳端与球轴并未紧密连接。绳端类似一个活动小环套在轴上（如图）。理论上由于机械能守恒，球滚至绳端时，质心速度为0，系统的机械能完全表现在（以绳下端所在平面为重力势能零点），于是球绕过质心的水平轴做高速定轴转动，就是空转。这种状态称为sle

8、eping。但是由于花样玩法种类繁多，其中的运动过程也比较复杂，且受人的运动的影响较大，此处不再具体分析。参考文献：1 范钦珊主编. 工程力学教程：. 北京：高等教育出版社，19982 李俊峰主编. 理论力学. 北京：清华大学出版社，20013 american yo-yo association,ayya. http:/4 中国悠悠协会,cyya. http:/as of microsoft® internet explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your web pages using visual filt

9、ers and transitions. you can apply visual filters and transitions to standard html controls, such as text containers, images, and other windowless objects. transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. by combining filters and transitions with basic

10、scripting, you can create visually engaging and interactive documents.internet explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheprocedural surfaces are colored surfaces that display betwee

11、n the content of an object and the object's background. procedural surfaces define each pixel's rgb color and alpha values dynamically. only the procedure used to compute the surface is stored in memory. the content of an object with a procedural surface applied is not affected by the proced

12、ural surface.警告：此类已序列化的对象将不再与以后的 swing 版本兼容。当前的序列化支持适合在运行相同 swing 版本的应用程序之间短期存储或 rmi。从 1.4 版开始，已在 java.beans 包中加入对所有 javabeanstm 的长期存储支持。请参见 xmlencoder。引用类型和原始类型的行为完全不同，并且它们具有不同的语义。引用类型和原始类型具有不同的特征和用法，它们包括：大小和速度问题，这种类型以哪种类型的数据结构存储，当引用类型和原始类型用作某个类的实例数据时所指定的缺省值。对象引用实例变量的缺省值为 null，而原始类型实例变量的缺省值与它们的类型有关。当java程序违反了java的语义规则时，java虚拟机就会将