直线上的相遇与追及问题

1、第一讲 直线上的相遇与追及问题教学目的:1、学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系2、掌握相向、背向、同向等概念3、会运用追及和相遇解决简单行程问题 基本知识点行程三个量的关系公式:路程=速度x时间；路程宁时间二速度；路程宁速度=时间三个概念:相向而行：面对面而行（如图）同向而行：面朝的方向相同而行（如图）甲乙AB背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如图）甲A相遇和追及问题1、相遇问题 含义 ： 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系：总路程=（甲速+乙速） 对目遇时间相遇时间二总路程十（甲速+乙速）（甲速+乙速）=总路程讶目遇时间2、追及问题含

2、义： 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发， 或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在 前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用 题就叫做追及问题。数量关系： 追及路程=（快速-慢速） 泌及时间追及时间二追及路程 十（快速一慢速）（快速慢速）二追及路程 也及时间3、注意点： 在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。 在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点（非常重要） 。 无论在哪一类行程问题里面， 只要是相遇， 就与速度和有关， 只要是追及，就与速度差有关。

3、相遇例题：例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几 小时两船相遇？解 392 - (28 + 21 )= 8 (小时)答：经过 8 小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小 刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第 二次相遇需多长时间？解第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400 >2相遇时间=(400沦)-(5 + 3)= 100 (秒) 答：二人从出发到第二次相遇需 10

4、0 秒时间。例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 1 5千米，乙每小时 行1 3千米，两人在距中点 3千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点 3 千米处相遇 ”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑 得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的 路程是( 3>2)千米，因此，相遇时间=(3>2) *( 15 13)= 3 (小时)两地距离=(15 + 13) > = 84 (千米)答：两地距离是 84 千米。追及例题：例1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75千米，劣马先走 12天，好马几天能追上劣马？解 (1 )

5、劣马先走12天能走多少千米？75 X12 = 900 (千米)(2)好马几天追上劣马？900 - (120 75 )= 20 (天)列成综合算式 75 X12 - (120 75)= 900詔5 = 20 (天)答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步， 小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地 点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速 度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了( 500 200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知 小明跑200米用40秒

6、，则跑500米用40X(500吃00门 秒，所以小亮的速度 是(500 200)十40 X (500 吃00 门 =300 00 = 3 (米)答：小亮的速度是每秒 3 米。例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小 时10千米的速度逃跑，解放军在晚上 22点接到命令，以每小时 30千米的速度 开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是( 22 1 6 )小时，这段时间敌人逃 跑的路程是10 X( 22 6门 千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间=10 X (22 6)+ 60

7、 -(30 10)= 220 吃0 = 11 (小时) 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往 甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。 从题中可知客车落后于货车(16 &)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为16 >2- (48 40)= 4 (小时)所以两站间的距离为(48 + 40) >4 =352 (千米)列成综合算式(48 + 40)16 >2- (48 40)= 88&g

8、t;4 = 352 (千米)答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥 哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹 妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间 (从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走( 180>2)米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走( 90 60)米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180 > - (90 60 )= 12 (分钟)家离学校的距离为90>12180=900(米)答：家离学校有 900 米远

9、。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学 校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰 好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10分钟，就等于晚出发 10分钟，如果按原速走下去， 就要迟到(10 5)分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了(105)分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑 步比步行少用 9（ 105）分钟。所以步行1千米所用时间为1十9 （10 5） = 0.25 （小时）=15

10、（分钟）跑步1千米所用时间为15 9 （ 10 5门=11 （分钟）跑步速度为每小时111 /60 = 100/11 = 5.5 （千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。第二讲 环形跑道的相遇与追及教学目的：1 、 了解什么是环形跑道问题2、掌握环形跑道上相遇与追及的特点 基本知识点1、环形跑道相遇问题:如上图，我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇， 相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇 的情况一样，新的起点，再次相遇。重点：因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为一个圆周的周长。相遇几次，就是几个圆周的周长。由此

11、，也可以建立等量关系, 来进行解题公式：一个圆周的周长=（快速+慢速）X相遇时间2、环形跑道上的追及问题如上图，我们可以看到甲、乙两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上 慢的，当追上的时候，快的刚好比慢的多走一个圆周的周长， 如果在进行多次追 及的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次追及。重点：因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。追及几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系， 来进行解题公式：一个圆周的周长=（快速一慢速）X相遇时间1. 在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从 A、B两点同时出发，按照逆时针方

12、向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？答案：假设没有休息 那么 100/（ 54） =100 秒钟 在 100/5=20 秒100/20-1=4 （次） 100+4*10=140 秒2. 小明在 360 米的环形跑道上跑一圈， 已知他前半时间每秒跑 5米，后半时间每秒跑 4米，为他后半路程用了多少时间？答案：x 岂=(360-x )P X=160 (360 吃-160 )廿+ 160 詔=44 分3. 林琳在 450 吗长的环形跑道上跑一圈， 已知她前一半时间每秒跑 5 米，后半时间每秒跑 4米，那么她的后一半路程跑了多

13、少秒答案：设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=360X=80总共跑了 80 秒前 40 秒每秒跑 5 米， 40 秒后跑了 200 米后 40 秒每秒跑 4 米， 40 秒后跑了 160 米后一半的路程为 360/2=180 米后一半的路程用的时间为( 200-180 )/5+40=44 秒4. 小君在 360 米长的环形跑道上跑一圈。 已知他前一半时间每秒跑 5 米，后 一半时间每秒跑 4 米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案： 设时间 X 秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程 =40*4=160 米 后一半路程

14、=360/2=180 米 后一半路程用每秒跑 5 米路程 =180-160=20 米 后一半路程用每秒跑 5 米时间 =20/5=4 秒 后一半路程时间 =4+40=44 秒 答：后一半路程用了 44 秒5. 小明在 420 米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8 米，后一半时间每秒跑 6 米.求他后一半路程用了多少时间？答案：设总用时 X 秒。前一半时间和后一半时间都是 X/2 。然后前一半跑 8*(X/2) 米，后一半跑 6*(X/2) 米，总共加起来等于 420 米。所以列下方程 8*(X/2)+6*(X/2)=420. 解得 X=60 。所以后一半跑了 30 秒。又因为后一

15、半为 6M/S， 所以后一半跑了 6*30=180M 。6. 二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进， 甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们同时同地同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面 相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？答案：前 10 圈甲跑一圈击掌一次，即 10 下 此时已跑了 5+5/7 圈；后面 2 人跑了 2/7 时击掌 一次，然后 2 人共一圈击掌 1 次 耗时 ( 4+2/7 )/( 1/4+1/7 ) =30/7* (11/28 )=165/98 ； 甲共总走了 40+165/98 H 已走了 (40+165/98 )

16、* (400/7 ) M第三讲 多人相遇与追及问题教学目的：1、了解多人相遇与追及的解题技巧。2、会运用一些其他应用题手段来解决问题基本知识点多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三 个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较 难以入手。解决技巧：数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两 个人两个人的行程关系。对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会出现， 超越与背向而行产生距离。超越的关系：AB路程公式：（快速慢速）X超越的时间二拉开的距离 会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类背

17、向而行产生距离：乙甲 公式：（快速+慢速）X相遇时间=两个人产生的距离 会发现，背向而行产生距离与相遇的公式一样，因此可以把它们归为一类。例题解析1、从甲市到乙市有一条公路，它分为三段。在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时 90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的 2倍。现有两辆汽车分别从甲、 乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的1/3处（从甲到乙方 向的1/3处）相遇。问：甲、乙相距多少千米？2、当两只小狗刚走完铁桥长的1/3时，一列火车从后面开来，一只狗向后跑，跑到桥头B时，火车刚好到达B;另一只狗向前跑

18、，跑到桥头 A时，火车也正好跑到A，两只小狗的速度是每秒6米，问火车的速度是多少？3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚的3倍，那么可以看到的自动抚梯的级数是多少？4、一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20 %，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将原速提高25%，则可提前40分钟到达，求甲乙两地相距多少千米？5、一只狗追赶一只兔子，狗跳跃 6次的时间，兔只能跳跃 5 次，狗跳跃 4 次的距离和兔跳跃 7 次的距离相同， 兔跑了 5.5 千米以后狗开始在后面追， 兔又 跑了多远被狗追上。6、三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子的 4/5 ，兔子的速度是松鼠的 2 倍， 一分钟松鼠比狐狸少跑 12 米，问：半分钟兔子比狐狸多跑几米？7、A、B 分别以每小时 160 千米和 20 千米的速度， 在长为 210 千米的环形 公路上同时、同地、同向出发。每当 A 车追上 B 车一次， A 车减速 1/3 而 B 车 增速 1/3. 问：在两车速度刚好相等的时候，