优质课一等奖选修44第二讲参数方程圆锥曲线的参数方程教学文书

1、第二讲第二讲 参数方程参数方程1上课教育圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 2上课教育椭圆的参数方程椭圆的参数方程3上课教育为参数）为参数） (sincosryrx为参数）为参数） (sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a, b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？4上课教育如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a, b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点b

2、是大圆半径是大圆半径oa与小圆的交点与小圆的交点,过点过点a作作anox,垂足为垂足为n,过点过点b作作bman,垂足为垂足为m,)(sincos为参数为参数的参数方程为的参数方程为 byaxm0,2 )5上课教育oamxynb椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1bya2222 x椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为参数为参数 xxyo圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为参数为参数 rrx的几何意义是的几何意义是aop=pa椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是aox=, 不是不

3、是mox=.6上课教育12222 byax sincosbyax2 , 012222 aybx sincosaybx7上课教育练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy(1)22116yx (2)3 cos5 sinxy(3)8 cos10 sinxy(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx8上课教育)(sin2cos3为参数为参数 yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233( 9上课教育xyom(3cos ,2sin)3

4、cosy2sinx5min d14922 yx10上课教育14922 yx11上课教育14922 yx 例例1、已知椭圆、已知椭圆 上点上点m(x, y)，(2)求求2x+3y的最大值和最小值；的最大值和最小值； 12上课教育例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点p，使，使p到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyop分析分析1：),y,y(288p设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(p 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.13

5、上课教育yxoa2a1b1b2f1f2abcdyx22110064xy 例例3、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形abcd，求矩形求矩形abcd的最大面积。的最大面积。14上课教育 练习练习 已知已知a,b两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正与坐标轴正半轴的两个交点半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点p,使四边使四边形形oapb的面积最大的面积最大.15上课教育)sincos( baa，)20( abab22sin2 224ba 22max4bal )0( 12222 babyax sincos4|4baeafas 4 a，abs2max sin4cos4

6、|)|(|4baeafal 16上课教育116922 yx17上课教育， cos8211021cos1221121 baxxx3sin4211921sin621121 bayyy13614422 yx21 mbam sin6cos12， 3sin4cos8 yx116)3(6422 yx18上课教育)0( 12222 babyax)sincos( ba，aabkap cos0sin， cossinabkop 1cos0sincossin aabab 0coscos)(22222 baba 222cosbab 1cos 1cos1 11222 bab11122 ee212 e122 e19上课教

7、育b设中点设中点m (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29y422 x练习练习: 1 取一切实数时，连接取一切实数时，连接 a(4sin,6cos)和和b(-4cos, 6sin)两点的线段两点的线段的中点轨迹是的中点轨迹是 . a. 圆圆 b. 椭圆椭圆 c. 直线直线 d. 线段线段_?_)(, 0cos3sin2cos42222通方程为通方程为，那么圆心的轨迹的普，那么圆心的轨迹的普为参数为参数、已知圆的方程为、已知圆的方程为 yxyx1)sin()cos2(22 yx化为化为)(sincos2为参数为参数 yx1422 yx化为普通方程是化为普通方程是20上课教育

8、中点轨迹方程。中点轨迹方程。上各点连线的上各点连线的为参数为参数和椭圆和椭圆、求定点、求定点)(sincos)0 ,2(3 byaxa 144)(2222 byaax得得上述的方程消去参数，上述的方程消去参数，),(yxm点连线的中点为点连线的中点为解：设定点与椭圆上的解：设定点与椭圆上的)(2sin2cos2为参数为参数则则 byaax 21上课教育的坐标为的坐标为，则点，则点的倾斜角为的倾斜角为为原点为原点，上一点，且在第一象限上一点，且在第一象限为参数为参数是椭圆是椭圆、poopyxp3)()(sin32cos44 )1554,554( 、b)3 , 4( 、d( )b),3 , 2(

9、、a),3,32( 、c5154sin32,554cos4 yx33tan3 opkop的倾斜角为的倾斜角为解：解： 3cos4sin32 xykop又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且点且点又又p, 1cossin22 552sin,55cos 22上课教育双曲线的参数方程双曲线的参数方程23上课教育 )0, 0( 12222 babyax24上课教育,1上上在圆在圆因为点因为点ca ,sin,cos baa的坐标为的坐标为 ,sin,cos baoa 所所以以 sin,cosaaxaa , aaoa 因因为为从从而而所所以以, 0 aaoa . 0sincoscos2 aaxa记记

10、解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 则则,的终边上的终边上在角在角因为点因为点 b.tan,tan byby 即即由由三三角角函函数数定定义义有有的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为点点所以所以m, 1cossincos1222 因为因为, 1tansec22 即即,的的轨轨迹迹的的普普通通方方程程为为后后得得到到点点从从消消去去参参数数所所以以m ,这是中心在原点这是中心在原点.轴轴上上的的双双曲曲线线焦焦点点在在x .23,2,2 , 0 且且的的范范围围为为通通常常规规定定参参数数 由圆的参数方程得点由圆的参数方程得点.tan,sec byax 为参数为参数 25上课

11、教育baoxy)mbabaobby在中，( , )m x y设| | tanbbobtan .boaax在中，|cosoaoacosasec ,asec()tanxamyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。26上课教育1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程, 画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习

12、练习:的两个焦点坐标。的两个焦点坐标。、求双曲线、求双曲线 tan34sec323 yx( 2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为427上课教育 ?,.,0,122222以发现什么结论以发现什么结论由此可由此可的面积的面积探求平行四边形探求平行四边形两点两点近线交于近线交于分别与两渐分别与两渐行线行线作双曲线两渐近线的平作双曲线两渐近线的平过点过点为原点为原点上任意一点上任意一点为双曲线为双曲线，设，设如图如图例例maobbamobabyaxm amboxy28上课教育amboxy.xaby 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为解解 ,tan,se

13、c ba )sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axa )tan(sec2 axbb点点横横坐坐标标同同理理 aaox 设设ab tan 2sin|oboasmaob 平行四边形平行四边形 2sincoscos baxx 2sincos4tansec2222 a.22tan222ababaa 29上课教育sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2 )22通常规定且，。22221xyab22sec1tan 30上课教育222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1

14、)35tan1,34431qoqoqpq 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11oxypxyqpq例 、已知圆上一点与双曲线上一点，求 、两点距离的最小值例例331上课教育),tan,sec( aab)tan,sec( aaa 则则222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakbaaa 122 baaakk32上课教育)0, 0( 12222 babyax)0 ,(0 xabax220| )tan,sec( ba)tan,sec( ba)tan(tan2 b)sec(sec2( a )sec(sec2)tan(tan)sec(sec

15、)tan(tan2 axbaby)0(,0 xp)sec(sec2220 abaxabax220| 2|secsec| 33上课教育34上课教育222222223004.(,),pb xa ya b abpabpr例例 设设 是是双双曲曲线线上上任任意意一一点点过过点点 作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线, ,分分别别与与两两渐渐近近线线相相交交于于点点q q和和r,r,求求证证:pq:pq35上课教育36上课教育)10000(215001002gttgtytx 为参数，且为参数，且pxy22 37上课教育)2,2( tan xypxy22 tan2tan22pypx38上课教育

16、 tan1 t), 0()0 ,( t ptyptx222 tan2tan22pypx),( t ptyptx22239上课教育2121212121212121,1,)(,)(221ttdttcttbttammttmmtptyptx 、，、所在直线的斜率是所在直线的斜率是则弦则弦所对应的参数分别是所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点上异于原点的不同两点为参数为参数、若曲线、若曲线212221212122221ttptptptptkmm 的轨迹方程。的轨迹方程。的中点，求点的中点，求点为线段为线段点点，上的动点，给定点上的动点，给定点为抛物线为抛物线、设、设pmmpmxym002)0 , 1

17、(22 c练习练习，和和别是别是两点对应的参数方程分两点对应的参数方程分解：由于解：由于2121,ttmm的的坐坐标标分分别别为为和和则则可可得得点点21mm，)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptmptptm40上课教育)0(22 ppxy1, 0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即),(,yxbam的的坐坐标标分分别别为为解解：设设点点)0,)(2 ,2(),2 ,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2 ,2(),2 ,2(),(222121ptptobptptoayxom 则则)(2),(2(122122ttpttpab , 0, o

18、boaoboa所以所以因为因为三点共线，三点共线，且且bmayptxptmb,)2 ,2(222 , 0, obomabom所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx, 0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxam 41上课教育的轨迹方程的轨迹方程这就是点这就是点即即mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化简，得化简，得02)( xpxyy.42paob的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 12)2()2(21121221 ttpptptoa12)2()2(

19、22222222 ttpptptob)1()1(22221212 ttttpsaob2222212 ttp4)(22212 ttp24p 轴对称时，轴对称时，关于关于，即当点，即当点当且仅当当且仅当xbatt,21 42上课教育）点）点）为半径的圆（除去（为半径的圆（除去（为圆心，为圆心，）的轨迹方程是以（的轨迹方程是以（另一个交点另一个交点的两根，的两根，为方程为方程即即为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为以以为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为则以则以（）设）设（法（法0 , 00 ,)0(0212)(022,022022)2 ,2(),2 ,22222221222212222212122222121ppqxpxyxpxyxttyxpytpxtttyptxptyxobyptxptyxoaptptbptpta 43上课教育 练习练习 已知椭圆已知椭圆c1: 及抛物及抛物线线c2: y2=6(x-3/2)；若；若c1c2，求，求m的取值范围。的取值范围。)(sin3cos2为参数为参数 ymx代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1内有解；内有解；44上课教育。平平分分线线段段所所以以抛抛物物线线