相似三角形证明技巧_专题

1、相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、相似三角形（1）三角形相似的条件：:.三、两个三角形相似的六种图形：AAAABAA条件DEBC漆件NiNe 务件条件無件三希件範是RtABC 斛边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对

2、内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单;2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；、如卡垃J找另一角两角对应相等，两三角形相似a）已知一对等找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比-找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似c）己知一个直找另一角找两边对应成比例两角对应相等，两三角形相似判定定理1或判定定理4=找顶角对应相等判定定理1d）有等腰关 .找底角对应相等判定定理1

3、找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性 若厶1s 2, 2s 3,则厶3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式 前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1 已知：如图， AB（中

4、 ,CE丄AB,BF丄AC.求证:AE ACAFBA（判断“横定”还是“竖定”）例2、如图，CD是Rt ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BC CD于点E、F, AC- AE=AF- AB吗 说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”）已知：如图， ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=DEDF。分析方法：1）先将积式2） （“横定”还是“竖定” ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.1、等量过渡法（等线段代换法）

5、遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。例1:如图3, ABC中，AD平分/ BAC AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：dE= BE- CE 分析：2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑

6、用等比代换法，即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2 :如图4,在厶ABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于点 F.求证:ABACDFAFE D C 翻 E3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例;点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。C例3:如图5,在厶A

7、BC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高，G是DC延长线上一 点，过B作BE±AG垂足为E,交CD于点F.求证：CD2= DF- DG小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;不相似，不用急：等线等比来代替。同类练习：1 .如图，点 D E分别在边 AB AC上，且/ ADEN C求证：（ADEA ACB;（2）AD- AB=AE- AC.2. 如图， ABC中，点 DE在边BC上，且 ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：（ADBA CEA;(2) DE 2=BD- CE;(3) AB - AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中

8、, E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC- EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4. 如图，AD为厶ABC中/ BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证:（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）FE2=F5. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点6.如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点,连接 AE交 CD于 F,过 F 作 FM/ BE交 DE于 M.求证：FM=CF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。7.如图， ABC中，

9、AB=AC点D为BC边中点，CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC.求证：（1） BF=CF.BF2=FG- FE.&如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE±AB,求证：DC2=DE DF.69. 如图，ABCD为直角梯形， AB/ CD,ABL BC,AC丄 BD。AD= BD,过 E 作 EF/ AB交 AD于 F.是说明：(1) AF=BE;(2)AF 2=AE - EC.10. A ABC中，/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。求证：AB:AC=DF:AF。11. 已知，CE是RTA ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点C

10、E于点 D.试证：CE2=ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将CE2用射影定理替代，再化成比例式。）七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.例1 如图5 在A BC中，AD BE分别是BC AC边上的高，DF丄AB于F,交AC的延长线于 H,交BE 于G,求证： F

11、G/ F心FB/ FH （2） FD是FG与FH的比例中项.AEF GCB 图5 DH1说明：证明线段成比例或等积式， 通常是借证三角形相似. 找相似三角形用三点定形法 （在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点 ），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2 如图6, ABCDh E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE EC= 3： 1,S ?FBE= 18,求：（1）BF : FD （2）S ?FDA2说明：线段BF FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线

12、段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的面积.例3 如图7在厶ABC中，AD是 BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN AB 的值；EAN3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当 已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4 如图8在矩形 ABCD中，E是CD的中点，BEL AC交AC于F,过F作FG/ AB交AE于G 求证:AG = AFx FC4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似.、 例5 如图在 ABC中，D是B

13、C边的中点，且 AD= AC, DEL BC,交AB于点E, EC交AD于点F. 求证: ABBA FCD 若 Safcx 5, BC= 10,求 DE的长.5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6如图10过厶ABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM/ FC交AB于点 M. 若 Smef： S 四边形 mde=2: 3，求 AE: ED； (2)求证：AEx FB= 2AFX ED图6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相

14、似比的平方及比例的基本性己知如图11在正方形ABCD勺边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时, ADP质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.与厶QCP相似ADPB图11 QC7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABCD中, AD/ BC / A= 90°, AB= 7, AD= 2, BC= 3 .试在边 AB上确定点 PCF的位置，使得以 P、A D为顶点的三角形与以 P、B C为顶点的三角形相似.8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对

15、应关系.然后再确定顶点 位置，应注意计算，严防漏解.例11.如图，已知 ABC中，AB=AC AD是 BC边上的中线，CF/ B 求证：BF2=PE- PF。11分析：因为BP PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结 PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC只需证明厶PE3A PCF,问题就能解决了。例12 .如图，已知：在厶 ABC中，/ BAC=9O0 AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证：亠 L。12分析：比例式左边 AB,人。在厶ABC中

16、，右边DF、AF在厶ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经 过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。从“已知”入手，通过推理论证,八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一,；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线D在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关素或得出等角,:得到成比例的线c要的辅助线有以下几种:、作平行线例1.如图,ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD= AE, DE延长线与BC

17、延长线相交于 F,求证：BDCF CE得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”例2.如图， ABC中，AB<AC在ABAC上分别截取 BD=CEDE,BC的延长线相交于点F,如图4 5, B为AC的中点，E为BD的中点，则AF: AE=4计亠g虫BC于如图4-7，已知平行四边形 ABCD中,对角线ACBD交于0点，E为AB延长线上一点,F，若 AB=a, BC=b BE=c 求 BF 的长.例5、 ABC中，在 AC上截取AD在CB延长线上截取BE,使 AD=BE 求证：DF?AC=BC?FE例6:如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直

18、线，CF交AD于 E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF FB。二、作延长线例7.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点,证：fg2=cf?bfAF例8 .如图4-1，已知平行四边 ABCD中, E是AB的中点，值.AE的延长线交 BC于F, FG AB于G 求三、作中线例 10:已知：如图， ABC中，AB= AC BD丄AC于 D.求证： BC = 2CD- AC.中考综合题型1.已知：如图，在ABC中，AB AC, A 36 , BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC 1 说明(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似

19、最常用的方法, 并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式 ab cd,或平方式a2 be，般都是证明比例式，a d，或- -, c b a c再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.2.如图，矩形 ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3) 动点M , N同时从B点出发，分别沿B A, B C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q 当点N 到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1) 若a 4厘米，t 1秒，贝U PM 厘米；(3)(2) 若a 5厘米，求时间t,使 PNBPAD，并求出它们的相似比

20、;若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示)DA3如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A B两点出发，分别沿 AB BC 匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停 止运动，设运动时间为 t (s)，解答下列问题：(1 )当t = 2时，判断 BPQ勺形状，并说明理由；(2)设厶BPQ勺面积为S (cni),求S与t的函数关系式；5. 如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形 ABC为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:

21、3，点E F分别是线段 AD AC上的动点(点E不与点A D重合)，且/ CEI=Z ACB(1) 求AC的长和点D的坐标；(2) 说明 AEF-与 DCE相似;6. 如图，在 Rt ABC中，/ B= 90°, AB= 1, BC=丄，以点C为圆心，CB为半径的弧交 CA于点D;以点2A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.（1 ）求AE的长度；（2）分别以点 A E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点 F（ F与C在AB两侧），连接AF EF,设EF交弧DE所在的圆于点G连接AG试猜想/EAG勺大小，并说明理由.GBE（第题）7. 如图（1）, ABCW EFD为等腰直角三角形，A

22、C与 DE重合，AB=EF=9 , / BAC=Z DEF= 90° ,固定 ABC将厶EFD绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况， 设DE DF（或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G H点，如图（2）.（1）问：始终与 AGC相似的三角形有 及;2的情况说明理由）（2）设CG= x, BH= y，求y关于x的函数关系式（只要求根据- 8. 如图8, ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm从这张硬纸片上剪下一个长 HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH使它的一边 EF在BC上，顶

23、点 G H分别在AC, AB上，AD与HG 的交点为M.AM HG(1) 求证：；AD BC(2) 求这个矩形EFGH的周长.9.(1)如图1,在厶ABC中,点D, E, Q分别在 AB AC BC上,且DE/ BC AQ交DE于点P.求证:DPBQPEQC(2) 如图，在厶ABC中 , / BAC90。，正方形 DEFG勺四个顶点在 ABC的边上，连接 AG AF分别交DE于M N两点.如图2,若AB=AC1=,直接写出 MN勺长;10. 如图，在 ABC中, D是BC边上一点，E是AC边上一点且满足 AD= AB / ADEZ C.(1) 求证：Z AEDZ ADC Z DECZ B;(2

24、) 求证：aB= AE?ACAD11. 学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直 角三角形相似的条件。(1) “对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图， 。试说明 Rt AB3 Rt A B C'12. 如图，在 ABC中，/ C=90, AC=8 BC=6 P是AB边上的一个动点

25、（异于 A B两点），过点P分别 作AC BC边的垂线，垂足为 M N.设AP=x.（1）在厶 ABC中，AB= ;（2）当x= 时，矩形PMCN勺周长是14;（3）是否存在x的值，使得 PAM的面积、 PBN的面积与矩形 PMCN勺面积同时相等请说出你的判断， 并加以说明.（第25题）13.如图，已知 AB3A ABG ,相似比为k（ k 1）,且厶abc的三边长分别为a、b、c（ a b c）, A1BQ1的三边长分别为3i、D、C|。若c a，求证：a kc ；若c a1，试给出符合条件的一对 abc和厶ABG，使得a、b、c和印、b、c进都是正整数，并加以说明;若b ai, c bi，

26、是否存在 ABbHA ABiG使得k 2请说明理由。14.如图 1，在 Rt ABC中,BAC90° AD丄BC于点D，点O是AC边上一点，连接 BO交ADBBDDFEFEAO 图1C AO 图2C于F , OE丄BO 交BC边于点E .ABOEAC(3)当O为AC边中点，ACn时，请直接写出9匸的值ABOE(2) 当O为AC边中点，AC 2时，如图2,求的值;(1) 求证： ABFCOE ；15. 已知/ ABC=90 , AB=2, BC=3 AD/ BC, P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上,且满足-PQ 型PC AB(如图8所示).(1 )当AD=2,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长;3(2)在图8中，联结AP .当AD -,且点Q在线段AB上时，设点 B Q之间的距离为x ,2 APQSA PBCy，其中Sa apq表示 APQ的面积，Sapbc表