矩阵迹的性质与应用

1、9矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某指导老师：某某摘 要：根据矩阵迹的定义，首先给出了矩阵迹的性质，然后依据方阵的F 范数定义Cauchy Schwarz 不等式，给岀了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。关键词：迹矩阵范数特征值1引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工 具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质， 然后给出了零矩 阵，不相似矩阵，数幕矩阵，列矩阵，幕等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩 阵的应用给出实例。2预备知识n定义1 设人二）Cnn，则trAaH称为A的迹。i

2、3;定义2 设 人=耳）Cn n，记与向量范数 AX 2相容的A的F 范数为：n n2 1aj1 )2i =1 j i(1) AO二 A 尸 aO |ka|f =K |A|F,7KEC |a + b|f WIAL +|B|F,$ABECn |ab f 乞 af |b F, -a,b Cn n(5) |AX2 勻 Af UI2引理：矩阵迹的性质：1 tr （A 二 B）二 trA - trB证明：设ini hi hA =(引)佃，B = (bj )代则 tr(A)=an，tr (B)=为 0，tr (A ± B)=为 佝二0)i=1i=±i=1i -ni -ni -n又 tr

3、(A) 土tr(B)=迟 aH ±S bH =S 佝 +6)7i 4i 所以 tr(A _B) =tr(A) _tr(B)得证2 tr(kA)二k trA ( k为任意常数)证明：设人=佝人n则tr(A)八 aH.k tr(A)二 k' aii；tr(kA)=為(k aj =k' a.tr(kA) = k tr (A)由( 1)与(2) 知 tr(mA _nB) = m tr (A) _n tr (B),m, n C3 tr(AB) =tr(BA)证明：设 A = (aj )n n, B = (bj )n nk z=n则 AB =(cij)n n，其中 cij - &

4、#39; aik bkj 所以有 t(AB) = ' ' aj bjik 二k =nBA=(dj)nn其中 dj bk Qkj ,所以有 tr(AB)八a0 口k=1.tr(AB) =tr(BA)得证4 trA = trA证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。n n5 tr(A2)八、aqajii二 jm证明：令(3)中B = A即可得证。n n6 tr(AA)八、ai2i=1 j =1证明：令(3)中B = A'即可得证。n7 trA = »利('i是A的特征值)i =1佃 0证明：由若当定理知Anj = *工*打>n因

5、为相似矩阵迹相等，所以trA=v i 4 n8 tr(A2)八 fi 4证明：设矩阵A的特征值为1,，'n2 -2 , 2则矩阵A的特征值为1,， n则由(7)即可得证9 若 AB,则 trA 二trB;特别，tr(TAT)二trA(下面定理有证明)10 若 A=0，|A|>0，则 trA 0有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。3解题中的应用例1设A,B为同阶实对称矩阵，若 A-B正定，则A和B不相似。证：假设代B相似，则由性质9知，trA二trB再由性质 1 得 tr (A - B) = trA - trB =0故由性质10知A-B不是正

6、定阵，与已知矛盾！从而，A和B不相似。例2设n阶矩阵A的对角线上元素全是1,且其特征值为复数，求证|A1证：设i(i =1,2, .n)为A的全部特征值，且 打0,i=1,2，n,则有|A F i 2 .'.n tr,A(= ) 1 2 n.又A的主对角线上的元素全是1，知tr (A)二n则订 2.jJi2.nn所以| AH ' 1 2. ' n - 1 °例3已知n阶方阵A,若对所有的n阶方阵X有tr(AX) = O,则A = 0。l=kI = k证：设 A = 0 ,则有某 akm 北 0。作矩阵 X = (Xj)，使Xmk = 1, (i, j) = (

7、m,k)时，Xj = 0。 则矩阵AX主对角线上的元素akm,0,nCII =为aisXsi *s4ntr(AX)Cii 二 akm =°。与已知矛盾！故 A=0I 4例4设A - (aij) n n， A的特征多项式为丸E _ A =疋 +bn»2 + +bA + b，则 bn=-trA。证因为1 扎一C«_ai2_ain1_a21九_ *22_a2 n-可1a b叫2九 - ann _七22十%)宀r(1)，E a 二 ' (a11ndetA所以bn 1 = _(a11 a2為)八trA。例 5 设 A , B , C 都是 n n 矩阵，且 AC 二

8、 CA , BC 二 CB , C 二 AB - BA ,则存在不大于n的自然数m,使得Cm =0证：先证trCk =0. ( k为任意自然数)Ck =Ck° (AB - BA)二 A(Ck，B) -(Ck4B)A(1)由(1)和性质 1、3 得：trCk 二tr AckB LtrCB0再证C的特证值都等于0。设C的特征值为鼻，.则存在可逆矩阵T，使C=T匕 T0打一所以。*=丁丄|*T,（k =0,1,2,）0 带从而 0 =trCk = M+鸥+' + 瞪 （k=1,2,）（2）不失一般性，设C的互异的非零特征值为，2，s，且重数分别为A,r2，rs。则式变为:0 =|

9、*+r2鸥 +rsH(k=1,2,)s.2取前S个等式，因为范德蒙行列式丄0，因此1二2二=rs = 0。即非零特征值都是0重,故C的特征全为0。Ji =再证Cm由于C的每个若当块都形如i =1,2/ ,t.因此J1Jk令：m = maxh, n2,n 则 Cm =t 4T =0例6满足P2二PJtm的矩阵P叫做幕等阵，试证：幕等矩阵的迹与秩相等。证:设n阶阵P为幕阵，且P的秩R P =r ,则P的特征值是0或1 ,且P具有 n个线性无关的特证向量，因而，P与对角阵相似。1故必有满秩阵T存在，使p = TT -10上式右端的对角阵的秩等于p的秩r ,即该矩阵中的对角元素（p特征值）有r个为1

10、,n - r个为0。故由性质7知trP =1川：卜100 = r例7设有n阶实对称矩阵 A ,若A_0，则有trA_O。证：因为A_0 ,所以A 半正定,故存在n阶矩阵u其中a =（q1，,qin）是第i个行向量（i =12,n）,使得A = QQ2于是 trAtrQQ|Q F -0。又因为-n维列向量X =（xn,xnr Rn,有2XAX kXQ QX 二 QX QX 二 QX|2昭为 + + qmXnl (a1,X)QX = =6人 + + qnnXn 一 _&公)_由Cauchy - Schwarz 不等式知，q,X - ai 2 X 22所以|QX|2 =迟|(ai,X辽 送a

11、i2 XQF X2 2 2 2即 |QX|2 勻Q|f|x|2 =(trA 凶2 =(trA )XX从而 X AX E trA X X 二 X trA EX故有trA E 一 A例7设A为一个n阶矩阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记作trA .证明:如果对任意的n阶方阵X，都有tr（AX ） = 0，贝U A = 0证：设A，取X A ,则nnnn2tr(A A)二'、aik aik 八 ' |aik 10ik4y k4所以 ak =0,i，k =1,2,川,n.即A=0例8证明：不可能有n阶方阵A, B满足AB - BA = E证：设勺11川丸'仏川bm &

12、#39;A =+b4+r1，B =+b4+r1fn 1HIann /lbn 1川bnn J为任二n阶方阵，则 AB主对角线上的元素为nnnaiibi,._ a2ib2,HI,._ anibini吕ii吕它们的和为n na ji biji 4 j =1同样，BA的主对角线上元素的和为nnnb2jaj2丨 '' bnjajnj 1j 1j 1n nn n=为hj引=£砂mi ji £ j 仝但亦即AB与BA的主对角线上元素的和相等，从而AB - BA的主对角线上元素的和为零是，单位方阵E的主对角线上元素的和为n = 0,因此AB - BA = E4下面介绍一些有

13、关矩阵迹的定理定理 1 Cauchy-Schwarz 公式：设A,B都是n阶矩阵，则有证明：设a二代,anT, b二bd,bnT则由向量的内积定义式Ia,b】=a| b cos日，其中日为a与b的夹角10n 即ab t ai21/2L b21/2。i 4推广到矩阵的迹的形式，即为tr(f B)乞tr(AT A)1/2tr(BTB)"2定理2 schur不等式设设A是n阶矩阵，则有tr(A2)空tr(ATA)_2证明：因为 (A_AT)】=(A_ AT)(A_ AT) =A2 _ATA_AAT (AT)2又因为A - AT是反对称矩阵，故有T 2tr(A-A ) <0.tr(A2

14、)岂 tr(ATA)定理3设A, B为n阶对称矩阵，则有tr(AB)冷tr(A2 B2)证明：由Cauchy-Schwarz公式可知tr(AB)乞tr(A2)1/2tr(B2)1/2又tr(A2)1/2tr(B2)1/2 #tr(A2+B2)即得1 2 2tr(AB) tr(A2 B2)2定理4设代B,C都是n阶实对称矩阵，则有tr(ABC)二tr(ACB)二tr(BAC) =tr(BCA) =tr(CAB) =tr(CBA)证明：Ta, B,C都是n阶实对称矩阵，又由引理2可得tr(ABC)二tr(ABC)T =tr(CTBTAT)二tr(CBA)又由引理3可得tr(ABC) =tr(BAC

15、) =tr(CAB)冋时有tr(CBA)二tr(BAC) =tr(ACB)即可得结论。11定理5设n阶矩阵A的所有特征值都是实数，且trA20，若A恰有k个特征值，则(trA)2trA2证明：设A的n个特征值为仆匕,111, 'n。因为trA2 .0 ,由引理1知k 0A的特征值为2, 2? , | H , 'n2不为零，而其余的特征值'kd -考察以下平方和k2m 八(i -a)i =41其中a trA，显然M _0,且M =0：二-匕二川二“二冃k由于于是，有kM 二、i生2'i2 trA 2- k(R)-0(trA)2trA2_k定理6设代B都是n阶实对称

16、矩阵，则有tr(AB)2 ztr(A2B2)证明：由于 A, B都是n阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3,可得tr(AB)2 tr |(AB)T(AB)乞tr (BTATAB)二tr (BA2B)二 tr(A2B2)定理7设代B都是n阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有tr(AB) <|tr(A)tr(B)|证明：由cauchy-schwarz公式，且 代B都是n阶实对称矩阵，使得tr(AB)乞tr(A2)1/2tr(B2)1/2设A的特征值为1，2i,'n.B的特征值为1,”2,.，显然A,B的特征值均大于013 10又由定理4知，对A存在n阶正交矩阵p使得A = PAP

17、 =n2 2 <r Ji)trU2)<0n所以 tr(A2) =tr(P_F，P上P)=tr(P2上P)=tr()=' 打i 41 1由此得 ir(A22 <|tr(A) |, |tr(B2)|2tr(B)|故有1 1tr(AB) ；|tr(A2) 2 tr(B2) 2 <|tr(A)| |tr(B) |即tr(AB) <|tr(A) tr(B)|参考文献1 丁学仁.工程中的矩阵理论M.天津：天津大学出版社，19882 党诵诗.矩阵论及其在测绘中的应用M.北京：测绘出版社,19803 陈公宁.矩阵理论与应用M.北京：高等教育出版社，19904 牛华伟，张厚

18、超.关于矩阵迹的性质与应用J.宁波职业技术学院学报，2009年4月5 宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用J.陕西工学院学报，2001年3月Matrix trace of several properties and applicationAuthor : Cao minSupervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - Schwar