用初等变换求解线性方程组PPT课件

1、 一、案例一、案例产品数量 一工厂有1000h用于生产、维修和检验各工序的工作时间分别为P，M，I，且满足：P+M+I=1000,P=I-100,P+I=M+100，求各工序所用时间分别为多少？ 第1页/共20页该方程组的增广矩阵为 解由题意得 1000100100PMIPIPMI 1111000101100111100A下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简 第2页/共20页1111000101100111100A121011001111000111100rr 21311011000121100012200rrrr 3210110001211000041300rr 它的任一行的第一个非零元素

2、所在的列中，这个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称为阶梯形矩阵 上式最后一个矩阵 10110001211000041300的特点是：第3页/共20页下面用初等行变换继续化简矩阵. 101100012110000413003141011000121100001325r 13232100225010450001325rrrr 最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1，它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化矩阵.写出它所对应的方程组的解为 225,450,325PMI第4页/共20页对给定的 mn矩阵，在矩阵经过初等变换得到的阶梯矩阵中，非零元素的行数r ，称为 二、二、 概念和公

3、式的引出概念和公式的引出 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩记作R（A）= r 第5页/共20页线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理 线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有解的充分必要条件是 ARAR(1)当 nARAR时，方程组有唯一解； (2)当 nARAR时，方程组有无穷多组解 (3)当 ARAR时，线性方程组无解 第6页/共20页称为线性方程组(6.2.1)的增广矩阵，即 )(BAA其中 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21nbbbB21mmnmmnnbbbaaaaaaaa

4、aA21212222111211第7页/共20页特别地，对于齐次线性方程组 000212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax显然： )()(ARAR，总有解（至少有零解） 第8页/共20页齐次线性方程组（6.3.2）总有解， 齐次线性方程组有解的判定定理齐次线性方程组有解的判定定理 (1)当 nARAR时，方程组有零解； (2)当 nARAR时，则方程组有无穷多组非零解（有n-r个自由变量） 第9页/共20页综上所述，线性方程组解的情况用可用下表表示 一般地，求解线

5、性方程组可以按以下步骤进行： (1)施行初等行变换将 ARAR与A化成阶梯形矩阵，根据 是否相等，判断出方程组是否有解； (2)如果有解，用初等行变换将阶梯形矩阵进一步简化为行简化矩阵，写出方程组的解( )( )R AR An( )( )R AR An( )( )R AR A 方 程方 程组组秩的关系秩的关系非齐次线性非齐次线性方程组方程组齐次线性方程齐次线性方程组组有无穷多组有无穷多组解解有无穷多组非有无穷多组非零解零解只有唯一组只有唯一组解解只有零解只有零解无解无解/第10页/共20页 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 打印行数有三台打印机同时工作，一分钟共打印1580行字，如果第一

6、台打印机工作2分钟，第二台打印机工作3分钟，共打印2740行字，如果第一台打印机工作1分钟，第二台打印机工作2分钟，第三台打印机工作3分钟，共可打印3280行字问：每台打印机每分钟可打印多少行字？第11页/共20页解 设第i台打印机一分钟打印xi行字（i=1,2,3），由题意得 123231231580232740233280 xxxxxxxx该方程组的增广矩阵为 328032127403201580111A第12页/共20页将该方程组的求解转化为对增广矩阵化简 328032127403201580111A31111158002327400121700rr 231111580012170002

7、32740rr 66010017002101580111232 rr232110920010380001660rr 12100540010380001660rr 3100540010380001660r 因此，三台打印机每分钟可打印的行数分别为540行，380行，660行 第13页/共20页练习2 T衫销售量 一百货商店出售四种型号的T衫：小号、中号、大号和加大号四种型号的T衫的售价分别为： 22(元)、24(元)、26(元)、30(元)若商店某周共售出了13件T衫，毛收入为320元并已知的销售收入(毛收入)也为小号和加大号销售收入 (毛收入)的总和问各种型号的T衫各售出多少件？ 大号的销售量

8、为小号和加大号销售量的总和，大号第14页/共20页解：设该T衫小号、中号、大号和加大号的销售量分别111113222426303201011022026300A23111113012013024834022488286rr 413413432143213022263203026242213xxxxxxxxxxxxxx为xi(i=1,2,3,4),由题意得 2131412222111113024834012013022488286rrrrrr 32422221111130120130008800480rrrr 第15页/共20页因此小号、中号、大号和加大号T衫的销售量分别为34111113012

9、0130048000088rr 23414181111130120130012000011rrr 341421110120120130010200011rrrr 1210001010090010200011rr 1件，9件，2件和1件 23132110010010090010200011rrrr 第16页/共20页练习3 电路分析0DCBAIIII求各个部分的电流强度(单位：A) 在如下图所示的电路中应用基尔霍夫(kerchhoff)定律，得到如下的方程， 1ABII 222CDII 26BCII第17页/共20页解 题中的电路方程可表示为增广矩阵 011110011100222006122101111021110022200612rr24rr 01111006120022202111 42120361120061200222005111rrrr 303611100612200111005111r 432313003145001