数量经济学：层次分析法

1、第第2讲讲:层次分析法层次分析法 2.1层次分析法的产生与发展过程层次分析法的产生与发展过程: 层次结构分析理论层次结构分析理论(analytical hierarchy process，AHP)是由美国运筹是由美国运筹学家匹兹堡大学的学家匹兹堡大学的T. L. Satty教授于教授于70年代年代提出的一种决策方法。出于研究工作的需提出的一种决策方法。出于研究工作的需要，他开发了一种定性与定量分析，模拟要，他开发了一种定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。析方法

2、。 1977年第一界国际数学建模会议上发表：年第一界国际数学建模会议上发表：。从此从此AHP引起了人们的注意，并加以应用。引起了人们的注意，并加以应用。 1980年年Satty教授出版了教授出版了AHP专著。专著。 1982年年11月，在我国召开的能源、资源、月，在我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美国（环境学术会议上，美国（Nezhed）教授首）教授首次向我国学者介绍了次向我国学者介绍了AHP方法。其后，天方法。其后，天津大学许树柏教授发表了我国第一篇介绍津大学许树柏教授发表了我国第一篇介绍AHP的论文，的论文，AHP的理论研究和实际应用的理论研究和实际应用在我国迅速展开。（能源政策分析

3、、产业在我国迅速展开。（能源政策分析、产业结构研究、发展战略规划、发展目标分析结构研究、发展战略规划、发展目标分析等）等） 进行系统分析时，我们经常会碰到这样情进行系统分析时，我们经常会碰到这样情况：有的问题难以甚至根本不可能建立数况：有的问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析，也可能由于时间紧学模型进行定量分析，也可能由于时间紧迫，对问题还来不及进行过细的定量分析，迫，对问题还来不及进行过细的定量分析，只须作出初步的选择和大致的判断就行了。只须作出初步的选择和大致的判断就行了。这时用这时用AHP就可以迅速解决问题。就可以迅速解决问题。 AHP是将考核对象或问题视为一个系统，是将考核对

4、象或问题视为一个系统，根据问题的性质和要达到的总目标，将问根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成要素，并按照要素间题分解成不同的组成要素，并按照要素间的相互关联度及隶属关系，将要素按不同的相互关联度及隶属关系，将要素按不同层次聚集组合，从而形成一个多层次的分层次聚集组合，从而形成一个多层次的分析结构系统，把问题条理化、层次化。析结构系统，把问题条理化、层次化。 层次分析法的基本原理层次分析法的基本原理 为了说明为了说明AHP的基本原理的基本原理,首先分析下面这首先分析下面这个简单的事实个简单的事实. 假定我们已经知道假定我们已经知道n个西瓜的重量总和为个西瓜的重量总和为1,每个

5、西瓜的重量分别为每个西瓜的重量分别为W1,W2,.Wn。把这。把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示示n个西瓜相对重量关系的比较矩阵（以后个西瓜相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）：称之为判断矩阵）： 判断矩阵：11, , ,1,2,.,ikiiijijjijkaaaai j knaa111122221212()nnijn nnnnnW WWW WWW WWW WWWaW WWW WW1111211222221212nnnnnnnnW WWW WWWnWW WWWnWW WWAWnWWnWW WWW WW 即即n是是A的一个特征根，每个西瓜的重量

6、是的一个特征根，每个西瓜的重量是A对应于特征根的特征向量的各个分量。对应于特征根的特征向量的各个分量。 很自然我们会提出一个相反的问题，如果很自然我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每个西瓜的重量，也没有衡器事先不知道每个西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵，能去称量，我们如能设法得到判断矩阵，能否导出西瓜的相对重量呢？显然是可以的。否导出西瓜的相对重量呢？显然是可以的。在判断矩阵具有完全一致性的条件下，我在判断矩阵具有完全一致性的条件下，我们可以通过解特征值问题：们可以通过解特征值问题： AW=maxWmaxW 求出正规化特征向量（假设西瓜的重量为求出正规化特征向量（假

7、设西瓜的重量为1 1），从而得到），从而得到n n个西瓜的相对重量。个西瓜的相对重量。 同样，对于复杂的经济社会问题，通过建同样，对于复杂的经济社会问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法可以确定各种方案和措施利用特征值方法可以确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。的重要性排序权值，以供决策者参考。 使用使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要，判断矩阵的一致性是十分重要的，所谓判断矩阵的一致性是指判断矩阵的，所谓判断矩阵的一致性是指判断矩阵的一致性是否满足如下关系：的一致性是否满足如下关系： , , ,1,2,.,ikij

8、jkaai j kna 上述式子完全成立时，称判断矩阵具有完上述式子完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。此时矩阵的最大特征根全一致性。此时矩阵的最大特征根maxmax=n=n 其余特征根均为其余特征根均为0 0。在一般情况下，可以证。在一般情况下，可以证明明判断矩阵的最大特征根为单根，且有判断矩阵的最大特征根为单根，且有maxmaxn n。当判断矩阵具有满意一致性，。当判断矩阵具有满意一致性，maxmax稍大于矩阵的阶数稍大于矩阵的阶数n,n,其余的特征根接其余的特征根接近于近于0 0。这时，基于。这时，基于AHPAHP得出的结论才基本得出的结论才基本合理。但是由于客观事物复杂性和人们认合理

9、。但是由于客观事物复杂性和人们认识上的多样性，要求所有判断都有完全一识上的多样性，要求所有判断都有完全一致性是不可能的，但我们要求一定程度上致性是不可能的，但我们要求一定程度上的判断一致性，所以需要对构造的判断矩的判断一致性，所以需要对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。阵需要进行一致性检验。2.2应用应用AHP解决问题的思路：解决问题的思路： （1）构建层次结构模型：层次分析法）构建层次结构模型：层次分析法体现出人们思维的基本特征体现出人们思维的基本特征:分解、判分解、判断、综合。首先，把分析系统中各因断、综合。首先，把分析系统中各因素之间的联系，建立系统的阶梯层次素之间的联系，建立系统的阶梯

10、层次结构。分析系统中各因素之间的联系，结构。分析系统中各因素之间的联系，建立系统的阶梯层次结构如：建立系统的阶梯层次结构如：合理使用企业利润A调动积极性C1提高技术水平C2改善文化生活C3奖金P1培训P2技术设备P3旅游P4健身设备P5 目标层A目标A准则C1准则C2准则C3方案P1方案P2方案P3方案P4方案P5(2)判断矩阵判断矩阵: 通过两两比较判断的方式确定每一层通过两两比较判断的方式确定每一层次中要素的相对重要性次中要素的相对重要性 ,得到相对重要得到相对重要性性 的比较矩阵。将同一层次的各元素的比较矩阵。将同一层次的各元素对于上层次中某一准则的重要性进行对于上层次中某一准则的重要性

11、进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。两两比较，构造两两比较判断矩阵。(3)层次排序层次排序: 通过计算各层因素相对重要性通过计算各层因素相对重要性 的权值的权值,得到最低层得到最低层(方案方案)对最高层对最高层(总目标总目标)的的相对重要性相对重要性 次序的组合权重，以此排次序的组合权重，以此排序。序。（4）一致性检验）一致性检验 AHP方法的步骤总结：方法的步骤总结： (1)分析系统中各因素之间的联系，分析系统中各因素之间的联系，建立系统的阶梯层次结构。建立系统的阶梯层次结构。 (2)将同一层次的各元素对于上层次将同一层次的各元素对于上层次中某一准则的重要性进行两两比较，中某一准则的重要性进

12、行两两比较，构造两两比较判断矩阵。构造两两比较判断矩阵。 (3)根据判断矩阵计算被比较元素对根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重。于该准则的相对权重。 (4)计算各层元素对系统目标的合成计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。权重，并进行排序。2.3 阶梯层次结构的优点：阶梯层次结构的优点： (1)阶梯层次结构从上到下的顺序存在支阶梯层次结构从上到下的顺序存在支配关系，这种关系在某种意义上类似于集配关系，这种关系在某种意义上类似于集合、子集合的包含关系。合、子集合的包含关系。 （2)整个结构中层次数不受限制，层次整个结构中层次数不受限制，层次数的多少取决于系统分析的需要。最高层

13、数的多少取决于系统分析的需要。最高层次元素必须只有一个，每一个元素所支配次元素必须只有一个，每一个元素所支配的一般不超过的一般不超过9个，元素过多时可进一步分个，元素过多时可进一步分组。组。 （3)层次之间元素的联系比同一层次各层次之间元素的联系比同一层次各元素间的联系要强的多。如果出现层次内元素间的联系要强的多。如果出现层次内部元素的联系非常密切以致这种联系难以部元素的联系非常密切以致这种联系难以忽略时，则层次位置必须重新确定，同一忽略时，则层次位置必须重新确定，同一层次元素的位置可以变化。层次元素的位置可以变化。 层次分析法的缺点：层次分析法的缺点： 层次分析法对同一层次各元素之间的内层次

14、分析法对同一层次各元素之间的内在关系做出了忽略的假定，只对层次之间在关系做出了忽略的假定，只对层次之间的元素关系进行了分析。而在实际工作中，的元素关系进行了分析。而在实际工作中，系统中的各因素并非是绝对独立的，任何系统中的各因素并非是绝对独立的，任何因素之间都或多或少地存在着一定的关联因素之间都或多或少地存在着一定的关联性，它们彼此之间相互影响。因此，它在性，它们彼此之间相互影响。因此，它在因素相关性方面的研究是缺乏周密性的。因素相关性方面的研究是缺乏周密性的。 通常采用的确定权重体系的方法包括通常采用的确定权重体系的方法包括:德尔菲德尔菲(Delphi)法、墒值法、模糊聚类分析法、层次分法、

15、墒值法、模糊聚类分析法、层次分析析(AHP)法。法。 1.德尔菲德尔菲(Delphi)法法 它是依据若干专家的知识、智慧、经验、信它是依据若干专家的知识、智慧、经验、信息和价值观，对己拟出的考核指标进行分析、判息和价值观，对己拟出的考核指标进行分析、判断、权衡并赋予相应权值的一种调查法。一般需断、权衡并赋予相应权值的一种调查法。一般需经过多轮匿名调查。在专家意见比较一致的基础经过多轮匿名调查。在专家意见比较一致的基础上，经组织者对专家意见进行数据处理，检验专上，经组织者对专家意见进行数据处理，检验专家意见的集中程度、离散程度和协调程度，达到家意见的集中程度、离散程度和协调程度，达到要求之后，得

16、到各考核指标的初始权重向量要求之后，得到各考核指标的初始权重向量W.，再对再对W.做归一化处理，获得各考核指标的权重向做归一化处理，获得各考核指标的权重向量量. 2.嫡值法 嫡（嫡（DI）(Entropy)原是统计物理和热力原是统计物理和热力学中的一个物理概念，在信息系统中的信学中的一个物理概念，在信息系统中的信息嫡是信息无序度的度量，信息嫡越大，息嫡是信息无序度的度量，信息嫡越大，信息的无序度越高，其信息的效用值越小，信息的无序度越高，其信息的效用值越小，反之亦然。反之亦然。 利用墒值法估算各指标的权重，利用墒值法估算各指标的权重，其本质是利用该指标信息的价值系数来计其本质是利用该指标信息的

17、价值系数来计算，其价值系数越高，对评价的重要性就算，其价值系数越高，对评价的重要性就越大越大(或对评价结果的贡献就越大或对评价结果的贡献就越大)，嫡值法，嫡值法是根据各指标所含信息有序度的差异性，是根据各指标所含信息有序度的差异性，也就是信息的效用价值来确定该指标的权也就是信息的效用价值来确定该指标的权重。重。 3.模糊聚类分析法模糊聚类分析法 当若干考核指标具有模糊性时，可采用模当若干考核指标具有模糊性时，可采用模糊聚类分析法，对指标作模糊分类，采用糊聚类分析法，对指标作模糊分类，采用数量积法计算所有序偶的模糊相识系数，数量积法计算所有序偶的模糊相识系数，得到论域上的一个模糊相识关系矩阵，对

18、得到论域上的一个模糊相识关系矩阵，对其作自乘运算得到具有自反性、对称性和其作自乘运算得到具有自反性、对称性和传递性的模糊等价关系矩阵。对模糊等价传递性的模糊等价关系矩阵。对模糊等价矩阵作分析可得到考核指标重要程度分类，矩阵作分析可得到考核指标重要程度分类，并给出分类的权重和排序。并给出分类的权重和排序。2. 4各方法的分类和比较各方法的分类和比较 上述四类方法，从原理角度可分为三类，上述四类方法，从原理角度可分为三类，德尔菲法和德尔菲法和AHP法基本属于一类，都是基法基本属于一类，都是基于专家群体的知识、经验和价值判断，只于专家群体的知识、经验和价值判断，只是是AHP法对专家的主观判断做了进一

19、步数法对专家的主观判断做了进一步数学处理，使之更科学，但专家经验、知识学处理，使之更科学，但专家经验、知识的局限性并未消除。的局限性并未消除。 嫡值法是根据样本自身的信息特征做出嫡值法是根据样本自身的信息特征做出的权重判断。的权重判断。 模糊聚类分析法是基于样本模糊数据的相模糊聚类分析法是基于样本模糊数据的相似性，对考核指标做出相对重要程度分类。似性，对考核指标做出相对重要程度分类。 适用范围和优缺点比较适用范围和优缺点比较 1.德尔菲法和德尔菲法和AHP法与另两种方法法与另两种方法比较，优点是比较，优点是:不需要具备样本数据，不需要具备样本数据， 专家仅凭对考核指标内涵与外延的理专家仅凭对考

20、核指标内涵与外延的理解则可做出判断。因此，使用范围较解则可做出判断。因此，使用范围较广，广， 特别对一些定性的模糊指标，仍可做特别对一些定性的模糊指标，仍可做出判断，且在判断过程中可以吸纳更出判断，且在判断过程中可以吸纳更多的信息。多的信息。 2. AHP法与德尔菲法比较，适用范围法与德尔菲法比较，适用范围相同，由于相同，由于AHP法对各指标之间相对法对各指标之间相对重要程度的分析更具逻辑性，刻画得重要程度的分析更具逻辑性，刻画得更细，再加上数学处理，其可信度高更细，再加上数学处理，其可信度高于德尔菲法。这两种方法的缺点是于德尔菲法。这两种方法的缺点是:如如果专家选择不当，那么可信度就会降果专

21、家选择不当，那么可信度就会降低。低。 3.嫡值法由于反映了信息嫡值的效用嫡值法由于反映了信息嫡值的效用价值，其给出的指标权值比德尔菲法价值，其给出的指标权值比德尔菲法和和AHP法有较高的可信度，但它缺乏法有较高的可信度，但它缺乏各指标间的横向比较，又需要样本数各指标间的横向比较，又需要样本数据，在应用上受到限制。据，在应用上受到限制。 4.模糊聚类分析法模糊聚类分析法:适用于模糊指标适用于模糊指标的重要程度分类，特别适用于同一层的重要程度分类，特别适用于同一层次有多项指标时，该法的缺点是只能次有多项指标时，该法的缺点是只能给出分类指标的权重，不便确定单项给出分类指标的权重，不便确定单项指标的权

22、重。指标的权重。2.5层次分析详细步骤 1 确立思维判断定量化的标度（构造判断矩确立思维判断定量化的标度（构造判断矩阵）阵） 在两个因素相互比较时，需要有定量的标在两个因素相互比较时，需要有定量的标度，标度的含义如表度，标度的含义如表3-1所示所示:标度标度 含义含义 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要素稍微重要 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要素明显重要 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因表示两个因素相比，一个因素比另一

23、个因素强烈重要素强烈重要 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要素极端重要 2,4,6,8为上述相邻判断的中值为上述相邻判断的中值 采用1-9的比例标度的依据是：（1）心里学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在5-9级之间，采用1-9的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，1-9的比例标度早已为人们所熟悉。（3）科学考察和实践表明，1-9的比例标度已经完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。2 层次单排序层次单排序 2 层次单排序层次单排序 层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题： （1）

24、 其中， 为判断矩阵B的最大特征根；W为对应于的正规化特征向量。maxBWW max 为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义： （2） n为判断矩阵的阶数，当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0， 越大，CI越大，判断矩阵的一致性越差。为了检验判断矩阵是否具有满意一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。记判断矩阵的随机一致性比例为CR。 max1nCIn maxn CICRRI 1-9阶判断矩阵平均随机一致性指标 RI当 0.1时，判断矩阵具有满意一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。指标123456789RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.

25、24 1.32 1.41 1.45C IC RR I3 和积法和积法 为简化计算，可采用近似方法-和积法计算，它使得我们可以仅使用小计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。其具体计算步骤如下：(1)将判断矩阵每一列正规化。 1,ijijnkjkbbb i，j = 1， 2，n （2）将每一列经正规化后的判断矩阵行相加。 （3）对向量 正规化1niijjWb12,TnWW WW1ijnjjWWW 所得到的即为所求的特征向量123,TjWW W W试中， 为向量AW的第i个分量。（4）计算判断矩阵最大特征根 max1()niijAWnW iAW BC1C2C3C111/51/3C2513C331

26、/31按上述和积法的计算步骤（1），得到按列正规化后的判断矩阵： 如下 0.1110.1300.0070.5560.6520.6920.3330.2170.231 按上述步骤（2），按行相加得： 计算31110.111 0.1300.0770.318jjWb32210.5560.6520.6921.900jjWb33310.3330.2170.2310.781jjWb 按（3）将 正规化，得： 如0.318,1.900,0.781TjW 11310.3180.1062.999jjWWW22311.9000.6342.999jjWWW33310.7810.2602.999jjWWW 则所求的特征

27、向量按（4）计算判断矩阵最大特征根0.106,0.634,0.260TjW max 11531310.1060.3195130.6341.944310.2600.789AW 3312max1123()()()()33330.3191.9440.7891.002 1.022 1.0123*0.106 3*0.634 3*0.2603.036iiiAWAWAWAWWWWW 所以max33.04030.0203 12CI0.0200.0350.10.58CICRRI所以该判断矩阵具有满意一致性。可以最终书写为：AC1 C2 C3WC1C2C31 1/5 1/35 1 33 1/3 10.1060.6

28、340.260CI=0.02RI=0.58CR=0.03max= 3.044层次总排序层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果，利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权值，这就是层次总排序。因素重要性的权值，这就是层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层次下面的第二层次，其层次单对于最高层次下面的第二层次，其层次单排序即为层次总排序。排序即为层次总排序。 假定上一层次所有因素的 总排序已经完成，得到的权值分别为 与 相对应的本层次因素 单排序的结果为：

29、则合成排序为：12,mA AA12,ma aa12,nB BBia12,iiinb bb111111211( )( )(,)miTimiTmmminniniabbba ba aabbab 总排序的一致性检验：110.10miiimiiiCIaCIRIa RICICRRI时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意一致性。2.6案例 某企业年终进行利润分配，总目标是希望能够促进企业进一步发展。可供选择的方案有：（1）作为奖金发给职工；（2）扩建职工食堂、托儿所等福利设施；（3）开办职工业余培训；（4）建职工俱乐部等；（5）引进技术设备进行技术改造。显然，衡量以上方案的标准是：是否调动了职工的生产积极性；是否提高了企业的技术水平；是否改善了职工的物质文化生活状况。现在要对上述方案进行优劣（LIE）性评价或者有科学的利润分配比例（权值）。1构建层次分析结构图 企业利润分配方案A调动积极性C1提高技术水平C2改善文化生活C3发奖金P1福利设施P2职工培训P