第29讲等比数列

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座29）等比数列一. 课标要求：1. 通过实例，理解等比数列的概念；2. 探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3. 能在具体的问题情境中， 发现数列的等比关系， 并能用有关知识解决相应的问题。 体会等比数列与指数函数的关系。二. 命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的 试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应 用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测07年高考对本讲的考察为：（1 ）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主

2、的12道客观题目；（2 ）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、 等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三. 要点精讲1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q=0），即：a. .1: a. =q（q=0）数列对于数列（1） （2） （3）都是等比数列，它们的1公比依次是2, 5,。（注意：“从第二项起”、“常数” q、等比数列的公比和

3、项都不为2零）2 等比数列通项公式为：an = a1 qnJ（a1 q = 0）。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d =1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则amanm -n二 q3 .等比中项如果在a与b中间插入一个数 G，使a,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比 中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4 等比数列前n项和公式一般地，设等比数列 冃月283,，an,的前n项和是Sn二aa2 a3 an,当 q “ 时，Sn 二 a1（1 q）或 Sn -aanq ；当 q=1 时，S n （错位相减法）。1-q

4、1-q说明：（1） a1,q, n,Sn和a1）an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中 是qn，通项公式中是qn4不要混淆；（3）应用求和公式时q=1，必要时应讨论q=1的 情况。四典例解析题型1:等比数列的概念1例1 “公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为丄的等比数列一定是递减数列”；2“ a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”； “ a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A 1个B 2个C 3个D 4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为 0的等差数列不是等比数列；1 1命题2中可知an+1=

5、an3 ,為+1勺.未必成立，当首项 $<0时，an<0,则一an>an，即2 2an+1>an,此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0, c R，此时有b2 = ac，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b= ac，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们 要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2 命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b（a工1），则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c（a丰0），则数列an是等差数列；命题3：若

6、数列an的前n项和Sn=na n,则数列an既是等差数列，又是等比数列； 上述三个命题中，真命题有（）A 0个B 1个C 2个D 3个解析：由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=Sn Sn- 1=（a 1）2 an S若a*是等比数列，贝V a2=a，即=a，所以只有当b= 1且0时，此数列才是等比数列。a1a+b由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=Sn Sn-1=2na+b a,若an是等差数列，则 a2 a1=2a，即2a c=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a 1,当n2时，an=Sn Sn- 1=a 1，显然a n是一个常数列，即 公差为

7、0的等差数列，因此只有当a 1工0;即1时数列an才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与徘的关系，它们是 =月当门二£2£n=si n30 ° =-，所以 rn=-rn-( n > 2)，于是 心=丄，旦=(丄)2 rn 4 Tn2312 andn_1故an成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关 系建立模型加以解析。题型3:等比数列的通项公式及应用例5. 一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32，

8、那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a, aq, aq2;时，正确判断数列an是等差数列或等比数列，S -Sn4,当n A2时都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题， 选择A。题型2 :等比数列的判定例3 （ 2000全国理，20）（1）已知数列 cn,其中Cn = 2n+ 3n，且数列帚1 P5为等比数列，求常数 p ； (n)设 an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列 Cn不是等比数列。解析：(I)解：因为 Cn +1 pCn是等比数列，故有：(Cn+ i Pcn)=( cn+ 2 pcn +

9、 1)( cn Pcn- 1),将Cn= 2n+ 3n代入上式，得：:2n+1+ 3n+1 p (2n+ 3n) * 22则 2(aq+4)=a+aq，且(aq+4) =a(aq +32);= 2n+2 + 3n +2 p ( 2n+ 1 + 3n+1)2 : 2n+ 3n p ( 2n 1 + 3n1)即(2 p) 2n+( 3 p) 3n 2=(2 p) 2n+1+( 3 p) 3n+1 ( 2 p) 2n1+( 3 p) 3n 1,整理得-(2 p) ( 3 p)2 2n2 3n= 0，解得 p=2 或 p=3。6(n)证明：设 an、 bn的公比分别为 p、q, p丰q, cn=an+

10、 bn° 为证 Cn不是等比数列只需证 C22 C12 C30 事实上，C22 =( a1p + b1q) 2= a12p2+ b/q2+ 2a1b1pq,22222 222C12 C3=( aj+ bj (ag + Sq )= aj p + g q + 玄命1 (p + q ), 由于 pz q, p2 + q2> 2pq,又b1 不为零，因此C22工C12 C3,故 Cn不是等比数列。点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例4. (2003京春，21)如图3 1 ,在边长为I的等边 ABC 中，圆01ABC的内切圆，圆 02与圆01外切，且与 AB,B

11、C相切，圆0n+1与圆On外切，且与 AB、BC相切，如此 无限继续下去.记圆On的面积为an (n N*),证明 a*是等比数 列；证明：记rn为圆On的半径，贝U门=丄tan30 ° = -3 | 。2 62解得 a=2, q=3 或 a= , q= 5;9故所求的等比数列为 2, 6,18或-,10 , 50。999点评：第一种解法利用等比数列的基本量a,q，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。例6(2006年陕西卷)已知正项数列an，其前n项和&满足10& =an2+5an+6, 且a!,a2,

12、a15成等比数列，求数列an /的通项an.解析：T 10Sn=an2+5an+6,/10ai=ai +5a 1+6,解之得 ai=2 或 ai=3。又 10Sn- 1=an- 12+5an-1+6(n > 2)由一得 10an=(an an- 1 )+6(an an- 1)，即(an+an- 1)(an a-1 5)=0 /an+an-1>0, & an-1=5(n >2)当 a1=3 时，a3=13, a15=73 , a1, a3,a15 不成等比数列/-a1 工3；2当 a1=2 时,a3=12 , a15=72，有 a3 =a1 a15 , a1=2, an

13、=5n 3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。题型4:等比数列的求和公式及应用例7.( 1)(2006年辽宁卷)在等比数列(aj中,印=2,前n项和为Sn,若数列an+1 也是等比数列，则 Sn等于()A. 2n 2B. 3nC. 2nD . 3n -1(2) (2006 年北京卷)设 f(n)=2 24 27 210 23n 10(N)，则 f(n)等 于()A. |(8n -1)B .学1" C .討3" D . |(8n 4 -1)(3) (1996全国文，21)设等比数列 an的前n项和为Sn,若S3 + Ss= 2S9,求数

14、列的公比q；解析：(1)因数列 春为等比，则an =2qn，因数列an -1也是等比数 列，则中+1)2 =佝+1)七+1)= an十2+2an+= anan七+an+an七二 an+an七=2an出2= an(1 q 2q) = 0= q =1即an = 2，所以Sn - 2n，故选择答案C。(2) D ；(3) 解：若 q=1，则有 S3=3a1, &=6a1, S9=9a1。因a产0,得S3+S6* 2S9，显然q=1与题设矛盾，故q丰1。369a1 (1 - q ) a1 (1 - q )2a1 (1 一 q)3“63 八由 S3+S6=2S9,得一-，整理得 q (2q q

15、1)1 -q 1 - q1 - q1=0,由 q 丰 0，得 2q6 q3仁0 ,从而(2q3+ 1) (q3 1) =0，因 q3 1，故 q3= ，所2，以=V4以 q-。2点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最 终结果即可。例8. ( 1) (2002江苏，18)设 an为等差数列， bn为等比数列，印=6 = 1, a2 + a4= b3，b2b4= a3.分别求出 a*及 "的前10项的和Sg及(2) (2001全国春季北京、安徽，20)在1与2之间插入n个正数aj，a?，a?”， an，使这n + 2个数成等比数列；又在 1与2之间插入n

16、个正数6，b2，b3，, ， bn， 使这 n + 2 个数成等差数列记 An= a1a2a3, an，Bn= b1+ b2+ b3+ ” + bn.(I) 求数列 An和 Bn的通项；(H) 当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。(3) (2002天津理，22)已知 an是由非负整数组成的数列，满足色=0,3，an+1an=( an-1 + 2) (an-2+ 2)， n= 3，4， 5，,.(I) 求 a3；(H)证明 an= an-2+ 2， n= 3，4， 5，,；(川)求 an的通项公式及其前 n项和S!。解析：(1 ) an为等差数列， bn为等比数列，a2+ a4= 2

17、a3， b2b4 = b32.已知 a2 + a4 = b3， b2b4 = a3，-b3= 2a3， a3 = b3 .得 b3= 2b32. 1 1-b3 0 - - b3= ， a3 =2413由a1= 1，a3= 知 an的公差为d=-，4810 化55-S10= 10a1 +d =28由 b1= 1, b3= 1 知 bn2的公比为2 2当q吟时，"冒唱（2 + Q ,-、2）。当 q 2 时，"bdX31(221-q 32(2) (I)设公比为 q,公差为d，等比数列1, a1? a2, , , an, 2,等差数列1,bl , b2 , ”，bn, 2

18、6;则 Ai= ai = 12 q A?= 12 q2 12 q2 A3= 12 q2 12 q22 12 q3又 an+ 2= 12 qn+1= 2 得 q" 1= 2,An= q2 q , q = q(1 n) n2n=22(n = 1, 2, 3,)2又T bn+ 2= 1+( n+ 1) d = 2.( n + 1) d= 13B1 = b1 = 1 + d B2= b2 + b1 = 1 + d+ 1 + 2d Bn = 1 + d+ , + 1 + nd= n2(n) An> Bn,当 n > 7 时3证明：当 n= 7 时，23' 5= 82 2 =

19、 An Bn= 3 7,. An> Bn2设当n= k时,An> Bn,则当n = k+ 1 时，Ak 彳=2Bk -13k333又Ak+1 = 2 2 2 2 Bk 1 k 且 Ak> BkAk+1 > . 2 2 k2 2 2Ak+1 Bk+1 > 2 3 k - 3 k - 3 =(. 2 -1) 3 k - 32 2 2 2 2又 k= 8, 9, 10,. Ak+1 Bk+1> 0，综上所述，An> Bn成立(3) (I)解：由题设得a3a4= 10,且a3、a4均为非负整数，所以 a3的可能的值为1, 2, 5, 10.3若a3= 1,贝U

20、 a4= 10, a5=，与题设矛盾.235若a3= 5,贝U a4= 2,氏=，与题设矛盾.3、若 a3= 10,则 a4= 1, a5= 60, a6=，与题设矛盾.5所以a3 = 2.(H)用数学归纳法证明： 当n= 3, a3= a!+ 2,等式成立； 假设当n= k (k>3)时等式成立，即 ak= ak-2+ 2,由题设ak+ iak=( ak-1 + 2)2 (ak -2+ 2),因为 ak= ak-2 + 2工0,所以 ak+i = ak-1 + 2,也就是说，当n= k+ 1时，等式ak+1=1 + 2成立；根据和，对于所有n3，有an+1=an-1+2。(川)解：由

21、a2k-1 = a2(k-1)-1 + 2 , a1 = 0,及 a2k= a2( k-1)+ 2, a2 = 3 得 a2k-1 = 2 (k 1) , a2k= 2k+ 1 , k= 1 , 2 , 3 ,，即 an= n +( 1), n = 1 , 2 , 3 , , 01 n(n +1),当n为偶数,所以Sn= 21n(n +1) -1,当n为奇数.2点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。题型5 :等比数列的性质例9. (1) (2005江苏3)在各项都为正数的等比数列an中，首项a1= 3，前三项和为 21,则 a3 + a4 +

22、 a5=()(A ) 33( B) 72( C) 84(D) 189(2)(2000上海，12)在等差数列an中，若 阮=0,则有等式a什a2+, + an=a1+a2+,+ a19-n (n v 19, n N)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若bg= 1,则有等式成立。解析：(1)答案：C;解：设等比数列an的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21, 即 3+3q+3q =21,q +q-6=0 ,求得 q=2(q = - 3 舍去),所以 a3+a4+a5=q (a什a2+a3)=4 21 二 84, 故选C o(2)答案：b1b2, bn= b1b2,

23、 b17-n (nv 17, n N*);解：在等差数列 an中，由 a10 = 0,得 a1+ a19= a2 + a18= , = an+ a20-n= an+ 1 + a19 -n= 2a10= 0,所以 a1 + a2 +, + an+, + a19 = 0, 即卩 a1 + a2+, + an = a18, an+1,又.a1= a19 , a2= a18, , , a19- n = an+ 1二 a1+ a2+, + an=- 一, 一 a*+1= a1+ a?+, + n,若 a9= 0,同理可得 a1 + a2+, + an = a1 + a2 + 玄仃n,相应地等比数列 bn

24、中，则可得：b1b2, bn= b1b2, b仃-n (nv 17, n N*)。点评：本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力。例10. (1)设首项为正数的等比数列，它的前 n项和为80,前2n项和为6560,且 前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q。1(2) 在和n 1之间插入n个正数，使这n 2个数依次成等比数列，求所插入的nn个数之积。(3) 设等比数列a.的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lg an的前多少项和最大？ (lg2=03,lg3=0.4)解析：(1)设等比数列an的前n项和

25、为Sn，依题意设：$> 0，Sn=80 ，S2n=6560。T S2nM 2S，' q 丰 1从而41=80,且1 -qQ(1-q2n)1 -q=6560。两式相除得1+qn=82，即qn=81。- a1=q- 1> 0即q> 1,从而等比数列 an为递增数列，故前n项中数值最大的项为 第n项。- a1qn-1=54,从而(q 1)qn-1=qn-qn-1=54。n-1- q=qn-q =81 54=2781 =3。27- a1=q 1=2故此数列的首为2，公比为3。(2)解法1：设插入的n个数为x1,x2/，焉，且公比为q，则 n 1 = qn 1 qn 1 = n

26、(n 1), xk = qk ,k 二 1,2厂,n,nnn(n 十)n112 .1 n 11 2 n 12n 1 门Tn 門 X2Xnq q q=()。n nn nnn1解法2：设插入的n个数为x2，xn，x0,xn彳=n Tn n+1X。Xn 1 二人 Xn 二 X? X./ :n*1 X2Xn2n + 1 nTn =(%Xn) (X2Xn4)(Xn%)=()"n Tn =(口)2。n(3)解法一 设公比为q,项数为2m,m N ,!2m2m 八印(q -1) _ae (q 一1) 依题意有： q _1q2-1fag) .(ag3) =9(aiq2 +ag3)空=1q J化简得q

27、 +1解得3,qq2 =9(1+q), =108设数列lg a*前n项和为Sn,2n 1 . n 1+2+(n 1)则 Sn=lga1+lgaq+lgaq=lga1 q11=nlga1+ n(n 1) lgq=n(2lg2+lg3) n(n 1)lg322lg 327=()n +(2lg2+ _lg3) n-2 22lg2+7lg3可见，当n=2 时，Sn最大,lg32lg2 flg3而2一lg34 0.3 7 0.42 0.4=5,故lg an的前5项和最大,解法二接前,a1 =1081 11，于是 lgan=lg 108()n 1 =lg108+( n Hg,q石33二数列lg an是以lg108为首项，以lg1为公差的等差数列,3令 lgan>0,得 2lg2 (n 4)lg3 考,.4g2 4lg3 2 0.3 4 0.4-n冬'lg30.4=5.5,由于n N，可见数列lg an的前5项和最大。点评：第一种解法利用等比数列的基本量a1,q，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二 种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到。 题型6 :等差、等比综合问题例11.( 2006年广东卷)已知公比