等差数列及其前n项和讲义

1、等差数列及其前n项和一、等差数列的相关概念(一)等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。利用：“ an 1 - an = d (d为常数)”判断一个数列是否是等差数列。注意：(1)如果一个数列不是从第 2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是 等差数列；(2)等差数列要求这个常数必须相同；(3)公差d : d = an彳-an = an an(n> 2)； (4)当d = 0时，数列为常数数列；当 d >0，数列为递增数列；当 d v 0,数列为 递减数列；(5)公差必须为后一项减前

2、一项，不能颠倒。(二八 等差数列的通项公式如果等差数列 an的首项为a，公差为d，那么它的通项公式是 an = a +(n i).d，或者 通项公式的变形：an = am + (n m) d。(三)、等差中项：(1 )由三个数a , A , b组成的等差数列，A叫做a和b的等差中项，则2A = a + b；(2) 若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即 2 an = an J + an 1。(3) 特别地：在 ABC中，A、B、C成等差数列，则B = 60°。57例1：已知数列 an为等差数列a3 = 5，a7 = 4则印5 =。【基本量法】

3、【解析】31.4变式练习1 ：若等差数列 an的公差d丰0,且a-i , a2是关于x的方程x2 a3x + a4 = 0的两根，求数列 an的通项公式。a1+ a2= a3，2a1 + d = a1 + 2d，a1 = 2，【解】由题意知 £解得an = 2n.132= a4，aa + d 尸 a1 + 3d，9 = 2，变式练习2： (1)方程x2 6x+ 1 = 0的两根的等差中项为。(2)等差数列 an中，前三项依次为151，1，则公差dx+1 6x x【解析】（1）设方程两根为XI、X2,则Xi + X2= 6，所以其等差中项为 迁严=3.ddCAA由XZ+ X = 2X

4、6X得x= 2,故知等差数列an的首项为-，公差d =.变式练习3：等差数列 an中，若a7 a3 = 20,则a20仃a2011 =()A: 40B: 30C: 25D: 20【解析】选B.因为4d = a7 a3 = 20,所以d = 5,于是a2oi7 a2oii = 6d=6X5= 30.二、等差数列的性质1、d> 0, an是递增数列；d= 0, an是常数列；d< 0, an是递减数列。、,.玄门a玄门am2、公差 d = =- 一(m、n N +)n 1 n m3、若 p+ q = m+n,贝 S ap + aq = am + an m、n、p、q N + ;特别地：

5、k,贝“ 2ak am + a.（角标公式）2例2：在公差为d的等差数列 an中，(1 )右 a2 + a3 + a23 + a24 = 48,贝V a13。(2 )若 a2 + a3 + a4 + a5 = 34, a2 x a5 = 52,则 d =。a2 = 4,a2= 13,【解析】：(1) a13= 12. (2) .或d = 3 或 d= 3.目=130= 4,变式练习1:已知等差数列 an中，a2+a6+ a10 = 1，则a4 +a8=2【解析】：3变式练习2: (1)在等差数列中&1 + a? = 15, a8 = 4,则a?=()A: 10 B: 11C: 12 D

6、: 9【解析】B(2)在等差数列 an中，若 a4 = 10,则 a2 + a3 + a4 + a5 + a6 =()A: 30 B: 40C: 50 D: 60【解析】C变式练习3:在等差数列an中，a5 + a6 = 4,则log2(2ai 2a22a10)=()A : 10B: 20C: 40D: 2+ log25【解析】ai + a2+ ai0 = 5(as + a6)= 5 4 = 20 ,从而 log2(卜 I )= log2220 = 20. i变式练习4：在等差数列 an中，若a2+ a4 +a6+a8+a10 = 80,则a7 a8的值为2( )A: 4 B: 6C: 8D:

7、 10【解析】选 C.因为 a? + 84 + a§+ ai°= 5a§= 80,12(2a7 - a8)12(a6 + a8 a8)= 81所以a6= 16.所以a7 a8 =2三、等差数列前n项和Sn1、公式：Sn = n(a1 n)= na. + "9 ；2 22由前n项和公式得：Sn = An2+ Bn + C,则 an 成等差数列的充要条件是 C = 0。2、性质：（1）、在等差数列an中，则Sn , S2n &, Ssn - S?n成等差数列。例3:设Sn为等差数列 an的前n项和，若a3 = 3, S9 S6 = 27,则该数列的首

8、项 a1等于（)6363A :B :C:D:5555fa1+2d = 3la1 -1- 2d = 3t$【解析】:由卩対十药"一（6眄+ 15町=27,得M + M二艮解得a£.故选d.变式练习1:在等差数列中，已知S8 = 48, S12 =168，求数列，an匚的通项公式。【解析】：a1 - -8,d =4 an = 4n 12变式练习2:九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺， 第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日织尺数为（）A: 6 B: 9 C: 12 D: 15【解析】：S7 = 21, a2 a5 ag = 15，则 a10

9、 = 15变式练习3：已知数列 a !为等差数列，前 30项的和为50,前50项的和为30,求前80项的和。【解析】：解：设 Sn =An2Bn，f 50=900A+30B解得30=2500A 50BA= 一 475B154 2n7549n15802 49 80 - -80751513注：等差数列有如下性质：若Sp =q,Sq 二 p p = q 则 Sp .q = - p q。例4：在等差数列 订n 中，已知a4 a5 =12，那么它的前8项之和S8等于（）A: 12B： 24 C: 36 D: 48【解析】：D变式练习1：已知等差数列 唁鳥中，a2 a5 a9 a12 =60，那么S3 =

10、（）A: 390 B: 195C： 180D: 120【解析】：C变式练习2：在等差数列an中，a21 = 20,则S41 =。【解析】820变式练习3：已知在等差数列"an冲，a3、a15是方程x2 6x10= 0的根，则S17=（）A: 41 B: 51 C: 61 D: 68【解析】：B变式练习4：已知等差数列 的公差d J , a2 a4 a100 =80,那么S。=（）2A : 80B: 120C: 135 D: 160【解析】：B例5:等差数列 an的前m项的和为30,前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A : 130B : 170C:210D : 260【解析

11、】：C变式练习1 :设Sn是等差数列an的前n项和，若鱼=1，贝9 -S二（）S63S231C: 81A :B :D:1039【解析】：A变式练习2:等差数列 an的前n项和为Sn，若 S3 = 9, S6 = 36,则 a7 a8 a9 =()A. 63B. 45C. 36D .27【解析】：B变式练习3:等差数列 a 共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225,则 中间m项的和为（）A: 50 B: 75C: 100 D : 125【解析】：B四、等差数列前n项和的最值1、等差数列前n项和Sn = nd +1）d = d2 +佝一）上式可变成：Sn = An2 +2 2 2B

12、n。当dz 0时，数列S, S ,Sn的图象是抛物线上的一群弧立点。2、等差数列前n项和的最值：（1）利用二次函数图象的性质；（2）当a > 0, dv 0时，由am0,am1 <0,则Sm为最大值；（3）a1v 0, d>0时，由am < 0, am彳> 0,则为最小值。例6:在等差数列 an中，a1 = 25, S17= S9,求Sn的最大值。【解析】：方法一：S17= S9得：25X 17+ 17 (17-1)d = 25X 9+ 9 (9 一 1) d2 2n x(n _1)2得：d=- 2,. Sn= 25n +(2) =- (n 13)2+ 1692当

13、n = 13时，Sn有最大值169。方法二：同法一先求出d= 2,v a1 = 25 > 0魚=25_(n_ 1) >0 由“an卅=25-2n cOn得*n<132当n= 13时，Sn有最大值169。122变式练习1:在等差数列an中，a, > 0, S4= S9,则Sn取最大时，n=【解析】：6或7变式练习2：在等差数列 an中，前n项和为Sn，若a1 = 11, a4 + a6 = 6,则当Sn 取最小值时，n=()。A : 6B: 7 C : 8 D : 9-11 2解析】：JSn=(n_6)2 _360 =2变式练习3:在等差数列an中，前n项和为Sn,若06

14、 > 0, S17 v 0，当Sn取最大值时，n=()。A: 16 B: 8 C: 9D : 10a +%0 2代 >0/口a +a? > 0丿得得故丿a1£。a0貝c0【解析】：a9: 0a80例7：已知数列 an是等差数列，a2= 4,a8 = - 14,则计算丨a1l + la2I +lan 1 l + l an I 的值。1【解析】：t an= 10- 3n> 0, nW 3 -，当 nW 3 时，an> 0,当 n4 时，an< 03l ai l + l a2 l+ + l an-i l + l an la P +a3 + an,(n 兰

15、3)=<f_3n2 +17 n-，(n 兰 3)2 2 3n2 -17n 48I 2,(n-4)©1 +a 2 *a3 a4 a5 _"八an ,( n 王 4)*(心2(a1a2 a?) -佝 a?an),(n _ 4)课后综合练习1、在数列an中，a1 = 2, 2an+1= 2an+ 1（n N +），贝V a101 的值（）A : 49 B: 50 C: 51 D: 52【解析】：D2、在等差数列an中首项为70,公差为一9,则这个数列中绝对值最小的一项为（A : a8B : a9C: a10D: a11【解析】：B3、 在等差数列an中，a2=- 5, a6

16、= a4 + 6，贝V等于（）A : - 9 B : - 8 C:- 7 D :- 4【解析】：B4、 已知数列an为等差数列，且 a1 + a7 + a3=二，贝V tan+玄询的值为（）A:3 B: -3 C: ±3 D:-'3【解析】：B5、 在等差数列an中，首项为 a1 = 0,公差0,若 ak = a+ a2+ a3+ a4+ a5+ as+ a7,贝V k的值是()A : 21 B : 22 C : 23 D : 24【解析】：B6、已知等差数列 an 的公差为1,且a1 + a2 + a3+ a99= 99,则a3+ as+ a9+a96 + a99=()A

17、: 99 B : 66 C : 33 D : 0【解析】：B7、已知数列 an为等差数列且 ai + a5 + a? = 4二，则cos（a2 + a&）的值为 （）B:1 C:-32 2【解析】选D8、在等差数列an中，ai+ a?= 39,a? + a5+a$= 33,则 a3+ a§+a?的值为（）A: 30B: 27 C: 24D: 21【解析】选 b.令 bi = ai + a4 + a7= 39, b2 = a2 + a5 + a8 = 33, b3= a3 + a6 + a9, 因为a n成等差数列，所以b1, b2, b3成等差数列，所以a3 + a6+ a9

18、 =b3= b2 + （b 2 b） = 2b2 b = 27.9、等差数列a： 的前n项和为Sn,若S2= 2,S4= 8,则S6等于。【解析1 : 1410、 在等差数列 an 中，若 S4= 1, S8=4,贝V a17+ a18+ a19+ a2o=。【解析1 ： 911、在等差数列中，a1a2a315,ananja= 78,Sn=155,贝 y n =。【解析1 ：10-2 2 - 2 2sin a4 cos asin a7 cos a4、*t12、 设等差数列 an满足=1,公差d （- 1, 0），当且sin（ a5 +a6）仅当n= 9时，数列 an的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项 a的取值范围 。4兀3兀【解析1 :（一，）3213、等差数列an中，a3 + a4= 4,a§+ a?= 6。（ 1）求 a.的通项公式；（2）设bn= an,求