2008年江苏省高中数学竞赛试卷

1、2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1如果实数m，n，x，y满足，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 （ B ）A B C D2设为指数函数在P（1,1），Q（1,2），M（2,3），四点中，函数与其反函数的图像的公共点只可能是（ D ）AP BQ CM DN120.513在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么的值为 （ A ）A1 B2C3 D44如果的三个内角的余弦值分别是 ( B )的三个内角的正弦值，那么（ ）A与都是锐角三角形B是锐角三角形，是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D与都是钝

2、角三角形5设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，且”的平面， （ ）A不存在 B有且只有一对 C有且只有两对 D有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则_. 7同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是_（结果要求写成既约分数）.8已知点O在内部，.的面积之比为_.9与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为_.10在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 =_. 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试

3、求m，n的值.2009021712A、B为双曲线上的两个动点，满足。 （）求证：为定值； （）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.13如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内. 已知，且， 都是锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）.14能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72.参考答案一、选择题

4、（本题满分30分，每小题6分）1解 由柯西不等式；或三角换元即可得到，当，时，. 选B.2解 取，把坐标代入检验，而，公共点只可能是点N. 选D.3解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，则. 选A.4如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设cos=sin=cos， cos=sin=cos，cos=sin=cos.则 ，即 ，矛盾. 选B.5解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D.二、填空题

5、（本题满分50分，每小题10分）6解 ，的值可取.当x=，则无解； 当x=，则，x=；当x=0，则无解； 当x=1，则，.所以.7解 考虑对立事件，.8解 由图，与的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以（2,0）为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.10解 切割化弦，已知等式即，亦即，即=1，即. 所以，故.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11解 由题 ， 5分 ，即，上单调减， 且. 10分 ，n是方程的两个解，方程即=0， 解方程，得解为1，. ，. 15分12

6、证 （）设点A的坐标为，B的坐标为，则，A在双曲线上，则. 所以. 5分由得，所以，. 同理，所以. 10分（）由三角形面积公式，得，所以 ，即. 即. 于是，. 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. 15分13解 在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则， 5分 并且就是二面角平面角. 10分在中，利用余弦定理，可得等式，所以，=， 15分故得到. 20分14解（）不能. 5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3