应力与应变间的关系

1、二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系GG或G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.第1页/共30页（1）符号规定xyzo上面右侧面前面xxyxzyyxyzzzxzyx y z x y y z z x x y z x y y z z x 1、各向同性材料的广义胡克定律：拉应力为正 压应力为负。三、复杂应力状态下应力与应变的关系第2页/共30页xyxzxxyzo上面右侧面前面yyxyzzzxzy 若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致, 或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正, 反之为负。第3页/共30页 : 以伸长为正,

2、 缩短为负。 : 使直角减小者为正, 增大者为负。xyyzzx xOy yOz zox 。xxyzO上面右侧面前面yyxyzzzxzyxyxz第4页/共30页 在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为:Exx2、各向同性材料的广义胡克定律EyxEzx yyxxxxzzz(1)线应变的推导第5页/共30页在x y z同时存在时, x方向的线应变x为 )(1zyxxE )(1)(1yxzzxzyyEE 在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为第6页/共30页剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为GGGzxzxyzyzxyxy 在线弹性范围内

3、, 小变形条件下, 各向同性材料。(2)剪应变的推导第7页/共30页)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEGGGzxzxyzyzxyxy 在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。第8页/共30页3、 特例 （1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )(1yxxE )(1xyyE )(yxzE Gxyxy 第9页/共30页（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：)(13211 E)(11322 E)(12133 E(7-7-6)第10页/共30页平面应力状态下 设 3 = 0, 则)(1211 E)(1122 E)(213 E第11页/共30页)1(2vEG

4、第12页/共30页例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为10160,102406361 。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变2的数值和方向。132132=0物体表面第13页/共30页解：32321,1 1与与一，一对应。 由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。)(1311 E)(1133 EMPaE3 .44)(13121 MPaE3 .20)(11323 由解得第14页/共30页该点处另一主应变2的数值为103 .34)(6312 E2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的

5、外法线方向。第15页/共30页四、各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用 表示。 第16页/共30页)1 ()1 ()1 (321dzdydxV公式推导 设单元体的三对平面为主平面, 其三个边长为d x, d y, d z 变形后的边长分别为 d x(1+ , d y(1+2 ,d z(1+3 , 因此变形后单元体的体积为:213dxd yd z第17页/共30页321321321 )1 ( )1 ()1 ()1 ( dxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdzdydxVVV第18页/共3

6、0页)(21321E将广义胡克定律)(13211 E)(11322 E)(12133 E代入得321第19页/共30页)(21zyxE 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与剪应力无关。第20页/共30页特例：xy 3102 )(21321E代入得0)0(21xyxyE 可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。第21页/共30页例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入

7、体积较大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。aaaPyxz第22页/共30页231.010300APy解：铜块上截面上的压应力为yyZxzx(b)MPa300)(1zyxxE0)(1yxzzE第23页/共30页解得-15.5MPa)30(0.34-10.34)0.34(1 1)1(22yzx铜块的主应力为MPaMPa , .30515321 第24页/共30页体积应变和最大剪应力分别为43211095.1)(21EMPa25. 7)(213

8、1max第25页/共30页例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max =80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x第26页/共30页450900Dtxymkmaxmaxxyk0MPa80MPa802max3max1zxy可求得:解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示 1 3第27页/共30页k点处的线应变 x , y 为)(1)(1maxmaxEEyxx)(102.54拉应变 xy)(102 . 5E)(14max压应变第28页/共30页圆筒表面上k点