复变函数积分基本定理学习教案

1、会计学1复变函数积分基本定理复变函数积分基本定理第一页，编辑于星期一：十二点 四十八分。定理12-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连DC说明: 该定理的主要部分是Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条闭曲线C, 都有 第1页/共29页第二页，编辑于星期一：十二点 四十八分。解 因为函数例1 计算积分 z 11d .23zz 在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有1z 第2页/共29页第三页，编辑于星期一：十二点 四十八分。解根据Cauchy积分定理得例2 计算积分 2121d .(1)z izz z 因为1z

2、和1zi 都在12zi上解析, 所以第3页/共29页第四页，编辑于星期一：十二点 四十八分。第4页/共29页第五页，编辑于星期一：十二点 四十八分。1 原函数的概念2 Newton-Leibniz公式第5页/共29页第六页，编辑于星期一：十二点 四十八分。原函数之间的关系:定义1 设f (z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得 在D ( )( )F zf z 内成立，则称F(z)是f (z)在区域D上的原函数. 如果f (z)在区域D上存在原函数F(z), 则f (z)是 解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数. 定理1 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域D

3、上的原函数, 则 (常数). ( )( )F zG zC 第6页/共29页第七页，编辑于星期一：十二点 四十八分。那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 根据以上讨论可知:证明 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域 D上的所以, 为常数.原函数, 于是 如果F(z) 是f (z)在区域 D上的一个原函数， ( )F zC (其中C是任意复常数). 第7页/共29页第八页，编辑于星期一：十二点 四十八分。证明 可利用定理2 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, z0是D内的一个点, C是D内以z0为起点, z为终点的 分段光滑(或可Cauchy积分定理证明求长)曲线, 则积分 只依赖于

4、z0与z, 而与路径 C 无关. Cauchy积分定理来证明. 第8页/共29页第九页，编辑于星期一：十二点 四十八分。D 0zz 1C2C设C1与C2都是以D内以z0为起点, z 为终点的分段光滑曲线, 又不妨设C1与C2都是简单曲线. 如果 C1与C2除起点和终点之外, 再没有其他重点,则 是简单闭曲线, 12CC 根据Cauchy定理有 第9页/共29页第十页，编辑于星期一：十二点 四十八分。D 0zz 1C2C 如果C1与C2除起点和终点之外, 还有其他重点, 在D内再做一条以z0为起点, z 为终点, 除起点和终点之外, 与C1与C2没有其他重点的分段光滑曲线,C C 则由已证明的情

5、形, 第10页/共29页第十一页，编辑于星期一：十二点 四十八分。D 0zz 1C2CD 0zz 1C2C如果 f (z)在单连通区域D内解析, 则f (z)在以z0为起点, z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可记为 0( )( )d .zzF zf 于是确定了D内的一个单值函数第11页/共29页第十二页，编辑于星期一：十二点 四十八分。定理3 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, z0和z是D内的点, 则 是 f (z)在D上的一个原函数. D0z 与微积分学中对变上限积分求导定理相同.第12页/共29页第十三页，编辑于星期一：十二点 四十八分。定理4 设f

6、(z)是单连通区域D上的解析函数, F(z)是 f (z)在D上的原函数, z0和z1是D内的两点, 则 证明 因为 也是f (z)在D上的原函数, 0( )dzzf zz 根据其中 C为常数, 易见0().CF z 第13页/共29页第十四页，编辑于星期一：十二点 四十八分。说明: 有了上述定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.第14页/共29页第十五页，编辑于星期一：十二点 四十八分。George Green (1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家. 出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.1928年出版了出版了小册子数学分

7、析在电磁学中的应用, 其中有著名的Green公式.40岁进入剑桥大学学习, 1839年聘为剑桥大学教授. 他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派, 其中包括G. Stokes和C. Maxwell.第15页/共29页第十六页，编辑于星期一：十二点 四十八分。Isaac Newton (1642.12.25-1727.3.20) 伟大的英国物理学家和数学家. 1661年, 进入剑桥大学三一学院学习. 大学毕业后, 在1665和1666年期间, Newton 做了具有划时代意义的三项工作: 微积分、万有引力和光的分析. 1687年发表自然哲学之数学原理.1669年任剑桥大学教授, 1703年当选为皇

8、家学会会长, 1705年被英国女王授予爵士称号. 他还担任过造币厂厂长.第16页/共29页第十七页，编辑于星期一：十二点 四十八分。Nature and Natures laws lay hid in night, God said, “Let Newton be!”and all was light.Newton说: “我不知道世人怎样看我, 我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子, 有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴, 而真理的海洋仍然在我的前面未被发现.”我是站在巨人的肩上. I. Newton英国诗人A. Pope赞美Newton的 :第17页/共29页第十八页，编辑于星期一：

9、十二点 四十八分。Gottfried Wilhelm Leibniz(1646.6.21-1716.11.14)德国数学家. 他还是外交家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家, 他在逻辑学、力学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作.1666年他撰写了一般推理方法的论文论组合的艺术, 获得哲学博士学位, 并被任命为教授. 在第18页/共29页第十九页，编辑于星期一：十二点 四十八分。1672年因外交事务出使法国, 接触到一些数学家,开始深入地研究数学, 特别是1673年开始研究微积分, 从1684年起发表微积分论文. 他是历史上最大的符号学者之一,

10、所创设的微积分符号, 远优于Newton的符号, 很多一直沿用至今. Leibniz多才多艺, 他在1671年左右制造出一种手摇计算机, 甚至研究过中国古代哲学.Newton和Leibniz是微积分的奠基者, 从那时起, 数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.第19页/共29页第二十页，编辑于星期一：十二点 四十八分。DC1C2C3C定理1 设12,nC C CC是多连通区域D内函数, 那么其中C和Ck(1kn)取正向.如果 f (z)是 D上的解析的简单闭曲线, 都在C 的内部,它们12,nC CC边界的闭区域含于D内. 互不包含也互不相交, 并且以12,nC C CC为第20页/共29页第

11、二十一页，编辑于星期一：十二点 四十八分。DCA1A2A3A4C1C2EFGIH证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 (如图).1234,A AA A这样由12344321EA A FA A GA A HA A IE作为边界 ,围成单连通区域.第21页/共29页第二十二页，编辑于星期一：十二点 四十八分。f (z)在 所围的区域内解析, 由第22页/共29页第二十三页，编辑于星期一：十二点 四十八分。当 n 为其它值时，可同样证明. 在公共边界(辅助线)上, 积分两次, 方向相反, 积分值之和等于0. 所以 第23页/共29页第二十四页，编辑于星期一：十二点 四十八分。解 显然函数xyo 1 例

12、1 计算积分其中为包含圆周221d ,zzzz 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.1z 在复平面有两个奇点0和1,并且 包含了这两个奇点.第24页/共29页第二十五页，编辑于星期一：十二点 四十八分。xyo 1 在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0, C2 只包含奇点1.根据 , 第25页/共29页第二十六页，编辑于星期一：十二点 四十八分。xyo121C2C解 显然C1和C2围成一例2 计算积分 d ,zezz 其中 由正向圆周2z 和负向圆周1z 组成.个圆环域. 函数( )zef zz 在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界构成复合闭路, 所以根据 ,第26页/共29页第二十七页，