两数和(差)的平方

1、两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：a+b2=a2+2ab+b2,a-b2=a2-2ab+b2即，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或者减去这两个数的积的2 倍 .这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为 a士 b2=a2±2ab+b2为便于记忆，可形象的表达为： ''首平方、尾平方， 2 倍乘积在中央.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为a+b 2，也可以表示为 S=SI + SU + SHI +SIV,同时 S= a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2从而验证了 完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2.2、完全平方

2、公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上这两项相加时或减去这两项相减时这两项乘积的2 倍 .公式中的字母可以表示具体的数正数或负数 ，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、 在使用完全平方公式时应注意问题： 1 千万不要发生类似 a± b2=a2士 b2的错误；2不要与公式ab2=a2b2混淆；3切勿把 ''乘积 项 2ab中的2漏掉；4计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式 的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形 为公式的结构特点，再利用公式进

3、行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1:改变公式中a,b的符号：例 1、运用完全平方公式计算：2x 5y 2【解题思路】本例改变了公式中a,b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为2x 5y 2 2x 5y 22x 5y 2再用公式计算反思得：a方法二： 把两式分别变形为：2x 5y三：把两式分别变形为2x 5y 22x2x 5y 2= 5y 2x 2 5y 2 2b 2 b a 2; a b 2 a b 2 ；5y2x2后直接用公式计算；方法5y 2后直接用公式计算.2225y2x2x 2 25y220xy4x2 .【方法归纳】对乘

4、法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定两数即a 和 '' b对应练习：a b 2知识点2：改变公式中的项数例2、计算：a b c 2【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例从而化中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,解矛盾.所以在运用公式时，a b c 2 可先变形为或者 a c b 2 ，再进行计算【解】 a b c 2 = a b c 2【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷对应练习： 2a b 4 2知识点3：改变公式的结构例 3、运用公式计算： 1x y 2x 2y ；ab快捷

5、2或 a b c2b a b.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了 .【解】 1 x y 2x 2y =2 x y 2 2x2 4xy 2y2； 2 a b a b = a b 2a2 2ab b2 .【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：a b b a知识点4：利用公式简便运算例 4：计算： 9992【解题思路】本例中的999 接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】99921000 1 2 1000 2 200

6、0 12 1000000 2000 1 998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数式的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例 5、计算：x 5 2 2 x 5 x 3 x 3 2【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式a b 2 a2 2ab b 2的右边，不妨把公式倒过来用 .【解】 x 5 2 2 x 5 x 3 x 3 2 = x 5 x 3 2 4 .【方法归纳】解题中，?假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从

7、不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解222 2a 7 a 3 a 3a b 2 10, ab 1 .求以下各式的值： 1对应练习：化简2a 7知识点 6：公式的变形例6、实数a、 b 满足a2 b2； 2 a b 2【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a、 b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】 1 a2 b2= a b 2 2ab 8 ； 2 a b 2 a b 2 4ab=6.【方法归纳】a b 2 a b 2 4ab ；22222222a b a b 4ab, a b a b

8、 2ab,a b a b 2ab熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：x+y=1, x2 + y2 = 5,求xy的值.知识点7:乘法公式的综合应用例7、计算：x y z x y z【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外 的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成 平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算.【解】【方法归纳】灵活运用公式主要是指既要熟练地正用公式，又要掌握 公式的逆用，还要根据题目特点善于对公式进行变式使用.在解题中充分表达应用公式的思维灵活性，综合并灵活地解决有关的不同类型的问题.对应练习：2x y 3z

9、2x y 3z易错警示例 8、 (x+1)2.错解：(x+1)2=x2+1.错解分析：错解中漏掉了加上它们积的2倍，(x+1)2?x2+1,不能与积 的哥 (ab)n =anbn混淆.正解：(x+1)2=x2+2x+1例 9、(x2-y2)(x2-y2).错解:(x2-y2)(x2-y2)=x4-y4错解分析：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2 ,错解中错误地运用平方差公式来 计算了，(x2-y2)(x2-y2) # (x2-y2)(x2+y2) =x4-y4.正解：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.例 10、(3x+2y)2.错解：(3x+2

10、y)2=9x2+6xy+4y2错解分析：(3x+2y)2展开式中 ''它们积的2倍是2 3x 2y=12xy, 因为第二数2y有一个''2，所以很容易忘掉'' 2倍.正解：(3x+2y)2=(3x)2+2 3x 2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2.2例 11、:x y -错解： -x y- x2 - xy y2442错解分析：1x y展开式中 卜1x2,因此原来的系数1是完全平方44164数，因此，也很容易忘了把它再平方. 2正解： -x y X2 1 xy y2 4162课堂练习评测知识点1：完全平方公式1、在a2口4a口4的空格口中，

11、任意填上'' +或在所得到的这些代数式中，能构成完全平方式的有种A、1 B、2C、3 D、42、图是一个边长为(m n)的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成 图的形状，由图和图能验证的式子是222-22.一A、(m n) (m n) 4mnB、(m n) (m n ) 2mnC、 (m n)2 2mn m2 n2D、 (m n)(m n) m2 n2223、假设x 19,那么x 1的值为. x _ 1x4、(a-b)2=4,ab=,那 A (a+b)2。25、假设将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，那么称这个代 数式为完全对称式，如a b c就是完全对称式.以下三个代数式：

12、(a b)2; ab bc ca ;a2b b2c c2a ,其中是完全对称式的是.6、先化简，再求值：a 3b a 3b 3b a 2 2a ,其中 a=3,b=10知识点2:开放型试题7、x是有理数，y是无理数，请先化简下面的式子，再在相应的圆圈 内选择你喜欢的数代入求值：(x y)2 y(2x y).课后作业练习基础训练：【一】选择题1 .以下运算中，正确的选项是A、3a+2b=5abB、a 12=a2 2a+1C、a6+ a3=a2D、a45=a92 .以下运算中，利用完全平方公式计算正确的选项是A、 x+y 2=x2+y2B、x y2=x2 y2C、一x+y2=x2 2xy+y2D、

13、一 x y2=x22xy+y23 .以下各式计算结果为2xy x2 y2的是A、xy2B、一x y2C、一 x+y2 D、一x一y24 .假设等式x 42=x2 8x+m2成立，那么m的值是A、16B、4C、-4D、4 或一4【二】填空题5 .一 x2y2=.6 .假设3x+4y2=3x4y2+B,那么 B=.7 .假设 a b=3, ab=2,那么 a2+b2=.8 . 1y2=9x2 xy+ ;2=a26ab+.34 16提高训练9、假设x+12=9,那么x12的值为.10、化简：aa2ba b2.11、巧题妙解题x+y=1 ,求'x2+xy+1y2的值.2212、a+l=5,分别

14、求a2+4，a12的值. aaa13、为了扩大绿化面积，假设将一个正方形花坛的边长增加3米，？那么它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长.14、利用完全平方公式计算：120192;2782.15、先化简，再求值：2x1x+2x 22-x+22,其中3216、小明在计算 警008时，找不到计算器，去向小华20092007200920092借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案.你知道他是怎么做的吗？12.3.2对应练习答案:1 .解：a b 2 = a b2 a 2 2 a b b2 a2 2ab b2.2 .解 原式=2a b+42=2a b2 + 82a b+16

15、 = 4a2 4 ab+ b2+16a 8b+16.3 .解：a b b a = a b 2 a2 2ab b24 .答案：100.12=10020.01.5 .答案：a2 8a 16/、2/22 、/ 、26 .解： 由 xy = (y(-xy- , 得 xy=()= 2.227.解：2x y 3z 2x y 3z 2x y 3z 2x y 3z4x2 y 3z 2课堂练习评测参考答案1、答案：B2、答案：B3、答案：54、答案：65、答案：6、解：当 a=-3,b=10 时，原式=-3 3X 10= 337、解：(x y)2 y(2x y)=x2,答案不惟一，比如选x 1,那么代数式的 值

16、为1.课后作业练习参考答案：1. B2. C 点拨：x+y2=x2+2xy+y2 ,所以 A 不正确；x y2=x2 2xy +y2,所以 B 不正确；一x+y2=一 x2+2 一 x y+y2=2xy+y2 ,所 以C正确；x y2=x+y2=x2+2xy+y2 ,所以D也不正确，应选 C、3. D4. D 点拨：因为x 42=2 8x+16,所以假设x 42=x2-8x +m2成立，那么m2=16,从而得m=±4,应选D、【二】5. x2+4xy+4y2 点拨：一x 2y2=-x+2y 2=x+2y2=x2 +4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B=3x+4y2-3x 4y2=

17、9x2+24xy+16y2 9x 2 24xy+16y2？=?9x2+?24xy+16y2 92+24xy 16y2=48xy.7. 13 点拨：因为 a b=3, ab=2,所以 a2+b2=a b2+2ab=32+2 X2=9+4=13.8. 3x； ly2； 3a 4b; 16b22949、510、解：aa 2b一a b2=a2 2aba22ab+b2=a2 2ab -a2+2ab- b2=-b2.11、解：因为 x+y=1,所以x+y2=1,即 x2+2xy+y2=1 .所以 gx2+ xy+ - y2= -x2+2xy+y2=X1 = 1.2222点拨：通过平方将条件转化为完全平方公

18、式，从而巧妙求值.11,1112、解：因为 a+-=5,所以 a2+=a+'2- 2a- - =52- 2=23,1、一一 a 一 1 -aaa所以a 2=a2+2 2 , a , =23 - 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a2+b2=a+b2 2ab, a2+b 2=ab2+2ab,a+b2=ab2+4ab,a b2=a+b2 4ab等 等.13、解：设这个正方形花坛的边长为 x米，依题意列方程得，x+32 x2=39, ?即 x2+6x+9 x2=39, 6x=30, x=5.答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可.14、解：120192=2019+82=20192+2X 2019X 8+82=4000000+32 019+64=4032064;2782=80 22=802-2X80X