初三反比例函数-学案(共12页)

1、 第一课时 反比例函数 姓名一、学习目标 加深理解函数关系中两个变量之间的相依关系理解反比例函数的概念，会判断一个函数是否为反比例函数，会确定反比例函数的关系式了解反比例函数的三种形式。二、学习过程 【预习导学】 请看下面的问题： 电流I，电阻R，电压U之间满足关系式UIR，当U220 V时 (1)你能用含有R的代数式表示I吗? (2)利用写出的关系式完成下表：R/20406080100I/A当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢? (3)变量I是R的函数吗?为什么? 【自主探究问题】京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶

2、的平均速度v(kmh)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?【归纳小结】反比例函数的定义： ，那么称y是x的反比例函数还可以记为： 或注意：反比例函数的自变量x不能为 ，所以函数值y也不能为 .【巩固练习】 1. 下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比例函数？相应的k值是多少？ 2. （1）菱形的面积一定时，菱形的两条对角线m和n属于反比例函数吗？为什么？（2）计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y是每日铺轨量x（km/d）的反比例函数吗？为什么？3. ，且y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-1-13y2-1(1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据函数表达

3、式完成上表4.反比例函数的图象经过点（-2，3），那么的值是（ ）A B C D6【拓展知识】1.若 y是x的反比例函数，且x=2时，y=3.（1）求y与x的函数关系式. （2）y=2时，求.x的值.2.已知y+2与x-3成反比例，当x=1时，y=2；求当x=2时，y=？【课堂小结】 什么是反比例函数？你认为如何确定反比例函数表达式？【课堂练习】1下列关系式中的y是x的反比例函数的是（ ）A B C D2下列各点中，在函数的图像上的是（ ）A（2，1） B（-2，1） C（2，-2） D（1，2）3k为 时，是反比例函数4.已知y与x成反比例，并且当x=2时，y=3求y与x的函数关系式【课后反

4、思】 课后作业1下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比例函数？相应的k值是多少？ 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A. B. C. D. 3.如果反比例函数的图象过点（2，-3），那么= .4.如果，当x =2时，y = ; 当y =1时，x = .你还能举出x,y的一对对应值吗？当x = 时，y = .5.如果，当x =3时，y =,那么k的值为 .6.一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系式7.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式。8.菱形的面积一定时，菱形的两

5、条对角线m和n属于反比例函数吗？为什么？9.一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?10. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-1-13y2-1(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表 第二课时 反比例函数的图像与性质（1） 姓名一、学习目标【学习目标】1 会利用列表、描点、连线的方法画反比例函数的图象，提高从图象中获取知识的能力2 探索并掌握反比例函数的基本性质二、学习过程 【知识回顾】 1. 反比例函数的定义：一般的，两个变量，之间的关系可以表示成 的形式，那么称是的反

6、比例函数。反比例函数的自变量2.下列函数中，y是x的反比例函数的有 （1） （2） （3） （4） （5）3.反比例函数，当x=2时，y= ；当x= 时，y=1.4.画出函数的图像.【学习探究】 活动一.在左侧坐标系中作出反比例函数的图象作图前的思考：自变量x可取那些值？在列表取点时，应该怎样选取x的值？列表：x-8-4-3-2-112348描点：连线：用光滑的曲线顺次连接各点活动二：在右侧坐标系内，作出反比例函数的图象。x-8-4-3-2-112348【讨论交流】观察函数与的图象 图象有几支曲线？与坐标轴是否相交？ 两个函数图像有什么区别？ 反比例函数是中心对称图形吗？若果是，找出对称中心。

7、是轴对称图形吗？若果是，找出对称轴。【总结归纳】反比例函数 y = (k为常数，k0)的性质：1、反比例函数的图象y = 是由 支曲线组成的。(1)当 k>0 时，两支曲线分别位于第_ _象限；(2)当 k<0 时，两支曲线分别位于第_ 象限。2、反比例函数是中心对称图形，也是轴对称图形。双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交。【例题解析】例1 已知反比例函数的图象的一 支如图所示 (1)判断k是正数还是负数; (2)求这个反比例函数的解析式; (3) 点（2，-4）在不在反比例函数图像上？ 点（1，8）呢？ (4) 点（3，a）在函数图像上，求a的值. 【巩固

8、练习】1函数y=的图象是_，图象在第_ _象限2函数y=的图象经过点A（4，3），则k=_3. 反比例函数y= 的图象大致是（ ）4、已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则的范围是_5、关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）A必经过点（1，1）B两个分支分布在第二、四象限C两个分支关于x轴成轴对称D两个分支关于原点成中心对称6、若点（3，6）在反比例函数y = (k0)的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ）A（3，6） B（2，9） C（2，9） D（3，6）7、如图，函数的图象与函数（）的图象交于A、B（，1）两点。求函数的表达式 求A点坐标【拓展提高】如图，菱形OABC的顶点

9、B在y轴上，顶点C的坐标为（3，2），若反比例函数（x0）的图象经过点A，则k的值为【 】A6 B3 C3 D6课外作业：1反比例函数 的图象经过点（2，1），则的值是 2已知反比例函数，其图象位于第一、三象限.， 求k的取值范围xy111ABO11l3. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点坐标为，那么B点的坐标为 .第5题图4. 已知反比例函数的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于（ ） A第二、三象限 B第一、三象限 C第三、四象限 D第二、四象限5.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A 一、二、三象限 B二、三、四象限 C

10、一、二、四象限 D一、三、四象限6.若点A（2，3）、B（m，6）都在反比例函数y=（k0）的图象上，则m的值是 7若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）（1）求点A的坐标；（2）求一次函数的解析式；8.如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k0，x0）过点D（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求CDE的面积第三课时 反比例函数的图像与性质（2） 姓名【学习目标】1.探索并掌握反比例函数图象的性质. 2.了解反比例函数的几何意义.【知识准备】反比例函数（k0）的图象是 ，有 个分支，当k 0时，

11、两支曲线分别位于第 象限内; 当k 0时，两支曲线分别位于第 象限内.函数中，k = ，其图象位于第 象限内，函数呢？【学习探究】 活动一：1.分别作出函数，的图象.。观察比较三个函数的图象，进行思考：分别位于哪几个象限？在每个象限内，随着x的值的增大，y的值怎样变化？2函数 ， ，的图象，它们有哪些共同特征？尝试总结反比例函数（k0）的图象的性质：当k0时， ;当k0时， ;对称性： .巩固练习：1.在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的取值范围是_ 2. 一个函数具有下列性质：它的图像经过点（-1，1）；它的图像在二、四象限内； 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大则

12、这个函数的解析式可以为 3. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A图象必经过点 B随的增大而减少 C图象在第一、三象限内 。 D若，则xyOAB4. 如图，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）A逐渐增大 B不变 C逐渐减小 D先增大后减小活动二：1.如图1，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别向x轴、y轴作垂线，阴影部分面积为S：（1） 若A的坐标是（1,-3），则AC= ，AB= ，k= ，S= （2）若A的坐标是（0.5,-6），则AC= ，AB= ，k= 。S= （3）若A的坐标是（m，n），则AC

13、= ，AB= ，k= 。S= 结论：过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线PA、 PB,垂足为A、B，所得矩形PAOB的面积1. 如图所示，过双曲线上任一点作x轴或y轴的垂线PA,垂足为A，所得的面积S=_反比例函数系数k的几何意义，也称为反比例函数的面积不变性。注：1）面积与P的位置无关2）k符号是由双曲线所在象限确定。例题：1.如图，以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是 . 2. 如图，等边三角形AOB的顶点A在X轴上，顶点B在反比例函数（x0）的图象上，三角形AOB的面积是8，求K的值。 课堂练习：1.如图，已知

14、点C为反比例函数上的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A、B，那么四边形AOBC的面积为 2(k0)的部分图象如图所示，A、B是图象上两点，AC轴于点C，BD轴于点D，若AOC的面积为S，BOD的面积为S，则S和S 的大小关系为（ ）A S S B S= S C S S D 无法确定3如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AMx轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是（ ） A2 B、m-2 C、m D、4课后作业：1. 对于反比例函数()，下列说法不正确的是( )A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形 D. 随的增大而增

15、大2. 已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（）A B C Dyx图33如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 xyABO4. 若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=3x图象上的点，且x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A、y3y1y2B、y1y2y3 C、y2y1y3D、y3y2y15.反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为（） 6. 如图，直线与反比例函数的图象在第一象限的交点为，垂直轴，垂足为，已知.求点的坐标和这个反比例函数的解析式 7.如图，已

16、知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C若OBC的面积为3，求k的值。 第四课时：反比例函数的应用 姓名一、学习目标1能通过建立反比例函数模型解决一些实际问题，体会图象在解决问题中的作用2能综合运用一次函数与反比例函数解决相关问题二、学习过程 【预习导学】 1.反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在 ，在每一象限内，y的值随x的增大而 当k<0时，两支曲线分别在 ，在每一象限内，y的值随x的增大而 2. 反比例函数的图象在第_象限【学习探究】 【自主探究问题一】某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着

17、前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境你能解释他们这样做的道理吗？ 人和木板对湿地地面的压力为600N.(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为02 时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流【自主探究问题二】蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R()之间 的函数关系如图所示(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电

18、源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？345678910例题：如图，正比例函数yk1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，,)(1)分别求出这两个函数的表达式：(2)你能求出点B的坐标吗? 写出使正比例函数值大于反比例函数的x的取值范围.【巩固练习】1已知一次函数的图象与双曲线交于点（，），且过点（0 ，1）求该一次函数的解析式2已知一次函数的图象经过反比例函数的图象上的A和B两点，A点的纵坐标为，B点的横坐标为2，则一次函数的解析式为 【拓展知识】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体

19、积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示。（1）写出这一函数表达式。（2）当气体体积为1 m3，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为安全起见，气体的体积应不小于多少？【课堂小结】 三、课后作业【基础训练】1反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）A B C 或 D 22如图1，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，则ABC 的面积S =_3如图2所示，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，ACx轴，BCy轴，ABC的面积为S，则 （ ）A S=1B S=2 C 1S2 D S24面积一定的梯形

20、，其上底长是下底长的，设下底长时，高；(1)求y与x的函数关系式；(2)求当y=5 时，下底长多少？5.某蓄水池的排水管每时排水8m3 ，6h可将满池水全部排空。(1)蓄水池的容积是多少？(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q()，那么将满池水排空所需时间t(h)将如何变化？(3)写出t与Q之间的关系；(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时12，那么最少多长时间可将满池水全部排空？【能力提高】1已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是（1,3）.（1）写出这两个函数的表达式，并确定这两个函数图象的另一个交点

21、的坐标.；（2）画出草图，并据此写出使反比例函数值大于正比例函数的x的取值范围.2如图,已知一次函数y = kx+b(k0)的图象与x轴,y轴分别交于A、B两点, 且与反比例函数y= (m0)的图象的第一象限交于点C, CD垂直于x轴,垂足为D,若OA = OB = OD = 1,求:求点A、B、D的坐标求一次函数和反比例函数的解析式3.第五课时： 反比例函数复习(1) 姓名【常考知识点】一.反比例函数定义一般地，如果两个变量x和y之间的关系可以表示成 的形式,那么称y是x的反比例函数. 反比例函数的自变量x不能为零.跟踪练习：1.下列函数：；中，y是x的反比例函数的有 （填序号）2.下列各点

22、中在反比例函数的图像上的是（ ）A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）3.已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的解析式是（）Ay= By= Cy=Dy=二.反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象是双曲线,双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形. 当k0时，图象的两个分支分别在第_象限内； 当k0时，图象的两个分支分别在第_象限内，(2)反比例函数的性质当k0时,在每一象限内，y随x的增大而_ ；当k0时，在每一象限内，y随x的增大而_ 。跟踪练习：1.对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A图像过点（1，2） B图像在二、四象限C当x>0时，y随x的增大而增大D图像

23、关于原点成中心对称2.已知反比例函数的图象上有两点A(1，m)、B(2，n)，则m与n的大小关系为（ ） AmnBmnCmnD不能确定三. 反比例函数y (k0) 中系数k的几何意义设点A(x,y)是反比例函数y (k0)的图像上的任意一点，过点A作ABx轴，垂足为B, 作ACy轴，垂足为C，那么S矩形ABOC SABOSACO跟踪练习：1.如图，A、B是函数y的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积为S，则 （ ） A. S=2 B. S=4 C. 2<S<4 D. S>42.如图，已知点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，ABx轴，分

24、别过点A、B作x轴作垂线，垂足分别为C、D，若，则k的值为（ ）A10 B12 C14 D163.下列图形中，阴影部分面积最大的是（）ABCD四. 反比例函数的应用跟踪练习：(1) （2012福建漳州）在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（ ）A B C D 2.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（min）成反比例关系直至水温降至30，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时，接通电源后，水温y（）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一

25、节下课时（8：45）能喝到不超过50的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A7：20B7：30C7：45D7：50五.反比例函数与一次函数的结合如图 ，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数， ）的图象相交于点 A（1，3） yxB123312A（1，3）（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标； （2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围跟踪练习：1.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于A（1，2）、B（1，2）两点，若，则x的取值范围是（ ） A或 B或 C或 D或2.如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，过点作ACx轴

26、于点C，过点B作BDx轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A点A和点B关于原点对称 B当x1时，y1y2 CSAOC=SBOD D当x0时，y1、y2都随x的增大而增大3.如图，直线y=x+a2与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（ ） A0B1C2D54.如图，直线y=与双曲线y=（k0，x0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k0，x0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）A3B6CD5、如图，直线y=x2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA若SAOB：SBOC

27、=1：2，求k的值ACOBx课外作业：1. 图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、如果四边形是正方形，求一次函数的关系式2.如图，直线与反比例函数（0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC的面积. xyABODC3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的值第六课时：反比例函数复习(2) 姓名基础知识点：1.定义.反比例函数定义：形如 的函数

28、称为反比例函数。即y时x的反比例函数。.反比例函数的三种形式： 2.反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象是双曲线,双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形.当k0时，图象的两个分支分别在第_象限内； 当k0时，图象的两个分支分别在第_象限内，(2)反比例函数的性质当k0时,在每一象限内，y随x的增大而_；当k0时，在每一象限内，y随x的增大而_。3. 反比例函数y (k0) 中系数k的几何意义设点A(x,y)是反比例函数y (k0)的图像上的任意一点，过点A作ABx轴，垂足为B, 作ACy轴，垂足为C，那么矩形ABOC的面积为 若连接OA,则SABO ，SACO 【巩固练习】1. 已知反

29、比例函数的图像经过P（1,2）,则这个函数的图像位于（ ）A.第二,三象限 B.第一,三象限 C.第三,四象限 D.第二,四象限2.若反比例函数的图象过点（2,1）,则这个函数的图象一定过点（ ）A. （2,1） B. （1,2） C. （2,1） D. （2,1）3.在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）（A）k1 （B）k0 （C）k1 （D）k14.如图，已知直线ymx与双曲线y的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )A(3,4)B(4,3) C(3,4) D(4,3)5如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y的图象经过点A，则k的值是 () A2 B2 C4 D46 如图双曲线y(k0)上有一点A，过点A作ABx轴于点B，AOB的面积为2，则该双曲线的函数解析式为_ 7已知长方形的面积为20 cm2，设该长方形的一边长为y cm，另一边