机械优化设计PPT

1、机械优化设计 主编 孙靖民第六章第六章第一节概述第二节随机方向法第三节复 合 形 法第四节可行方向法第一节概述求解式(6-1)的方法称为约束优化方法。根据求解方式的不同，可分为直接解法，间接解法等。第一节概述图6-1直接解法的搜索路线 1) 由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得一个比初始点好的设计点。 2) 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部最优解。为此，常在可行域内选择几个差别较大的初始点分别进行计算，以便从求得的多个局部最优解中选择更好的最优解。 3) 要求可行

2、域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。图6-2间接解法框图间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法。其特点是： 1) 由于无约束优化方法的研究日趋成熟，已经研究出不少有效的无约束最优化方法和程序，使得间接解法有了可靠的基础。目前，这类算法的计算效率和数值计算的稳定性也都有较大的提高。 2) 可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。 3) 间接解法存在的主要问题是，选取加权因子较为困难。加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。第一节概述第二节随机方向法一、随机数的产生二、初始点的选择三、可行搜索方向的产生五、随机

3、方向法的计算步骤第二节随机方向法 随机方向法是一种原理简单的直接解法。它的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向，记作d。从初始点x0出发，沿d方向以一定的步长进行搜索，得到新点x，新点x应满足约束条件：gj(x)0(j=1，2，m)，且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代。然后，将起始点移至x，即令x0 x。重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的

4、方向，加之步长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。若能取得一个较好的初始点，迭代次数可以大大减少。它是求解小型的机械优化设计问题的一种十分有效的算法。第二节随机方向法图6-4随机方向法的算法原理一、随机数的产生二、初始点的选择三、可行搜索方向的产生四、搜索步长的确定五、随机方向法的计算步骤6) 若收敛条件图6-5第三节复 合 形 法一、初始复合形的形成二、复合形法的搜索方法三、复合形法的计算步骤第三节复 合 形 法一、初始复合形的形成1) 由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。2) 由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用随机法产生。3) 由计算机自动生成初始复合形的全部顶

5、点。二、复合形法的搜索方法1.反射2.扩张3.收缩4.压缩1.反射1)计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点L、最坏点H及次坏点G2)计算除去最坏点H外的(k-1)个顶点的中心C3) 从统计的观点来看，一般情况下，最坏点H和中心点C的连线方向为目标函数下降的方向4) 判别反射点R的位置2.扩张3.收缩4.压缩三、复合形法的计算步骤1) 选择复合形的顶点数k，一般取n+1k2n，在可行域内构成具有k个顶点的初始复合形。2) 计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点L、最坏点H及次坏点G。3) 计算除去最坏点H以外的(k-1)个顶点的中心C。4) 按式(6-17)计算反

6、射点R，必要时，改变反射系数的值，直至反射成功，即满足式(6-18)。5) 若收敛条件图6-13复合形法框图第四节可行方向法一、可行方向法的搜索策略二、产生可行方向的条件三、可行方向的产生方法一、可行方向法的搜索策略图6-15新点在可行域内的情况图一、可行方向法的搜索策略6-16新点在可行域外的情况一、可行方向法的搜索策略图6-17沿线性约束面的搜索图一、可行方向法的搜索策略6-18沿非线性约束面的搜索二、产生可行方向的条件1.可行条件2.下降条件1.可行条件图6-19方向的可行条件a) 一个起作用的约束b) 两个起作用的约束2.下降条件图6-20方向的下降条件 图6-21可行下降方向区三、可

7、行方向的产生方法1.优选方向法2.梯度投影法1.优选方向法2.梯度投影法约束面上的梯度投影方向四、步长的确定1.取最优步长2. k取到约束边界的最大步长1.取最优步长2. k取到约束边界的最大步长1) 取一试验步长t，计算试验点xt。2) 判别试验点xt的位置。3) 将位于非可行域的试验点xt，调整到约束面上。图6-26用试探法调整试验步长的框图2. k取到约束边界的最大步长五、 收敛条件2) 设计点xk满足库恩-塔克条件六、 可行方向法的计算步骤1) 在可行域内选择一个初始点x0，给出约束允差及收敛精度值。2) 令迭代次数k=0，第一次迭代的搜索方向取d0= f(x0)。3) 估算试验步长t

8、，按式(6-38)计算试验点xt。4) 若试验点xt满足 gj(xt)0，xt点必位于第j个约束面上，则转步骤6)；若试验点xt位于可行域内，则加大试验步长t，重新计算新的试验点，直至xt越出可出域，再转步骤5)；若试验点位于非可行域，则直接转步骤5)。5) 按式(6-40)确定约束违反量最大的约束函数gk(xt)。6) 在新的设计点xk处产生新的可行方向dk。7) 在xk点满足收敛条件，则计算终止。图6-28可行方向法框图第五节惩罚函数法一、 内点惩罚函数法二、外点惩罚函数法三、 混合惩罚函数法一、 内点惩罚函数法图6-32内点惩罚函数的极小点向最优点逼近a)r=4，(r)=b)r=1.2，

9、(r)=c)r=0.36，(r)=1. 初始点x0的选取使用内点法时，初始点x0应选择一个离约束边界较远的可行点。若x0太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难。程序设计时，一般都考虑使程序具有人工输入和计算机自动生成可行初始点的两种功能，由使用者选用。计算机自动生成可行初始点的常用方法是利用随机数生成设计点，该方法已在本章介绍过。2. 惩罚因子初值r0的选取1) 取r0=1，根据试算的结果，再决定增加或减小r0的值。2) 按经验公式3. 惩罚因子的缩减系数c的选取4. 收敛条件1) 选取可行的初始点x0，惩罚因子的初值r0，缩减系数c以

10、及收敛精度1、2。2) 构造惩罚函数?(x， r)，选择适当的无约束优化方法，求函数?(x， r)的无约束极值，得x (rk)点。3) 用式(6-53)及式(6-54)判别迭代是否收敛，若满足收敛条件，迭代终止。4. 收敛条件图6-33内点法程序框图二、外点惩罚函数法图6-34外点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近三、 混合惩罚函数法一、 拉格朗日乘子法二、 等式约束的增广乘子法一、 拉格朗日乘子法二、 等式约束的增广乘子法1. 基本原理2.参数选择3.计算步骤1. 基本原理2.参数选择1) 在没有其他信息的情况下，初始乘子向量取零向量，即0=0，显然，这时增广乘子函数和外点惩罚函数的形式相同。

11、2) 惩罚因子的初值r0可按外点法选取。3) 设计变量的初值x0也按外点法选取，以后的迭代初始点都取上次迭代的无约束极值点，以提高计算效率。2.参数选择表6-3乘子类方法的乘子迭代公式3.计算步骤三、 不等式约束的增广乘子法三、 不等式约束的增广乘子法三、 不等式约束的增广乘子法图6-36增广乘子法框图第七节非线性规划问题的线性化解法线性逼近法一、 序列线性规划法二、割平面法三、小步梯度法四、非线性规划法一、 序列线性规划法6-37二、割平面法三、小步梯度法四、非线性规划法第八节广义简约梯度法一、 简约梯度法一、 简约梯度法二、 广义简约梯度法二、 广义简约梯度法三、 不等式约束函数的处理和换

12、基问题1.不等式约束函数的处理方法2.基变量的选择和换基问题1.不等式约束函数的处理方法2.基变量的选择和换基问题第九节二次规划法第十节结构优化方法简述一、准则方程二、迭代乘子C三、优化准则法和数学规划法的相似性质四、形状优化和拓扑及布局优化五、小结一、准则方程为了求准则方程式一、准则方程二、迭代乘子C三、优化准则法和数学规划法的相似性质四、形状优化和拓扑及布局优化1.形状优化设计示例2.布局优化设计示例1.形状优化设计示例(1) 悬臂梁的形状优化悬臂梁的形状优化是一个典型的设计变量在一维空间中分布的形状优化设计问题。(2) 汽轮机叶片的单背弧叶形优化设计为提高自振频率减小动应力，取叶片自振频

13、率为优化目标，取背弧中间两控制点权因子作为设计变量，取叶片最大静应力，出口气流角和叶栅损失作为约束。图6-38悬臂梁的最优截面形状a)x=0mmb)x=50mmc)x=100mmd)x=150mm图6-39最优形状悬臂梁的有限元网格状态2.布局优化设计示例图6-40优化目标函数值随迭代次数变化曲线2.布局优化设计示例图6-41优化结果与30HQ-1标准型线2.布局优化设计示例图6-42固支板的初始均匀布肋2.布局优化设计示例图6-43固支板的最优布肋五、小结1) xk+1=xk+kdk(搜索格式)2) xk+1=xk+xk(替换格式)3) xk+1=ckxk(收敛格式)1) 直接方法以约束条件

14、为界面，形成一个解的可行域，在可行域范围内直接采用无约束优化方法求解。2) 线性逼近法把非线性函数在现行点线性化，采用较成熟的线性规划方法，如修正单纯形法求解。3) 简接方法先把约束问题转化为无约束问题，再采用无约束优化方法求解。五、小结 降维方法利用m个约束条件提供的方程组消去n个变量中的m个，从而把n维优化问题转化为(n-m)个约束变量的降维无约束优化问题。然后对此(n-m)维的无约束优化问题求解。简约梯度法就是用梯度法求解线性等式约束优化问题的一种方法；而广义简约梯度法(GRG)是用梯度法求解非线性等式约束和侧面约束的非线性规划问题的一种方法。它们可以称为“约束变量的无约束优化方法”。五

15、、小结 升维方法对约束函数进行加权处理，使约束优化问题转化为增广的无约束优化问题。由于引入了未知的加权因子，所以这个新生成的增广无约束优化问题的变量数目增加了。因此，我们称它们为“升维方法”。这类方法的基础是古典的拉格朗日乘子法(约束函数是等式时的极值条件)和K-T条件(约束函数是不等式的极值条件)。属于这类方法的有：SUMT法，乘子类方法，二次规划迭代法以及优化准则法等。五、小结表6-4数学模型与数学规划法类别对应表第十一节遗传算法简述 近年来，发展了一种模拟生物进化的优化方法，称为“遗传算法(Genetic Algorithm,GA)”。它是在1975年由美国教授J.Holland提出的一种人工智能方法。它是在计算机上按生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。 我们在介绍随机方法时，提到了可以通过计算机产生一个随机数列作为一个可行的初始方向(一个向量)。然后按一定条件在搜索空间内对函数进行寻优。类似地，按照遗传算法的思路，它是把函数的搜索空间看成是一个映射的遗传空间，而把在此空间进行寻优搜索的可行解看成是一个向量染色体(个体)组成的集合(群体)。染色体(chromosome)是由基因(gene)(或称元素)组成的向量。 运算过程就