山东省潍坊市高二上学期期末数学试题

1、山东省潍坊市高二上学期期末数学试题第5页共21页、单选题1 .若a b 0 ,则下列不等式中正确的是（）u11b /A. ac bcB. 一 c 一 1a ba【答案】DD. a3 b3【解析】利用不等式的基本性质即可得出【详解】解：A.当c = 0时，ac bc,故错误；.-111B. a b 0 ,不等式两边同时除以 ab ,得 ，故错误； b ab ,C. a b 0 ,不等式两边同时除以 a ,得b 1 ,故错误； aD. a b 0,不等式两边同时取 3次哥，得a3 b3,故正确, 故选：D.熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键人、小X22.已知双曲线 92y41,则其渐近线方程是（

2、“2A. y x3b. yC. y工3D5D. y x2【答案】A【解析】根据双曲线渐近线的公式求解【详解】 解：由已知a 3,b 2,23X，22双曲线二 L 1 ,则其渐近线方程是y94故选：A.【点睛】 本题考查双曲线的渐近线的求解，是基础题，一 、，, uuu uuu r uuur3 .如图，仝间四边形 OABC中，oaa，OB b，OC点N在线段BC上，且CN 2NB ,则uuuuMNrc r c 2-3 1-3 r b r b 1 - 2 2 - 3 ra ra 1-31-2 cdD.rc rc 1-3 1-3 r b r b 2-3 1-2 ra ra 12 2 - 3 A cD

3、案【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果【详解】解：由已知uuuu uuir uuuin MN ON OMuuurOCuuur i uuuCN -OA2uuur 2 uuu i uuu OC CB OA 32uuur 2 uuu uuur1 uurOC (OB OC)OA321 r 2 ,r 1 ra b 一 c ,2331 uur 2 uuur 1 uuur-OA -OB -OC 233故选：D.本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识4 .我国古代数学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每 人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有 99

4、6斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A. 75 斤B. 70 斤C. 65 斤D. 60 斤【答案】C【解析】设第一个孩子分配到 a1斤棉花，利用等差数列前 n项和公式得:一-8 7S8 8a1 17 996,解方程从而得到a1.2【详解】 解：设第一个孩子分配到 a1斤棉花,解得a1 = 65, 故选：C.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题,解题时要认真审题， 注意等差数列的公式的合理运用5.已知在一个二面角的棱上有两个点A、B ,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于

5、棱AB , AB 5, AC 3, BD4，CD5&，则这个二面角的度数为（）A. 30B. 45C. 90D. 150【解析】设这个二面角的度数为,由题意得CDuur uur uurCA AB BD，从而得到cos由此能求出结果解：设这个二面角的度数为uur uuu uur uur 由题息得CD CA AB BD，uuur2uiu2uur2uur 2 uiuuurCDCAABBD2 |CA | BD |cos( )，(5、,2)2 9 25 16 2 3 4 cos解得Cos 0 ,90 ,，这个二面角的度数为 90 ,故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角

6、，属于中档题6.为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品,加药后池塘水中该药品的浓度 C （单位：mg/L）随时间t （单位：h）的变化关系为24t, 一 ，、一，一，C 匚，则一段时间后池塘水中 t2 9药品的最大浓度为（A. 4mg / LB. 6mg / LC. 8mg / LD. 12mg/L【答案】A【解析】利用基本不等式的性质即可得出.【详解】c 24t2424,“ C -24解：t2 9 . 9厂9,当且仅当t 3时取等号，t r 2 J t因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大 4mg/L.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题7.已知抛物线y2 4x

7、, F为其焦点，抛物线上两点 A、B满足| AF | | BF | 8 ,则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A,B的中点纵坐标，求出线段 AB的中点到y轴的距离.【详解】解：抛物线y2 4x的焦点F 1,0，准线方程x 1,设 A 为，乂，B x2,y2 ,| AF | | BF | x1 1 x2 1 8 ,解得x（ x2 6 ,，线段AB的中点横坐标为3,，线段AB的中点到y轴的距离为3,故选：B.【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距

8、离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题 .8.已知数列an满足anan 13n，且ai1,则数列 an的前9项和SgA. 160B. 241C. 243D. 484a _ 【解析】由anan 1 3可得 3,利用a1 1 ,可推出a2,a3,L ag,直接求和即可 an 1【详解】nn 1an 1 。解：Q anan 1 3 , an© 3 ，两式相除得 3,an 1因为a11,所以 a3 3自 9© 27,ag 81,由 anan 1a23, a49,a6 27® 81,第15页共21页所以 S9 1 2 (3 9 27 81) 24

9、1 ,故选：B.【点睛】本题考查数列求和问题，关键是求出an 1an 13,该数列隔项为等比数列，由于只求前项和，每个都求出来更方便，是中档题 二、多选题9.下列说法正确的是()A.命题“xR , x21 ”的否定是“ x R , x21 ”B.命题 “x( 3,), x2 9” 的否定是 “ x (3,), x29”C. “ x2 y2 ”是“ x y ”的必要而不充分条件D. “m 0”是“关于x的方程x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B.根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要T的概念判断；D.根据充分性

10、和必要性的概念判断【详解】解：A.命题“ x R , x21”的否定是“ x R, x21"，故错误；B.命题 “ x ( 3,), x2 9” 的否定是“ x ( 3,), x2 9”，正确；C. x2 y2x y , x y不能推出x y , x y也不能推出x y ,所以“ x2 y2”是“ x y”的既不充分也不必要条件，故错误；4 4m 0D.关于x的方程x2 2x m 0有一正一负根m 0,所以m 0“ m 0”是“关于x的方程x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题10

11、.设数列 an是等差数列,Sn是其前n项和，ai 0且S6&,则(A. d 0B. a8 0C. S7或S8为Sn的最大值D. S5 S6【答案】BCd 9d【解析】将Sn n2ai n看成关于n n N,n 0的一个二次函数，利用二22次函数的性质研究其最值，进而可得答案.【详解】解： 因为 Sn na1 n(n-"d , 2d 2d所以 Sn - na1 - n ,22则Sn是关于n n N,n 0的一个二次函数，又 a 0且S6 S9,对称轴n 69 15,开口向下，则d 0,故A错误，22又n为整数，所以Sn在1,7上单调递增，在 8,上单调递减，所以S5 S6,故D

12、错误，一.15 .所以最靠近 一的整数n 7或n 8时，Sn最大，故C正确, 2所以S7 s8,a8 0,故B正确，故选：BC.【点睛】本题考查数列的函数特性，关键是利用Sn的二次函数特性来解决问题，是中档题221上一点，Fi, F2为其左右焦点，且F1PF2的面积11 .已知P是椭圆E :七 y-84为3,则下列说法正确的是()A. P点纵坐标为3C.F1PF2的周长为4近1【答案】CD【解析】设P(m,n),利用SVF1PF2B. F1PF2 23D. F1PF2的内切圆半径为一J2 1212c n以及椭圆方程可求出 P点坐标，即可判 2断A;求出PF1,PF2,利用韦达定理可判断B;根据

13、椭圆的定义可判断C;根据内切圆半径和面积的关系，可判断 D.解：由已知a 2.2,b2, c 2 ,不妨设 P(m, n), m 0, n0,贝” SVF1PF223薮14,14m PF1PF1cos142PF2FPFl(2c)2PF139439 242PF216_ 2(2c)2|PFj IPF2I0,PF20,14 2229 39 2.14441-c2c n 32F1PF22,故 B错;由椭圆定义,F1PF2的周长2a 2c 4亚4，故C正确;设F1PF2的内切圆半径为r,1r (4石 4) 3, r 3(2 1),故 D正确;22故选：CD.【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算

14、要熟练，考查学生计算能力，是中档题.12 .如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E , F分别为BB，CD的中点，则（）2A.直线AD1与BD的夹角为60B.平面AED 平面A1FD1C.点G到平面AB1D1的距离为23D.若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】对A：通过平移使直线 AD与BD共面来求解；对B：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对 C:利用体积法求点到面的距离；对D:作出截面可判断.【详解】解：对A,连结D1B11AB1 ,则 AD1B1为直线AD1与BD ,明显VAD1B1为等边三角形，故A正确

15、；对B,易得DF AD,DF AE ,所以DF 面AED ,所以平面 AED 平面AFD1 ,故B正确;对 C , VC AB|D1VABCD A1B1C1D13VBi ABC所以点C1到平面AB1D1的距离为AB|D1SVAB1 D13_2_英2对D,故选：ABD.,D正确.本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是 中档题.三、填空题13.已知向量（x,y,2）与向量（1,2,4）共线，则x y ,3【答案】32【解析】设，有（x, y,2）（1,2,4）,列方程组求出x,y即可.解：因为向量（x,y,2）与向量（1,2,4）共线,则存在，使(x,y,2)

16、(1,2,4),故答案为:32，32本题考查空间向量共线问题，是基础题14.已知等比数列 an是递增数列，Sn是an的前n项和,a2, a3是方程2x 4x3 0的两个根，则S4403解方程求出a2, a3,进而可求出公比，根据公比求出ai, a4,则S4就可以求出来了 .解：由已知解方程得aia49,S440故答案为:403本题考查等比数列基本量的计算，是基础题 15.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车,但还是

17、发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别1 2 11 2 1为：器 v -V,包 v V.根据以上信息判断：在这起交通事故中, 1001020020应负主要责任的可能是 车，理由是.【答案】乙乙车超过了限定速度【解析】 根据所给函数，算出两车的车速即可得到答案【详解】121.解：对甲车：令 V v 6,解得v 30 （负值舍去），甲车车速在限速以内；10010一 .121对乙车：令 V V 10,解得V 50 （负值舍去），乙车车速超过限速，20020故答案为：乙；乙车超过了限定速度.

18、【点睛】本题考查函数模型的应用，是基础题.22 x y16.已知F为双曲线E : 二 1 （a 0,b 0）的右焦点，过点F向双曲线E的一 a b条渐近线引垂线，垂足为 A,且交另一条渐近线于点 B ,若|OF | |FB | ,则双曲线E 的离心率是.【答案】233【解析】求得双曲线的渐近线方程， 结合直角三角形的性质和渐近线的对称性，可得a,b关系，进而可得离心率.【详解】22b解：双曲线E ： xy yT 1的渐近线方程为y x, aba若|OF | | FB |,可得在直角三角形 OAB中，由 AOF BOF ABO 30 ,可得 b tan 303 ,a32 222ca b x b

19、（ 1 4T 2- 11 T -，a aa 3 32.3e ，3故答案为：2_23【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 四、解答题x 917.已知P：实数x满足不等式 上机 0”；q：实数x满足不等式x2 3kx 2k2x 6其中实数k 0”若P是q的充分不必要条件，求实数 k的取值范围.9【答案】k| - k 62【解析】 求出P, q的等价命题，然后利用 P是q的充分不必要条件，列不等式组求解 实数k的取值范围.【详解】x 9解：因为0,x 6所以(x 6)(x 9) 0,解得6x9,x2 3kx 2k2 0可化为(x k)(x 2k) 0,因为k 0,

20、所以k x 2k,设 A |x|6 x 9 , B |x|k x 2k,因为p是q的充分不必要条件，所以A B,-k 6此时有2k 9一 9所以一k 6.29故实数k的取值范围是 k | k 6 .2【点睛】本题考查考查对充分性和必要性的理解，考查计算能力，是基础题18.如图，在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AC AB AA1 , CAB 90 , M 是 BiCi 的中点，N是AC的中点.B(1)求证：MN /平面 ABBiA ;(2)求直线AiB与平面BCCiBi所成的角的大小.【答案】(i)证明见解析(2) 30。【解析】(i)取AB的中点H ,连结HN、B1H ,先证明四边形 HN

21、MB1是平行四边形，得到MN /B1H ,利用线面平行的判定理可得结果；(2)连结AM , BM ,得到 AiBM为直线BAi与平面BCCiB所成的角，在 AiMB 中求出 ABM .【详解】(1)证明：取AB的中点H ,连结HN、BiH ,因为HN是ABC的中位线，, 一11 一所以 HN /BC ,且 HN BC ,2又因为BiM /BC ,且BiM BC2，分所以HN /BiM且HN B1M所以四边形HNMBi是平行四边形， 所以 MN / /BiH ,又因为 MN 面 ABBiA, BiH 面 ABBA,所以 MN / /面 ABBiA ,(2)解：连结 AM , BM ,因为ABi

22、ACi , M是BiCi中点，所以AM BQi ,又因为面 A1B1C1 面 BCCiBi, AiM 面 ABQi ,面 A B1cl ?面 BCCi Bi B1cl所以AM 面BCCiBi, 所以直线BM为AB在面BCCiBi内的射影, 所以 ABM为直线BA与平面BCCiBi所成的角,设 AB 2,则在 AiMB 中，AMB 90 , AM 虎，AB 272 ,所以sin ABMAM ,2 i尸一,所以 Ai BM 30AB 22 2'所以直线BAi与平面BCCiBi所成的角为30° .【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档题.S

23、n3 一i9.已知数列 an的前n项和Sn且数列一是首项为i,公差为一的等差数列. n2(i)求an的通项公式；ii(2)设bn,数列a的刖n项和为Tn ,求证：Tn 一.anan i3*【答案】(i) an 3n 2 n N (2)证明见解析S 一【解析】(i)先利用等差数列的通项公式， 求出2n ,即可得Sn ,再根据an Sn & i , n求出an的通项公式；(2)利用裂项相消法求Tn ,然后观察可得结果【详解】一 S3 31解：(1)由题意Sn 1 (n 1)3 3n ,所以Sn n2 22,一3 1当 n1 时，a1S1 1 ；2 2当 n 2 时，an Sn Sn1321

24、2(n 1)2(n 1)3n 2,第25页共21页又因为a11适合上式,所以数列an的通项公式为an_ _ _ *3n 2 n N ；(2)由(1)得 an 3n 2 ,可得 bn1anan 1111(3n 2)(3 n 1) 3 3n 213n 11 1 L 114 7 3n 2 3n 1本题考查等差数列的通项公式,&法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基一11所以 Tnb1b2 Lb- 1 ；1 d 1一 1 ,3 3n 11cL 1因为0 ,所以Tn .3n 13础题.20.给出下列条件：焦点在 x轴上；焦点在y轴上；抛物线上横坐标为 1的点A到其焦点F的距离等于2;抛物线

25、的准线方程是 x 2.(1)对于顶点在原点。的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2 4x ,并说明理由;(2)过点4,0的任意一条直线l与C: y2 4x交于A, B不同两点，试探究是否总uuu 有OAUUU 一一一, OB ?请说明理由.uuu 、OB ,证明见解析uur(1)选择条件;详见解析(2)总有OA【解析】(1)通过焦点位置可判断条件 适合，条件不适合，通过准线方程，可判断 条件不适合，利用焦半径公式可判断条件 适合;4x,利用韦达ty 42(2)假设总有oa ob ,设直线l的方程为x ty 4 ,联立 , x定理计算OA OBr可得结果.解：(

26、1)因为抛物线C : y24x的焦点F 1,0在x轴上，所以条件 适合，条件不适合.2.又因为抛物线 C : y4x的准线万程为：x 1,所以条件 不适合题意，此时适合题息，故选择条件时,(2)假设总有oa当选择条件时，AF| xa 1 1 1 2,可得抛物线 C的方程是y2 4x;uuu OB，由题意得直线l的斜率不为0 ,设直线l的方程为x ty 4,由 y2 4x 得 y2 4ty 16 0x ty 4设 A x1，y1，B x2, y2所以则取2uuu 所以OAuuu 所以OA恒成立，y V2 4t , yy216,ty14ty?4/丫死4tyV21616t216t2 16 16,UL

27、U!OB 4x2 y1y2 16 16 0,uuuOB，综上所述，无论i如何变化，总有OA OB.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.PD , AD/BC ,21 .如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面ABCD, CDAD CD 1, BC 2,二面角P CD A为45 , E为PD的中点，点F在PCuuinuuurPC 3PF(1)求证：四边形 ABCD为直角梯形;(2)求二面角F AE D的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 叵3【解析】(1)通过证明AD/BC,且AD BC可得四边形 ABCD为直角梯形；(2)过点A作ad的垂线

28、交BC于点M ,则PA AM , PA AD ,以A为坐标原点，分别以 AM, AD, AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,求出面AEF和面PAD的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角F AE D的余弦值.【详解】(1)证明：因为 PA 平面ABCD, CD PD ,所以CD AD因为 AD/BC，且 AD BC ,所以四边形ABCD为直角梯形；(2)过点A作AD的垂线交BC于点M ,则PA AM , PA AD ,以A为坐标原 点，分别以 AM, AD, AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz,则 A 0,0,0 , B 1,1,0 ,

29、C 1,1,0 , D 0,1,0由（1）知 CD AD ,又 CDPD ,则 PDA为二面角P CDA的平面角，则PDA 45 , PA 1 ,1 1所以 P 0，0，1 ' E 收2 'uuir 所以AE1 1 uur0, , , PC2 2uur(1,1, 1), AP (0,0,1),uuir 1 uuir 所以PF PC 3uuur uuu uuu112AF AP PF-,-,r设平面AEF的法向量n1r uuiv 皿 n1 AE (x, y, z),则 r uuiv n1 AF°,即0y z 0x y 2z 0r令：z 1,则y 1, x 1 ,所以n11

30、, 1,1 ,3 3 3r又平面PAD的法向量n21,0,0 ,r rdr r 所以 cos n1,n2n1 n21,r 1 ,r-i=ni 怅|s/3由题意知二面角 FAE D为钝角,所以二面角f aeD的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题. 2222.已知椭圆E:4 1 (a b 0), O为坐标原点，P为椭圆上任意一点， E, a b2F2分别为椭圆的左、右焦点，且a , b , 1依次成等比数列，其离心率为.过点M (0,1)2的动直线l与椭圆相交于 A、B两点.(1)求椭圆E的标准方程;(2).45一当| AB | 时，求直线l的方程;3(3)在平面直角坐标系 xOy中，若存在与点 M不同的点G,使得GA|MB| |MA| |GB|成立，求点G的坐标.22i【答案】(1) 土匕 1 (2)直线l的方程为y x 1或y x 1 (3) G点 422坐标为0,2【解析】(1)根据条件列关于 a,b,c的方程组，解方程组即可得结果；(2)验证当直线l的斜率不存在时的情况，当直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为22一 上工1 y kx 1,联立 42，先利用弦长公式求出| AB |,列方程求出k ,