(完整版)高等数学第七版下册复习纲要

1、1第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1.微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解3.特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中二、微分方程的常见类型及其解法1.可分离变量的微分方程及其解法(1) .方程的形式：g(y)dy f(x)dx.(2) .方程的解法：分离变量法(3) .求解步骤1.分离变量，将

2、方程写成g( y)dy f (x)dx的形式；2.两端积分：g(y)dy f (x)dx，得隐式通解G(y) F (x) C；3.将隐函数显化.2.齐次方程及其解法(1).方程的形式：史dx(2).方程的解法：变量替换法.求解步骤变量还原，即再用y代替u.x3.一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：鱼P(x)y Q(x).dx一阶齐次线性微分方程：鱼P(x)y 0.dx一阶非齐次线性微分方程：业P(x)y Q(x) 0.dx引进新变量uy，有y ux及矽u X包xdxdx代入原方程得:duu x一dx分离变量后求解，即解方程(u)；du(u) udxx2(2). 阶齐次线性微分方程dyP

3、(x)y 0的解法：分离变量法dx通解为y CeP(x)dx,(C R).(公式)(3). 一阶非齐次线性微分方程dyP(x)y Q(x) 0的解法：常数变易法.dx对方程dyP(x)y Q(x)，设y u(x)eP(x)dx为其通解，其中u(x)为未知函数,dx从而有u (x)eP(x)dxu(x)P(x)eP(x)dx，dx代入原方程有u (x)e )u(x)P(x)eP(x)dxP(x)u(x)eP(x)dxQ(x)，两端积分得u(x) Q(x)eP(x)dxdx C，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解第八章：空

4、间解析几何与向量代数、向量a (Xa，ya，Za),b(xb,yb,zb),c(xc,yc,zc)向量a(Xa，ya，za)与b (xb,yb，zJ的数量积：a b a b cosi j k2.向量a (Xa,ya,Za)与b (XbJbZb)的向量积：a b XayaZaXbybZba b a b sin的几何意义为以a, b为邻边的平行四边形的面积.3.向量r (x, y, z)的方向余弦:cos -X,cosy,cos2zy2y2z/ 2 2.x y/ 2 2 2 X y Zx222 2222coscoscos1；sinsinsin2.4.向量a(Xa，ya，za)与b (x,yb,Zb

5、)垂直的判定：a b a b 0 XaXbXbybZaZb0.5.向量a (Xa，ya，Za)与b (Xb,yb,Zb)平行的判定:整理得P(x)d xu (x) Q(x)eP(x)d x(Q(x)eP(x)dx ,dxC)CeP(x)dxeP(x)d xQ(x)eP(x)dxdx，(公式)XaXbXbybZaZb；3三、直线x x yyzzmnpXX0tm2.过点P(X0,y0,Z0)，以s（m, n, p）为方向向量的直线的参数式方程：yy。tnzZ0tp3.直线的一般式方程：A-iXB1yC1ZD10.方向向量为s mn2.A2X B2y C2Z D204.直线方程之间的转化：i）点向式

6、参数式a/ ba b 0 a kb,k 0XaXbZa6.三向量共面的判定:XbybZbka mb nc 0 a,b,c共面.a7.向量a(Xa,ya,Za)在b (Xb，Yb，Zb)上的投影：Pr jab -XaXbXbbZazb2 2yaZa二、平面1.过点P（x0,y0,z0），以n（代B,C）为法向量的平面的点法式方程:A(x Xo) B(y yo) C(z z)0.2.以向量n（代B,C）为法向量的平面的一般式方程：AxBy Cz0.3.点M （xy“ zj到平面AxByCz D0的距离dA21CZ1B2C2错误！未找到引用源。4.平面:AxByC1zD1:A2xB?yD20平行的判

7、定:5.平面:Ax6.平面:Ax1ByC1zn1ByC1zcosn1/ n2AA2B1B2C1C2D1D2D1n2D1:A2xB?yD20垂直的判定:A1A2B1B2C1C20:A2xB2yC2zD20的夹角:A1A2B12B-iB2C1C222ci.A；B；C；1.过点P（x。，y0，z。），以s（m,n, p）为方向向量的直线的点向式（对称式、标准）方程:4ii) 一般式 点向式第一步：找点第二步：找方向向量s n1n2四、曲线、曲面S:f( x2y2,z)0.2.空间曲线C:F(x, y,z)0关于xoy平面上的投影柱面方程为：H(x, y) 0；G(x, y,z) 08.x直线L：lx

8、y y。mzz0与平面n:AxByCzD 0垂直的判定l mnLS/NA BC9.直线L -xxy y。zz0与平面:Ax ByCzD 0平行的判定lmnL/SNAlBmCn0.10.直线L：xX。y y0z z与平面:AxByCzD0的夹角：lm2P22n2nm1m2mn2P1P2x5.直线L1 :-L2:x x2yy26.直线7.直线m1niPim2n2平行的判定:P2L1/ L2q / s2m1niPim2n2P2Liy y1m1n1与P1L2X2y y2m2n2-z2垂直的判定:P2L1L2S1S2m1m2ng p1p20.Jm1z z1与L2P1x X2y y2的夹角:m2P2cos

9、sinAmB2i BnCP C2m2n211.点P(x0, y0, z0)到直线AxA2XB?yCiZD-iC2zD2的距离:0PMi，其中M是直线上任意一点，s n1n2.1.yoz平面上的曲线C:f(y,z)0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为22n1P15第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1. 内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2. 聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点;3. 开集和闭集内的所有点都是聚点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数f (x, y)在(x0, y0)点的二重极限：lim f

10、(x, y) A.(x,y) (x0,y0)2.二元函数f (x, y)在(xo，y)点的连续性：lim f (x, y)f(xo,y).(x,y)(xo, yo)3. 二元初等函数在其定义区域内连续.二、二元函数的偏导数的相关知识点1.函数z f (x, y)对自变量x, y的偏导数： 及一z错误！未找到引用源。x y22.函数z f (x, y)对自变量x, y的二阶偏导数：一zx2 2一-与一-连续，则二者相等x y y x三、二元函数的全微分：dz zdx dyx y四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1.函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系

11、2.偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必.3.连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏(全)导数1. 中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：z f(u,v),u (t),v(t),z f( (t), (t)，dzz duz dv在xoy平面上的投影曲线为C:H(x,y) 0z 02二错误!未找到引用源。2y2 2z z-、 -x y y x注：若二阶混合偏导数6dtu dtv dt2. 中间变量为

12、两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：7z f(u,v),u(X, y),v(X, y),z f ( (x,y),(x, y),F F u F vxuxv xGGuG vxuxv x七、偏导数的几何应用1.曲线的切线方程和法平面方程x(t),1).以参数式方程y(t),表示的曲线在t to对应的点M(XQ,yo,Zo)的z(t)切线方程：罕勺yyo1zZQ1(to)(to)(to)法平面方程：(t)(x X。)(t)(y y)(t)(z z0)0zz uz vzzuz vxu x六、隐函数微分法v x,yuxv x1.由一个方程确定的隐函数微分法:2).以一般式方程F(x, y,z)G(x,

13、y, z)0表示的曲线在点0M (x0, y0, z0)的切线和法平面方程:先用方程组F(x, y,z)G(x, y, z)0确定的隐函数组y0zf(x)微分法求出dy,dz，g (x)dx dx然后得到切线的方向向量dzXQ.dxxXQF (x, y, z) 0确定隐函数z f(x, y),直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即F dxx dxF ,F cF z7100，解得：xyz xx2.由方程组确定的隐函数组微分法:FENM0确定隐函数u u(x,y)，G(x, y, u, v) 0v v(x,y)直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即F dxF dyF ux dxy dxu x

14、G dxG dyG ux dxy dxuxF vv xv x0，即00，可以解出y dxFxIFz89切线方程：X Xoyy0z z1f (X0) g (X0)法平面方程：x X。f(x)(y y) g(x)(z z)02.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程F(x, y,z) 0表示的曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面和法线方程:切平面线方程：Fx(M)(x X。)Fy(M)(y y。)F；(M )(z z。)0法方程：XX0y y0zZ011Fx(M )FX(M) Fz(M)2).以特殊式方程zf (x, y)表示的曲面在点M (x0, y0,z0)的切平面和法线方程:令F(x

15、,y,z) f (x, y) z 0,有曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面的法向量N(Fx(M),Fy(M),F；(M) (fx(x, y), fy(, y), 1)切平面线方程：fx(X0，y0)(x x) fy(x0，y0)(y y)(z q) 0法方程：x X0y yz z0fx(x0,y)fx(x0,y)13.方向导数与梯度:1).方向导数：丄limf(xx，yy) f(Ky)l02).方向导数存在条件：可微分函数z f (x, y)在一点沿任意方向I的方向导数都存在，并且 cos，其中cos , cos是方向I的方向余弦y3).梯度：函数f (x,y,z)在点M(x0,y0,z0

16、)处的梯度gradf(冷0必)fx(x0,y0,z)ify(x0,y0,z) j fz(x, y,z0)k().4).方向导数与梯度的关系：1.函数f (x, y, z)在点M (x0, y0, %)处增加最快的方向是其梯度grad f (x0,y0, z0)的方向，减小最快的方向是gradf (x0,y,z0)的方向.2.函数f (x, y, z)在点M(x0,y0,z0)沿任意方向的方向导数的最大值为grad f (x0, y0, z0).八、极值、条件极值1.函数z f (x, y)的极值点和驻点的关系：函数z f (x, y)的极值在其驻点或不可偏导点取得.z cosx102. 求函数

17、极值的步骤：fx(x,y) 0(1). 对函数z f(x,y)求偏导数，解方程组x，得所有驻点(xi, yi).fy(x,y)0(2). 对每一个驻点(xi, yi)，求出二阶偏导数的值Afxx(xi,yi),Bfxy(xi, yi),Cfyy(xi, yi).(3).计算B2AC，根据B2AC以及A的符号判定f(Xj, yi)是否是极值：若B2AC0,A 0，则f (xi, yi)是极小值；若B2AC0,A0，则f (xi, yi)是极大值；若B2AC0,，则f (xi,yi)不是极小值；若B2AC0,，则f (xi, yi)是否是极值不能判定，需其他方法验证3. 求函数z f (x,y)在

18、附加条件(x,y)0下的条件极值的方法：做拉格朗日函数F(X,y)f (X,y)(x,y)，对自变量x, y求偏导，建立方程组Fx(x,y)Fy(x,y)fx(x,y)fy(x, y)x(x,y)y(x,y)与附加条件联立的方程组Fx(x, y)Fy(x,y)(x, y)fx(x,y)x(x, y) 0IIfy(x, y)y(x, y) 0，解出的x, y就是函数z f (x, y)的可能极值点.0第十章：重积分一、二重积分的相关性质1. 有界闭区域上的连续函数f(x,y)在该区域D上二重积分f(x,y)d存在；2. 若函数f(x,y)在有界闭区域D上二重积分存在f(x,y)d，则f (x,

19、y )在该区域上有界；3. 中 值 性 ： 若 函 数f (x, y)在 有 界 闭 区 域D上 连 续 ， 区 域D的 面 积 为 ， 则 在D上 至 少 存 在 一 点( , )， 使 得Df (x, y)d f(x,y).4.1d，区域D的面积为 .D二、二重积分的计算1. 利用平面直角坐标计算二重积分1). 先对y后对x积分，由于积分区域D : a x b；1(x) y2(x)，有1112f(x,y)dDbdxa2(X)1(x)f(x,y)dy.2).先对x后对y积分,由于积分区域D:d；1(y) x2(y)，有f(x,y)dDdcdy2( y)f(x,y)dx.i(y)b3).积分换

20、序：dxa2(X)1(x)f (x, y)dyf(x, y)dDdcdy2(y)1(y)住血.2.利用极坐标计算二重积分cOs，由于积分区域D :sin1(2()，有f(x,y)d2()1()f ( cos , sin三、三重积分的相关性质:1dVV，区域 的体积为四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分积分区域V:a xy,x)y y2(x)；Z1(x, y) z Z2(x,y)，有f(x, y, x)dVdxy2(x)%(x)dyZ2(x,y)心)f(x,y,z)dz第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算1.第一型曲线积分的计算:若曲线C的参数方程是:(t),(t),t0t t

21、1，则第一型曲线积分Cf (x,y)dsCt1t0f(t),(t)J2(t)2(t)dt22.第二型曲线积分的计算:若曲线C的参数方程是：(t),(t),t0t t1，t0tA, t1tB分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分CP(x,y)dx Q(x,y)dyt1tP(L0(t),(t) (t) Q( (t), (t)(t)dt3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式1314cPdx Qdy注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域2.函数P(x,

22、 y),Q(x, y)在区域D上连续.二、曲面积分的计算1. 第一型曲面积分的计算：若曲面S的方程是：z z(x, y)具有连续偏导数，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数f(x, y, z)在S上连续，则第一型曲 面积分I 22sf(x,y,z)dSDfz,y,z(z, y). 1 zxZydxdySDxy2. 第二型曲面积分的计算：若正向曲面S的方程是：z z(x, y)，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数R(x, y,z)在S上连续，则第二型曲面积分sR(x,y,z)dxdyDRx, y, z(x, y)dxdy，SDxy同理可得P(x, y, z)dydz Rx(y,z),

23、y, z)dydz；SDyzQ(x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), z)dzdxSDzx3. 高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数P(x, y,z),Q(x, y, z)在空间有界闭区域Q及其光滑边界曲面 S 上具有连续偏导数，则注：设空间有界闭区域Q由光滑封闭曲面 S 所围成，则区域Q的体积为4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分)三、曲线积分与路径无关的条件. P(x, y)dx Q(x, y)dy 0；D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为dxdyDydxxdy.dxdy.有高斯公式：二$Pdydz Qdzdx RdxdyP Qx ydxdydz.$xdydzydzdx zd