八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球00082

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于 2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享不当之处，敬请大家批评指正、有关定义1 .球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 二、外接球的有关知识

2、与方法1 .性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3 :过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4 :球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2 .结论:结论 1 ：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2 ：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球

3、相同；结论 3 ：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之， 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4 ：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5 ：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6 ：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7 ：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8 ：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9 ：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3 终极利器 ：勾

4、股定理、正定理 及余弦定理 （解三角形求线段长度） ；三、内切球的有关知识与方法1 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性） .2 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆） .3 正多面体的内切球和外接球的球心重合 .4 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 .5 基本方法：（ 1 ）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2 ）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法 ）.四、与台体相关的，此略 .五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半

5、径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2(2R)b2 c2，即 2R a2 b2 c2，求出 R4，体积为16，则这个球的表面积是（例1（ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A 16B 20C. 24D 32（3）题-1（引理）SH平面ABC,SH AB,ACBC , ADBD , CD AB,AB 平面 SCD,ABSC，同理:BC SA, ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直本题图如图（3） -2,AM MN ,SB/MN ,AMSB, AC SB, SB平面SAC,SBSA, SBSC, SB SA ,BC SA ,SA平面SBC,SA SC ,

6、题-2 （解答图）（2） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM MN ,若侧棱SA 2“，则正三棱锥S ABC外接球的表面积是.解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 证明如下：如图（3） -1 ,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH , 则H是底面正三角形 ABC的中心，故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 3)2 (2 一3)2 (2 一3)2 36，即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36（4 ）在四面体SABC

7、中，SA平面 ABC，球的表面积为（）A11B.73（5 ）如果二棱锥的二个侧面两两垂直，它们的面积分别为（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为 BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接d.4036、4、3，那么它的外接球的表面积是类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x，AB CD y， AC BD z，列方程组,222abx222bc

8、y222caz2 2 2 2(2R) a b c2z图2-1补充：图2-1中，V BCD1abc abc 46-abc.3第三步：根据墙角模型，2Ra2b2c22 2 2X y z，R222 2 2x y z R8 ，R求出R.例2 (1)如下图所示三棱锥A BCD，其中ABCD 5,ACBD 6, AD BC7,则该三棱锥外接球的表面积为(i)题图AC BD 4，则三棱锥A BCD外接(2)在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2，AD BC 3，球的表面积为.(3) 正四面体的各条棱长都为、2，则该正面体外接球的体积为 (4) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一

9、个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，01是 ABC的外心，则001 平面ABC ；第二步：算出小圆110<!的半径AO1 r，OO1AA1h（ AA, h也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(-)2r2R /r2(-)2，解出R.2V2例3（ 1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周

10、长为3，则这个球的体积为8（2 ）直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA, 2 , BAC 120，则此球的表面积等于.（3） 已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为.（4） 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4, AC 6, AAA1 4，则直三棱柱 ABC A1B1G的外接3球的表面积为.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法）1 如图4-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC

11、为小圆的直径），且P的射影是 ABC的外 心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点.解题步骤： 第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心，则PQ,。!三点共线;第二步：先算出小圆 0,的半径AO, r，再算出棱锥的高 P0, h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理： 0A2 OiA2 O1O2R2 （h R）2 r2，解出R ；事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R.2 .如图4-2，平面PAC 平面ABC，且ABBC （即AC为小圆的直径），且PAAC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2PA2

12、 (2r)22RPA2 (2r)22 2 2 R2 r2 001,r2OO123 .如图4-3，平面PAC平面ABC，且ABBC （即AC为小圆的直径）OC2 O1C2 O1O2R2 r2 0102AC 2 R2 01024 .题设：如图4-4，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;abc第二步：在PAC中，可根据正弦定理2R，求出R.sin Asin Bsin C例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2 3，则该球的表面积为（2 ）正四棱锥S A

13、BCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3）个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正A. 334B.三3C.虫D4'12（4 ）在三棱锥PABC 中，PAPB PC.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（)A.B.C. 44D.33（5）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形,SC为球0的直三棱锥的体积是（)径，且SC 2，则此棱锥的体积为（）类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1 .题设：如图5, PA 平面ABC，求外接球半径解题步骤：第

14、一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接PD,则PD必过球心0 ;第二步：为 ABC的外心，所以0。！ 平面ABC，算出小圆的半径O1D r (三角形的外接圆直abc1径算法：利用正弦定理，得2r)，00i - PA ；sin A sin B sinC22 2 2 '2 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R) PA (2r) 2R . PA (2r)； R2 r2 00i2Rr2 0012 .2 题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶

15、点 P点也是圆锥的顶点图5-1图5-2P图5-8解题步骤:第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 Oi的半径AOi r，再算出棱锥的高 POi h (也是圆锥的高)2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(h R)2r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 216C.3D .以上都不对第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）A第一步：先画出如图 6所示

16、的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心 已和H?；第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 0 ,连接OE,OC ；2 2 2第三步：解 OEHj，算出OHj，在Rt OCH1中，勾股定理： 0比 CH1 0C注：易知O,Hi,E,H2四点共面且四点共圆，证略 例6（ 1）三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC，PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC外接球的半径为.（2）在直角梯形 ABCD中，AB/CD， A 90， C 45，AB AD 1，沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面A BD 平面BCD，若四面

17、体 A BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(3)在四面体S ABC中，AB BC , AB BC 、.2，二面角S AC B的余弦值为，则四3面体S ABC的外接球表面积为(4 )在边长为2.3的菱形ABCD中， BAD 60，沿对角线BD折成二面角 A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 (5)在四棱锥 ABCD 中，BDA 120， BDC 150，AD BD 2, CD ,3，二面角 A BD C的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型C题设：如图7， AP

18、B ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点0 ,1连接OP,OC，则OA OB OC OP -AB，0为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值 例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为()125125125125A -B C D.12963(2)在矩形ABCD中，AB 2，BC 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 .

19、第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图8-1 ,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求 DH -BD , PO PH r, PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 延 竺，解出rDH PD2 题设：如图8-2，四棱锥P ABC是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O, H三点共线；1第二步：求FH BC , PO PH r , PF是侧面 PCD的高；2OG po第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式：，解出HF PFpB图8-1图8-2D3 题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体