61.3.2球的表面积和体积

1、-1-1 . 3.2 球的表面积和体积中国足球队唯一一次进入世界杯决赛圈是在2002 年日韩世界杯上，小组赛三场皆负，一球未进，在 32 支球队中排名最后.在巴西世界杯亚洲区20 强预选赛中，中国队于 10 月 11 日在主场痛失好局，以 0 ： 1 不敌伊拉克队，3 战 1 胜 2 负，即使在随后的三轮比赛中连胜对手，也难确 保进入10 强赛.不可否认，中国足球队已陷入最低谷，沦为亚洲三流球队.问题 1:根据球的形成定义来分析，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球.问题 2:给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？提示：由球的定义可

2、知，只要知道球的半径即可求出.1 .球的表面积设球的半径为 R,则球的表面积S=4nM，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.2.球的体积设球的半径为 R,则球的体积 V =4nR3.归纳*升华领悟- 1.要求球的表面积和体积，只需求出球的半径.2 .球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数.Lfll球的表面积与体积的计算例 1 (1)已知球的直径为 6 cm,求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为 64n求它的体积；已知球的体积为500n求它的表面积.抽象问题情境化，新知无师自通B A WO高频考点题组化.名师一点就通-2-思路点拨利用条件确定半径 R 代入相关公式

3、可求.-3-精解详析直径为 6 cm，二半径 R= 3 cm.表面积 S球=4n2= 36 u(cm2),体积 V球=4nR3= 36ncm3).32(2) / S球=4 泯=64n, R2= 16,即卩 R= 4,4343256V球=-nR=3 n 4= n.333R3=125,R=5.S球=4TR2=100n.一点通已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径.1.两个球的半径之比为 1 : 3，那么两个球的表面积之比为（）A. 1 : 9B. 1 : 27C. 1 : 3D. 1 : 1答案：A2 .火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积

4、的_ 倍.43V地3n2r）解析：设火星半径为 r，地球半径则为 2r,= 8.V火养3答案：83圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径 柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_ cm.解析：设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为6r.则有n26r = 8 n2+ 3 4 ，即 2r = 8,T = 4.(3) / V球=-TR3=5003n-4-答案：4-5-与球育关的组合体问題例 2 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直，且PA= PB = PC = a, 求这个球的体积.思路点拨将球

5、与正方体联系起来.精解详析IPA、PB、PC 两两垂直，PA= PB = PC= a,以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体.又 P、A、B、C 四点是球面上四点，球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径. 2R= 3a, Rpa,二V=4nR3=4n_23a)3= 23na3.一点通(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键.(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作轴截面解题.4 棱长为 2 的正方体的外接球的表面积是()A.8nB.4nC.

6、12nD.16n解析：正方体的体对角线长为 2,3，即 2R= 2.3，R=3，S=4dR2=12n.答案：C5.球内切于正方体的六个面，正方体的边长为a，则球的表面积为 _ .解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有 2r1= a，D =，所以 S1= 4n1=na2答案：Ta2-6-由于 OA = OB = OC= R,则 O1是ABC 的外心.例 3 (12 分)已知球的两平行截面的面积为5n和 8n它们位于球心的同一侧，且相距为 1 ,求这个球的表面积.思路点拨根据已知条件，通过解三角形列出方程式，求出球的半精解详析如

7、图所示，设以 ri为半径的截面面积为 5n,以-为半 截面面积为 8n,0102= 1,球的半径为 R, 002= X,那么可得下列关系r2=R2x2且 SE棱锥侧=chc= C |- S正棱柱侧=chh=h !-1c= 0 时，棱锥可以看作上底周长为0 的棱台.设球的半径为 R,则球的表面积 S= 4n2.2 几何体占有空间部分的大小，明确柱、锥、台的体积公式间的关系，可进一步加强对三 个几何体的认识.St = 01V台体=3(S上+ S + 讨 S S下h- V锥体=ShS上=SF- V柱体=ShS上=0 时，棱锥可以看作上底面面积为0 的棱台；S上=S下时，棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.设球的半径为 R,则球的体积 V =43.33 .解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与 圆心的连线所构成的直角三角形是把空间