第二型曲线积分、格林公式ppt课件

1、第七章第七章 向量值函数的积分向量值函数的积分第二型曲线积分第二型曲线积分 Green公式公式 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzy一、第二型曲线积分一、第二型曲线积分1 1、 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质引例：变力沿曲线所作的功引例：变力沿曲线所作的功2第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzyiT3第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4第五章第五章 多元

2、函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用2、第二型曲线积分的定义、第二型曲线积分的定义5第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 = = = = niiiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10),(),(lim),(),( 引例中引例中力场力场所作所作 F的功的功可以表示为可以表示为 dszyxTzyxFWC),(),( = = 。 6第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用7第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 = = CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。 8第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3

3、、第二型曲线积分的性质、第二型曲线积分的性质首首尾尾相相接接. .与与 , ,其其中中2121CCCCC = =反反方方向向的的有有向向曲曲线线弧弧。是是与与其其中中 C C- -（线性性质）（线性性质）（方向性方向性）（对积分弧段的可加性）（对积分弧段的可加性）9第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4、第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算RdzQdyPdxdszyxACC = = ),(dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)()(),(),( )()(),(),()()(),(),( = = 10第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分

4、学及其应用 公式公式中定积分的下限、上限分别为对应于有向中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线曲线 弧弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。 11第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用x2yx= =yo) 1, 1 ( -A) 1 , 1 (B.54d )d(1 0 0 1 = = - -= = xxxxxx12第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(Bxyo)0 , 1 (A) 1 , 0(BdyyxdxAByx)()( )1(- - tttttttd)cos

5、sin(cos)sin)(sin(cos20 - - - - = = . 1sin2cos220 - -= =- -= = dttt dyyxdxyxAOB)()( )2(- - dyyxdxyxdyyxdxyxOBAO)()( )()(- - - - = = . 12121)(1 0 0 1 - -= =- - -= =- - = = dyyxdx13第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 2dd(31)dx xyyzyz - dttttt31)2(1)33(12)2(1)(10 1 2 - - - - = = 3223)8306(20 1 - -= = = = dttt

6、14第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用5、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系15第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用二、二、格林公式格林公式1 1、单连通区域与复连通区域、单连通区域与复连通区域2区域区域 D 的边界曲线的边界曲线 C 的正向的正向DCD1C2C16第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3定理定理3.1（Green 定理）定理）17第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用42R - -28ma 18第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用yoxRC.242d)(42

7、 0 0 4322RRddxdyyxRD - -= =- -= =- -= = - -= = 在这里，不能将曲线方程在这里，不能将曲线方程 代入被积函数代入被积函数。222Ryx= = -C19第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用解解：添加辅助线添加辅助线OA，则，则OAC 是一条正向封闭是一条正向封闭 曲线，设其围成的区域曲线，设其围成的区域为为 D。 yoxC)0 ,( aAD原式原式 - -= =OAOAC2 0 28008amdxama = = - -= =。 ,cos),(myeyxQx- -= =,cosmyeyPx- -= = ,cos yexQx= = =

8、 =Dmd 20第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用02 2 21第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用=-DdxdyyPxQ0)(。 公式GreenI解：229yxyP-=，229yxxQ=， xQyxxyyP=-=22222)9(9，0=-yPxQ（)0 , 0(),(yx） 。 yox)0 , 2(AC（1）2R当时， 22第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用（2）2R当时， 在 C 所围成的区域内作正向椭圆 2229:=yxC，则在-CC与所围成的复连通区域 D 上，满足公式 Green的条件，得 公公式式Greenyox

9、)0 , 2( ACC0)(=-=-=-dxdyyPxQCCDCC = =CC-=CyxydxxdyI229 -Cydxxdy21清清除除奇奇点点.3232222= =Ddxdy23第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件定义定义： 24第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用25第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用26第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 = = = =yyxxyxyxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxu ),( ),( )

10、,(),( ),(),(),(ooooo),(ooyxA),(oyxM),(yxNo),(yxByox27第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用曲线积分中类似牛曲线积分中类似牛- -莱公式的结论：莱公式的结论：28第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用yox)0 ,2( A29第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用CD),(-A),(-Byox30第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用E = = - - - = =AEBCyxdyyxdxyxI22)()(dttttttt - - - - - = =452242co

11、s)sin(cos)sin)(sin(cos)2( .231)( 454 - -= =- -= = - -dtyox),(-A),(-B31第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用.arctanarctan00022xyxyyxxdyyy= = = = = )0 , 1 (A)0 ,(xB),(yxCyox32第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用)( - - = =- -Cdxeeexfdxxdx,212xxxxeCeCdxee- -= = - -= =- - - 33第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用34第五章第五章 多元函数微

12、分学及其应用多元函数微分学及其应用四、四、全微分方程全微分方程35第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 - - - - - = =),()0, 0(2222)2()2(),(yxdyyxyxdxyxyxyxu解解法法 1： （曲曲线线积积分分法法） 33)2(3223 0 22 0 2yxyyxxdyyxyxdxxyx- - - = =- - - = = 36第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用2222)(2yxyxyxyxyu- - -= = - -= = ， 解法解法2（偏积分法偏积分法） 37第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用dyyxyxdxyxyx)2()2(2222- - - - - )2()2()3131(2233xydydxydyxxydxyxd - - - -= =)()()3131(2233xydyxdyxd- - - -= =)