例：已知ab为实数且b》a》ee为自然对数的底比解读

1、浅谈构造法解题(重庆兼善中学 400700) 曾应洪构造法是一种重要而奇妙的数学方法，在数学发展史上，不少 数学家都曾经用构造法成功地解决了数学中的诸多难题。在解决数学问题时，通过对问题的已知条件和结论作深入恰当 的分析，构造出问题的结论表达的数学对象、辅助元素或与结论相 反的矛盾，筑起解决问题的桥梁，使得问题简明快捷地得以解决。 本文就构造方法的策略及应用举例作肤浅的探讨： 例 1 求证：定义域为 ( m, m)( m R )的任意函数 H(x) 均可 表示为一个偶函数与一个奇函数之和。略证 设 H(x)=f(x)+ g(x)1 ,其中 f(x)为偶函数， g(x)为奇函 数。把 f(x)

2、和 g(x)视为未知数，则 1 就是一个“二元”方程，为解 出 f(x) 和 g(x) ，还得构造相关的另一个方程，由条件H(-x)=f(-x)+1f (x) H(x) H( x)g(-x)= f(x)- g(x) 2 ，由1 2 解得：2 ，不难验g(x) 21H(x) H( x) 证 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数。例 2 已知 a,b为实数，且 b>a>e,e为自然对数的底， 比较 ab 和ba的大小。解 b a e, (构造函数 )设 f(b)=blna-alnb(b>e),则 f '(b) lna . b a e, lna 1且 1, f '

3、;(b) 0.bb故函数 f(b)=blna-alnb 在 (e, ) 上是增函数。f(b) f (a) blna alnb alna alna 0，3即 blna>alnb, ab ba.cosQB D例 3 求值 A cos cos277解 (构造图形 )作 POQ在 OP 上取 OA=1, 在 OQ 上取不同7于 O 的 B 使 AB=1, 在 OP 上取不 O同于 A 的 C 使 BC=1, 在 OQ 上取不同于 B 的 D 使 CD=1,23易得： CAB ACB , CBD CDB ACD . 从而7722OC=OD. 又OC OA AC 1 2AB cos 1 2cos ,

4、OD=773 2 3OB BD 2cos 2cos . 故有 1 2cos 2cos 2cos .77 7 7 7231即 A cos cos cos .7 7 7 2OxAB 取最y2。点 A 所在曲线B例 4 试求函数 f(a,b) (a b)2 ( 4 a2 9 ) 2的最小值。 b解 如图， f(a,b)可视作点 A(a, 4 a2 ),B(b, 9)的距离的平方，即为 ABbxa的参数方程是 ，消去 a 得 y 4 a2x2 y2 4(y 0),即为上半圆周。点 B 所在xb曲线的参数方程是9, 消去 b 得 xy 9, 即为双曲线。 b小值时， AB 所在直线必过圆心，故可先求圆心 O 到双曲线上半支的最短距离，然后减去半径即可由 OBmin2x2y2x28x122x28x1218,得 OB min3 2,ABmin 3 2 2. f (a,b)min (3 2 2)2 22 12 2 ，即为所求。“构造法”是一种重要而灵活的思维方法，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄 清条件的本质特点，