华中科技大学传热学32-2

1、2021-11-41第二章第二章 稳态导热稳态导热2-1 基本概念基本概念2-2 一维稳态导热一维稳态导热2021-11-42分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究方法，即针对物理现象方法，即针对物理现象建立物理模型建立物理模型，而后，而后从基本定律从基本定律导出其数学描述导出其数学描述( (常以微分方程的常以微分方程的形式表达，故称数学模型形式表达，故称数学模型) )，接下来考虑，接下来考虑求解求解的理论分析方法。的理论分析方法。导热问题是传热学中最易于采用此方法处理导热问题是传热学中最易于采用此方法处理的传热方式。的传热方式。 2021-11-432-

2、1 基本概念基本概念 1 温度场温度场(Temperature Field)定义定义某一瞬间，空间某一瞬间，空间( (或物体内或物体内) )所有各点温度分布所有各点温度分布的总称。的总称。温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表示。示。温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：系中，温度场可表示为：),(zyxft t为温度为温度; x,y,z为空间坐标为空间坐标; -时间坐标时间坐标 2021-11-44分类分类 a)随时间划分随时间划分稳态温度场稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。：物体各

3、点温度不随时间改变。非稳态温度场非稳态温度场：温度分布随时间改变。：温度分布随时间改变。b)随空间划分随空间划分三维三维稳态温度场：稳态温度场：一维一维稳态温度场稳态温度场0t),(zyxft ),(zyxft 0t),(zyxft )(xft 2021-11-452 等温面与等温线等温面与等温线定义定义等温面：同一时刻物体中温度相同的点连成的等温面：同一时刻物体中温度相同的点连成的面（对三维问题而言）。面（对三维问题而言）。等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。特点特点a) 温度不同的等温线（面）彼此不能相交；温度不同的等温线（面）彼此不能相交；b)

4、对连续介质，等温线（面）只可能在物体边对连续介质，等温线（面）只可能在物体边界中断或完全封闭；界中断或完全封闭；2021-11-46c)沿等温线（面）无热量传递；沿等温线（面）无热量传递；d) 由等温线（面）的疏密可直观反映出不同由等温线（面）的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（或热流密度）的相对大小。区域温度梯度（或热流密度）的相对大小。t tt-tt-tt+tt+t2021-11-473 温度梯度（温度梯度（Temperature gradient）温度的变化率沿不同的方向一般是不同的。温温度的变化率沿不同的方向一般是不同的。温度沿某一方向度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方的变化率在

5、数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即向上温度对坐标的偏导数来表示，即0limxttxx 温度梯度是用以反映温温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征度场在空间的变化特征的物理量。的物理量。 2021-11-48 系统中某一点所在的等温面与相邻等温面系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度为该点的温度梯度，记为，记为gradt。 kztjytixtnntntLimgradtn0注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向的方向2021-11-494 付里叶定律付里叶定

6、律(Fouriers Law)第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这里可推广为更一般情况。里可推广为更一般情况。热流密度在热流密度在x, y, z 方向方向的投影的大小分别为：的投影的大小分别为： nqxttgradztqytqxtqzyx; t1 t2 0 x n dt dn t t+dt2021-11-410负号是因为热流密度与温度梯度的方向不一致负号是因为热流密度与温度梯度的方向不一致而加上，表示热量传递指向温度降低的方向。而加上，表示热量传递指向温度降低的方向。n - 是该点等温线上的法向单位矢量，指向温是该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升

7、高的方向；度升高的方向； q - 是热流密度矢量。是热流密度矢量。 5 导热系数导热系数定义定义傅利叶定律给出了导热系数的定义傅利叶定律给出了导热系数的定义 :gradtq/w/m 导热系数在数值上等于单位温度梯度时的热流导热系数在数值上等于单位温度梯度时的热流密度的模（大小）。密度的模（大小）。2021-11-411根据一维稳态平壁导热模型，可根据一维稳态平壁导热模型，可以采用平板法测量物质的导热系以采用平板法测量物质的导热系数。对于图所示的大平板的一维数。对于图所示的大平板的一维稳态导热，流过平板的热流量与稳态导热，流过平板的热流量与平板两侧温度和平板厚度之间的平板两侧温度和平板厚度之间的

8、关系为：关系为：21ttA2121ttqttA)(,21tttq只要任意知道三个就可以只要任意知道三个就可以求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数实验。实验。 2021-11-412导热系数的影响因素导热系数的影响因素导热系数是导热系数是物性参数物性参数，它与物质结构和状态密，它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。不同物质的导热性能不同：不

9、同物质的导热性能不同：非金属金属气体液体固体12418W (m C)金属合 金纯 金 属C)W/(m3025. 0非金属2021-11-413保温材料：保温材料：温度低于温度低于350度时度时热导率小于热导率小于0.12W/(m.K) 的材的材料（绝热材料）料（绝热材料）同一种物质的导热系数也会同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变。因其状态参数的不同而改变。一般把导热系数仅仅视为温一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种范围还可以用一种线性线性关系关系来描述。来描述。 )1 (0bT2021-11-4145 导热微分方程（导热微分方程

10、（Heat Diffusion Equation）一般形式一般形式确定导热体内的温度分布是导热理论的首要确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。空间坐标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程能量守恒方程 付里叶定律：付里叶定律：gradtq2021-11-415假设：假设：(1) 所研究物体是各向同性的连续介质；所研究物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源

11、；强度物体内具有内热源；强度 W/m3; 表示单位体积的导热体在单位时间内放出表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量的热量xyzd xd x+dxd yd y+dyd z+dzd z导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量+内热源的生成热内热源的生成热=导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量+内能的增量内能的增量 2021-11-416dUddQdoutindydzxtdydzqdxxzyxindddd导入微元体的总热流量为导入微元体的总热流量为导出微元体的总热流量为导出微元体的总热流量为dzzdyydxxoutdddd根据付里叶定律根据付里叶定律dxdzytdxdzqdyydxdyzt

12、dxdyqdzz2021-11-417dxxqqqxxdxxdxdydzxtxddxdydzxqdydzqdydzqdxxxdxxdxx)(dxdydzytyddydyy)(dxdydzztzddzdzz)(单位时间内能增量单位时间内能增量 dxdydztcdU2021-11-418微元体内热源的生成热为：微元体内热源的生成热为：dxdydzdQ最后得到：最后得到： )()()(ztzytyxtxtc单位时间内微元体的内能单位时间内微元体的内能增量（非稳态项）增量（非稳态项）扩散项（导热扩散项（导热引起）引起）源项源项导热微分方程的简化形式导热微分方程的简化形式(a)导热系数为常数时导热系数为

13、常数时2021-11-419cztytxtat)(222222caa 称为热扩散率，又叫导温系数。称为热扩散率，又叫导温系数。(thermal diffusivity) )()()(ztzytyxtxtc热扩散率热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能反映了导热过程中材料的导热能力（力（ ）与沿途物质储热能力（）与沿途物质储热能力（ c ）之间）之间的关系的关系.2021-11-420a值大，即值大，即 值大或值大或 c 值小，说明物体的某一值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各

14、热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应导反应导热过程热过程动态特性动态特性，研究非稳态导热重要物理量，研究非稳态导热重要物理量在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。体内部各处的温度差别越小。72521.5 10 m9.45 10 masas铝木材，1 600aa铝木材2021-11-421(b)无内热源，导热系数为常数时无内热源，导热系数为常数时)()()(ztzytyxtxtc)(222222ztytxtat(c)常物性、稳态常物性、稳态0222222z

15、tytxt0222222ztytxt泊桑（泊桑（Poisson）方程）方程(d)常物性、稳态、无内热源常物性、稳态、无内热源拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程）方程2021-11-422ztztrrtrrrtc211(e) 圆柱坐标系和球坐标系的方程圆柱坐标系和球坐标系的方程zzryrx ;sin ;cos2021-11-423trtrrtrrrtc22222sin1sinsin11sincos ; sinsin ; cosxryrzr2021-11-4246 定解条件定解条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能能量守恒。量守恒。它描写物体的温度随

16、时间和空间变化的关系；它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界件，包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件单值性条件2021-11-425几何条件：几何条件：说明导热体的几何形说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等度、直径等物理条件：物理条件：说明导热体的物理特说明导热体的物理特征如：物性参数

17、征如：物性参数 、c c 和和 的数的数值，是否随温度变化；有无内热源、值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；大小和分布；初始条件：初始条件：又称时间条件，反映导热系统的又称时间条件，反映导热系统的初始状态初始状态 )0 ,(zyxft 边界条件边界条件: :反映导热系统在界面上的特征，反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。也可理解为系统与外界环境之间的关系。 2021-11-426（Boundary conditions）边界条件常见有三类）边界条件常见有三类 (a)第一类边界条件第一类边界条件:给定系给定系统边界上的温度值，它可统边界上的温度值，它可以是时间

18、和空间的函数，以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数也可以为给定不变的常数值值一般形式：一般形式： tw = f(x, y,z,) t=f(y,z,) 0 x1 x 稳态导热：稳态导热： tw = f(x, y,z) ；非稳态导热：非稳态导热： tw = f(x, y,z,)2021-11-427(b)第二类边界条件第二类边界条件:该条该条件是给定系统边界上的件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不函数，也可以为给定不变的常数值变的常数值一般形式：一般形式：qw = f

19、(x, y,z,)0 x1 x ),(zyfxt特例：绝热边界面特例：绝热边界面0 0wwwntntq2021-11-428(c) 第三类边界条件第三类边界条件:该该条件是第一类和第二条件是第一类和第二类边界条件的线性组类边界条件的线性组合，常为给定系统边合，常为给定系统边界面与流体间的换热界面与流体间的换热系数和流体的温度，系数和流体的温度，这两个量可以是时间这两个量可以是时间和空间的函数，也可和空间的函数，也可以为给定不变的常数以为给定不变的常数值值0 x1 x )ttxt（)()(fwwtthnt2021-11-429导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温

20、度场导热问题求解方法：分析解法，试验解法导热问题求解方法：分析解法，试验解法 ，数值解法数值解法 积分法、杜哈美尔法、格林函数法、拉普拉积分法、杜哈美尔法、格林函数法、拉普拉斯变换法斯变换法 、分离变量法、积分变换法、数值、分离变量法、积分变换法、数值计算法计算法2021-11-430求解导热问题的主要思路求解导热问题的主要思路 首先由物理问题，在一定的简化假设条件首先由物理问题，在一定的简化假设条件下，得到其数学描写（导热微分方程及定下，得到其数学描写（导热微分方程及定解条件），然后求解得到温度场。接着利解条件），然后求解得到温度场。接着利用傅里叶定律进一步求解通过物体界面的用傅里叶定律进一

21、步求解通过物体界面的热流量或热流密度。热流量或热流密度。2021-11-4312-2 一维稳态导热一维稳态导热稳态导热稳态导热0t直角坐标系直角坐标系: :0)()()(vqztzytyxtx1 通过平壁的导热通过平壁的导热平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。为一维稳态导热问题。2021-11-432从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型等类型 。a.单层壁导热单层壁导热 b.多层壁导热多层壁导热 c.

22、复合壁导热复合壁导热2021-11-433通过单层平壁的导热通过单层平壁的导热o xt1tt22122 , , 0 0ttxttxdxtdxtxtc)(直接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt无内热源，无内热源，为常数，并为常数，并已知平已知平壁的壁厚为壁的壁厚为 ，两个表面温度分别，两个表面温度分别维持均匀而恒定的温度维持均匀而恒定的温度t1和和t22021-11-434代入边界条件：代入边界条件：12121tcttco xt1tt2)(dd1212112Attttqttxttxttt带入带入Fourier 定律定律线性分布线性分布AR 导热热阻导热热阻2021-11-435假

23、设各层之间接触良好，可以近似地认为接合假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等面上各处的温度相等通过通过多层平壁的导热多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁 白灰内层、白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成层等组成qttqtr211111qttr32222qttr43333t2t3t4t1 qt1 r1 t2 r2 t3 r3 t42021-11-436总热阻为：总热阻为： 332211321rrrrt2t3t4t1 q334322321121ttttttq由和分比关系由和分比关系

24、 33221141ttqt1 r1 t2 r2 t3 r3 t4推广到推广到n层壁的情况层壁的情况: niiinttq1112021-11-437问：现在已经知道了问：现在已经知道了q，如，如何计算其中第何计算其中第 i 层的右侧壁层的右侧壁温？温？第一层：第一层： 11122111)(qttttq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第 i 层：层： iiiiiiiiqttttq111)(t2t3t4t1 q2021-11-438无内热源，无内热源，不为常数不为常数(是温度的线性函数是温度的线性函数)）（bt100、b为常数为常数21 , , 0 0wwttxttxdxdtdxd

25、0)1 (0dxdtbtdxd10)1 (cdxdtbt2120)2(cxctbt最后可求得其温度分布最后可求得其温度分布 xttbtttbttbtwwwwww)(21)2(2212121122021-11-439xttbttttbttwwwwww1212112121二次曲线方程二次曲线方程202221dxdtbdxdtbtbdxtd)( 0 :022下凹时当dxtdb)( 0 :022直线时当dxtdb)( 0 :022上凹时当dxtdb=0( (1+b bt)b0b0，=0(1+bt)，随着，随着t增大，增大，增大，即高温区的增大，即高温区的导热系数大于低温区。导热系数大于低温区。Q=-A

26、(dt/dx)，所以高温区的，所以高温区的温度梯度温度梯度dt/dx较小，而形较小，而形成上凸的温度分布。成上凸的温度分布。=0( (1+b bt)b0b0t1 t20 x当当b and H 肋片长度方向温度均肋片长度方向温度均匀匀 l = 1 大、大、 H，认为温，认为温度沿厚度方向均匀。度沿厚度方向均匀。0 xdx x x+dxlH s所以，所以， / 1/h，温度仅沿，温度仅沿x变化，于是我变化，于是我们可以把通过肋片的导热问题视为沿肋片方们可以把通过肋片的导热问题视为沿肋片方向上的一维导热问题。向上的一维导热问题。2021-11-476由能量守恒：由能量守恒：sdxxxdxdtAcxA

27、c为截面积为截面积dxdxdxdxxdxdxtdAdxdtAcc22)(tthPdxsP为肋片截面周长为肋片截面周长)(22tthPdxtdAc将以上三式代入守恒方程得：将以上三式代入守恒方程得：cAhPm令令为过余温度为过余温度 tt0 xdx x x+dx1H s2021-11-477这是一个二阶线性齐次常这是一个二阶线性齐次常微分方程，通解为微分方程，通解为肋根肋根x=0处边界条件为：处边界条件为：mxmxecec21另一边界条件取决于肋片端部另一边界条件取决于肋片端部x = H处的条件，处的条件，一般可认为肋片端部绝热：一般可认为肋片端部绝热：222mdxd0:00dxdHxx得微分方

28、程为：得微分方程为：0 xdx x x+dx1H s；ttx00, 02021-11-478应用边界条件可得：应用边界条件可得：最后可得等截面内的温度分布：最后可得等截面内的温度分布：mxmxecec21mHmHmHeecec22022011,1)cosh()(cosh10220mHHxmeeeemHmxmHmx0 xdx x x+dx1H ssinh( ); cosh( ); tanh( )22xxxxxxxxeeeeeexxxee双曲余弦双曲余弦双曲正切双曲正切双曲正弦双曲正弦2021-11-479当当x=H时：时：)cosh()cosh()0cosh(00mHmHH00 xxdxdA)c

29、osh()(cosh10220mHHxmeeeemHmxmHmx)cosh()sinh()(0mHmHmAc)tanh()tanh(00mHmhPmHmAcx00 0Lh等截面直肋片中的温度变化等截面直肋片中的温度变化为一双曲函数为一双曲函数.由肋片散入外界的全部热量由肋片散入外界的全部热量都必须通过都必须通过x=0处的肋根截面。处的肋根截面。 2021-11-480基温度下的散热量假设整个肋表面处于肋实际散热量f对于等截面直肋，其肋效率为：对于等截面直肋，其肋效率为： mHmHhPHmHmhPf)tanh()tanh(00故肋效率只与故肋效率只与(mH)有关。有关。 肋效率肋效率:从散热的角