金融风险理论第2章

1、1金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第2章章 市场风险管理市场风险管理2市场风险度量方法市场风险度量方法 与信用风险、流动性风险、操作风险等其他类型与信用风险、流动性风险、操作风险等其他类型的金融风险相比，市场风险的度量方法目前是最精的金融风险相比，市场风险的度量方法目前是最精确、系统、成熟的，尤其是金融市场风险度量的思确、系统、成熟的，尤其是金融市场风险度量的思想和方法，还为其他金融风险的度量提供了大量的想和方法，还为其他金融风险的度量提供了大量的启示和思路；启示和思路； 市场风险的度量方法经历了一个从简单到复杂、市场风险的度量方法经历了一个从简单到复杂、由粗糙到精确这样一个演变过程：名

2、义值度量法、由粗糙到精确这样一个演变过程：名义值度量法、灵敏度方法、波动性方法、灵敏度方法、波动性方法、VaR方法、压力测试、方法、压力测试、极值理论等。极值理论等。3名义值度量法名义值度量法 由于人们有可能损失掉金融交易活动中资产组合由于人们有可能损失掉金融交易活动中资产组合的全部价值，所以人们最初选用了名义值度量法来的全部价值，所以人们最初选用了名义值度量法来度量市场风险，即用资产组合的价值作为该组合的度量市场风险，即用资产组合的价值作为该组合的市场风险值；市场风险值； 显然，损失掉资产组合的全部价值仅仅是市场风显然，损失掉资产组合的全部价值仅仅是市场风险的极端情形，在大多数情况下只会损失

3、掉资产组险的极端情形，在大多数情况下只会损失掉资产组合的部分价值；合的部分价值； 因此，名义值度量法仅仅是对资产组合市场风险因此，名义值度量法仅仅是对资产组合市场风险的一个很粗糙的估计，而且该法一般都会高估市场的一个很粗糙的估计，而且该法一般都会高估市场风险。风险。4灵敏度方法灵敏度方法 由于名义值度量法存在明显的缺陷，人们开发出了更加精确的市场风险度量方法。 灵敏度方法是其中较早提出的一种方法。5名义值度量法名义值度量法 由于人们有可能损失掉金融交易活动中资产由于人们有可能损失掉金融交易活动中资产组合的全部价值，所以人们最初选用了名义值组合的全部价值，所以人们最初选用了名义值度量法来度量市场

4、风险，即用资产组合的价值度量法来度量市场风险，即用资产组合的价值作为该组合的市场风险值；作为该组合的市场风险值； 显然，损失掉资产组合的全部价值仅仅是市显然，损失掉资产组合的全部价值仅仅是市场风险的极端情形，在大多数情况下只会损失场风险的极端情形，在大多数情况下只会损失掉资产组合的部分价值；掉资产组合的部分价值； 因此，名义值度量法仅仅是对资产组合市场因此，名义值度量法仅仅是对资产组合市场风险的一个很粗糙的估计，而且该法一般都会风险的一个很粗糙的估计，而且该法一般都会高估市场风险。高估市场风险。67.1 Delta 假如你是负责有关黄金资产组合的交易员，你应该如何管理假如你是负责有关黄金资产组

5、合的交易员，你应该如何管理你所面临的风险？你所面临的风险？当前黄金价格为每盎司当前黄金价格为每盎司1800美元。美元。Position Value ($)Spot Gold 180,000Forward Contracts 60,000Futures Contracts 2,000Swaps 80,000Options 110,000Exotics 25,000Total 117,00077 假定黄金的价格由现在的每盎司假定黄金的价格由现在的每盎司1800美元变为每盎司美元变为每盎司1800.10美元。美元。 黄金价格变化后，交易组合的价格变为黄金价格变化后，交易组合的价格变为116900美元

6、。美元。 黄金价格增加黄金价格增加0.1美元会触发交易组合损失美元会触发交易组合损失100美元。美元。 因而，组合的黄金价格敏感性为因而，组合的黄金价格敏感性为-1000，即为，即为Delta值。值。 交易员可以买入交易员可以买入1000盎司黄金来消除盎司黄金来消除Delta风险。风险。 使新交易组合的使新交易组合的Delta为为0，这样的组合被称为，这样的组合被称为Delta中性。中性。PDeltaS8线性产品线性产品 VS VS 非线性产品非线性产品 线性产品的价值变化与基础产品的价值变线性产品的价值变化与基础产品的价值变化有某种线性关系。化有某种线性关系。 远期、期货及互换都是线性产品，

7、而期权远期、期货及互换都是线性产品，而期权不是。不是。 线性产品的风险很容易被对冲。线性产品的风险很容易被对冲。 期权和大多数结构性产品都属于非线性产期权和大多数结构性产品都属于非线性产品。品。9非线性产品非线性产品 非线性产品难于被对冲；非线性产品难于被对冲； 非线性投资组合非线性投资组合Delta中性化只能在标的资中性化只能在标的资产价格变化较小时，取到保护作用；产价格变化较小时，取到保护作用； 不能采取对冲即忘策略不能采取对冲即忘策略(hedge-and-forget)，而必须不断调整对冲状态而必须不断调整对冲状态(dynamic hedging)。1010例子例子 一个交易员卖出100

8、000单位的欧式看张期权。 基础资产为某种无股息的股票。 假定交易员卖出期权而得到收入300000美元。 S0 = 49, K = 50, r = 5%, s = 20%, T = 20 周, m = 13%。 期权的理论价值是$240,000。 银行如何对冲风险锁定60000美元的利润。11Delta套期保值套期保值 起初，期权的起初，期权的delta值为值为0.522。 因而，整个交易组合的因而，整个交易组合的delta为为-52,200。 这意味着在出售看涨期权的同时，交易员必须借入这意味着在出售看涨期权的同时，交易员必须借入2557800美元并按美元并按49美元的价格购买美元的价格购买

9、52200股股票。股股票。 但是，一周后期权的但是，一周后期权的delta值降到了值降到了0.458, 要保持要保持delta中性，就必须卖出中性，就必须卖出6400股股票。股股票。 表表 7.2 and 7.3 显示了两种不同情况下得再平衡模显示了两种不同情况下得再平衡模拟过程。拟过程。12表表7-2周数股价Delta购买股票数量049.000.52252200148.120.458（6400）247.370.400（5800）350.250.596196001955.871.00010002057.251.000013表表7-3周数股价Delta购买股票数量049.000.52252200

10、149.750.5684600252.000.70513700350.000.579（12600）1946.630.007（17600）2048.120.000（700）14费用从何而来费用从何而来 对冲机制以合成的形式构造出一买入期权交对冲机制以合成的形式构造出一买入期权交易，而这一易，而这一“合成合成”期权会用于对冲交易员期权会用于对冲交易员的卖空交易。的卖空交易。 对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，而在价格上升后股票被买入，这正是所谓的而在价格上升后股票被买入，这正是所谓的“买高卖低买高卖低”。 总成本非常接近于期权的理论价格。总成本非常接近于期

11、权的理论价格。15例：基于例：基于Delta的计算的计算 求：一资产组合对于S&P500的Delta为-2100，S&P500的当前市价为 1000，请计算当S&P500上涨到1005时，资产组合的价格变化为多少？ 答：-2100（1005-1000）=-10500，即资产组合的价格下降10500。167.2 Gamma Gamma (G G) 是指交易组合的是指交易组合的Delta (D D) 变化与基变化与基础资产价格变化的比率。础资产价格变化的比率。 Gamma 被定义为交易组合价格对于基础资产价格被定义为交易组合价格对于基础资产价格的两级偏导数。的两级偏导数。

12、当当Gamma的绝对值很小时，的绝对值很小时，Delta变化缓慢，为保变化缓慢，为保证证Delta中性所做的交易调整不需要太频繁。中性所做的交易调整不需要太频繁。 线性产品的线性产品的Gamma为为0，因此线性产品不能被用于，因此线性产品不能被用于改变交易组合的改变交易组合的Gamma。改变交易组合的。改变交易组合的Gamma必须采用价格与标的资产价格呈非线性关系的产品，必须采用价格与标的资产价格呈非线性关系的产品，例如期权。例如期权。22PGammaS17例：基于例：基于Gamma的计算的计算 假定一交易组合为Delta中性，其Gamma量为-3000，对应交易所交易期权的Delta及Gam

13、ma分别为0.62及1.50。在交易组合中加入3000/1.5=2000份期权会使得此组合变得Gamma中性。但因此交易组合的Delta也会从0变为了2000 0.62=1240，为了保证新的交易组合Delta中性我们必须卖出1240股股票。187.3 Vega 现货产品、远期、期货及互换产品的价格与标的现货产品、远期、期货及互换产品的价格与标的资产市场价格的波动率无关。资产市场价格的波动率无关。 Vega (n n) 是指交易组合价值变化与基础资产价格是指交易组合价值变化与基础资产价格波动率变化的比率波动率变化的比率 期权多头方的期权多头方的Vega为正。为正。 如果一个交易组合的如果一个交

14、易组合的Vega绝对值很大，此交易绝对值很大，此交易组合的价值会对波动率变化非常敏感。组合的价值会对波动率变化非常敏感。PVegas19Gamma and Vega Limits 一个一个Gamma中性的交易组合一般不会是中性的交易组合一般不会是Vega中中性，投资人想使交易组合同时达到性，投资人想使交易组合同时达到Gamma中性中性和和Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同的衍生产品。不同的衍生产品。 例：例：一衍生品组合对于USD/GBP汇率的Vega为200（每1%变化），请估算当波动率由12%变为14%时，衍生产品组合的价格变化为多少？ 答

15、：200（14-12）= 400，即衍生产品组合的价格上涨400。20例例7-1 某一资产组合为Delta中性，Gamma为-5000，Vega为-8000。 假定某个交易所交易期权的Gamma为0.5，Vega为2.0，Delta为0.6，为 使得资产组合Vega中性，购买4000个交易所交易期权，但这样会使资 产组合的Delta增至2400，为了保证Delta中性，必须卖出2400个单位的 标的资产，但此时Gamma仍为-3000。 为了保证资产组合Gamma和Vega都中性，我们引入第二个交易所交 易期权，此期权的Gamma为0.8，Vega为1.2，Delta为0.5，我们用1 和 2

16、 来表示两个交易期权的头寸，我们要求：-5000+0.51 +0.82 =0，-8000+2.01 +1.22 =0。 以上两式求解得：1 =400，2 =6000 此时，交易组合Delta变为：4000.6 + 60000.5 = 3240，因此，必须 卖出3240单位标的资产以保持交易组合的Delta中性。217.4 Theta 一个衍生产品投资组合的一个衍生产品投资组合的Theta (Q Q) 是指在其他条件不变的是指在其他条件不变的情况下，交易组合的价值变化与时间变化的比率，情况下，交易组合的价值变化与时间变化的比率，Theta常常常被称为投资组合的时间损耗。常被称为投资组合的时间损耗

17、。 期权多头方的期权多头方的Theta值通常为负。值通常为负。 这就意味着，在标的资产这就意味着，在标的资产价格和波动率不变的条件下，随着期权期限的接近，期权价价格和波动率不变的条件下，随着期权期限的接近，期权价值会下降。值会下降。 由于时间走向是确定性的，因此通过对冲来消除交易组合对由于时间走向是确定性的，因此通过对冲来消除交易组合对于时间的不定性毫无意义。于时间的不定性毫无意义。tPQ227.5 Rho Rho是指交易组合的价值变化与利率变化是指交易组合的价值变化与利率变化的比率。的比率。rP23247.7 泰勒级数展开泰勒级数展开 交易组合价值变化公式交易组合价值变化公式DDDDDDDt

18、StSPttPSSPttPSSPP2222222)(21)(21221StSPGDQDDD25 当基础资产价格波动率也为非常数时当基础资产价格波动率也为非常数时 交易组合价值变化交易组合价值变化sDsDDsDsDD222222)(21)(21PSSPttPPSSPP221StSPGDQDDDDsn26例例 7-2 求：一Delta中性的资产组合的Gamma为-10000，请计算以下两种标的资产 价格变化对资产组合价格的影响： （1）标的资产突然上涨2美元 （2）标的资产突然下跌2美元 答：（1）0.5100002 2= 20000美元 （2）0.510000(-2) （-2） = 20000美

19、元27Managing Delta, Gamma, & Vega 通过每天对基础资产进行交易以确保交易通过每天对基础资产进行交易以确保交易组合的组合的D D为为0 0或接近于或接近于0 0。 保证保证G G & n n 为为0，就必须要找到价格合理并，就必须要找到价格合理并且适量的期权以达到对冲目的。且适量的期权以达到对冲目的。287.8 对冲的现实状况对冲的现实状况 交易员在每个交易日结束时会保证交易组合交易员在每个交易日结束时会保证交易组合Delta中性或接近中性。中性或接近中性。 Gamma及及Vege会得到监测，但这些风险量会得到监测，但这些风险量并不是每天都得到调整。

20、并不是每天都得到调整。 对一个拥有上百个期权的交易组合维持对一个拥有上百个期权的交易组合维持Delta中性是可行的，每天的再平衡费用可以被大中性是可行的，每天的再平衡费用可以被大量交易带来的利润所支持。量交易带来的利润所支持。297.10 情景分析情景分析 情景分析包括计算某一指定时间内在不同情景分析包括计算某一指定时间内在不同的情景下交易组合的损益。的情景下交易组合的损益。 分析中的时间长度的选择通常与产品的流分析中的时间长度的选择通常与产品的流动性有关，分析中所用情景可由管理人员动性有关，分析中所用情景可由管理人员选定，也可由模型产生。选定，也可由模型产生。30金融风险理论与模型金融风险理

21、论与模型第第8章章 利率风险利率风险31金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第8章章 利率风险利率风险32金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第8章章 利率风险利率风险33金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第8章章 利率风险利率风险34金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第8章章 利率风险利率风险35金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第8章章 利率风险利率风险36债券模型与敏感性债券模型与敏感性 市场利率的升降对债券投资的总报酬具有市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。得），利息收入和再

22、投资收益。 债券风险管理的重要策略之一就是，如何债券风险管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（疫（Interest rate immunization），即使），即使得债券组合对利率变化不敏感。得债券组合对利率变化不敏感。372.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为

23、修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率382.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率392.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1

24、)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率402.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期

25、，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率41例子例子 例如，某债券当前的市场价格为例如，某债券当前的市场价格为950.25美美元，收益率为元，收益率为10%，息票率为，息票率为8%，面值，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。美元，三年后到期，一次性偿还本金。 72.73 166.122811.40 3950.252.78(D 年）422.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCt

26、CCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率43111/(1)(1)tTTTtttttttttCCDtt wyyw其中，为 时期的权重n 久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大。利率变化引起的债券价格变化越大。n 久期是到期时间的加权平均，权重是久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值时刻现金流的现值占总现值的比例。占总现值的比例。44111/

27、(1)(1)tTTTtttttttttCCDtt wyyw其中，为 时期的权重n 久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大。利率变化引起的债券价格变化越大。n 久期是到期时间的加权平均，权重是久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值时刻现金流的现值占总现值的比例。占总现值的比例。45111/(1)(1)tTTTtttttttttCCDtt wyyw其中，为 时期的权重n 久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大。利

28、率变化引起的债券价格变化越大。n 久期是到期时间的加权平均，权重是久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值时刻现金流的现值占总现值的比例。占总现值的比例。46久期的性质久期的性质 1、久期有效地计量了债券的风险，久期与、久期有效地计量了债券的风险，久期与债券风险的关系如下：债券风险的关系如下：*/dP PDdy 由修正久期的定义得到*dPDdyP 47*2var()var()dPDdyP*()()dPDdyPss则债券回报率的方差为则债券回报率的方差为则债券回报率的标准差为则债券回报率的标准差为意义：意义：在收益率微小变动下，在收益率微小变动下，债券价格的债券价格的回报率的标准差（风

29、险）为收益率的回报率的标准差（风险）为收益率的D倍。倍。48久期的性质久期的性质 久期是关于息票率、收益率、到期时间久期是关于息票率、收益率、到期时间的函数，故久期性质就是讨论上述的变的函数，故久期性质就是讨论上述的变量关系。量关系。 久期与债券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系定理定理1349久期与债券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系112/(1)(1)1 02 0./(1)(1)(1)(1)TTttttttTTTtCCDtyyTCCyyyyT 定理定理1：无息债券的：无息债券的Macaulay久期等于它久期等于它们的到期时间。们的到期时间。 50 定理定理2：附息债券的：

30、附息债券的Macaulay久期小于它久期小于它们的到期时间。们的到期时间。1112211221/(1)(1)12,.,/(1)(1)(1)(1)./(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCT CTCTCTyyyy 所以，所以，DT51 定理定理3：在到期时间相同的条件下，息票率：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。越高，久期越短。 111111111()()()()NkNNNkccpyyyyy1lnlnln 1(1)(1)NNypycyy 证明：不妨将面值单位化为证明：不妨将面值单位化为1，息票率为，息票率为c，则，则两边取对数

31、得到两边取对数得到521 (1)pDypy 1()(1)1(1)1NN ycyycyy 所以，息票率所以，息票率c越大，则越大，则Macaulay久期久期D越小。越小。ln1ppypy111(1)(1)(1)1 (1)(1)NNNNNcNyyN yyycyyy 53 定理定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。久期越大。 对于零息债券，麦考莱久期与到期日相同，则久期随到对于零息债券，麦考莱久期与到期日相同，则久期随到期日增加而增加期日增加而增加对于付息债券，麦考莱久期的最大极限为对于付息债券，麦考莱久期的最大极限为11/y。这个。这个极限独立

32、于息票率。（极限独立于息票率。（Grandaville，2001） 定理定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。加。220,0DDTT54 定理定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越小，久期越大。期收益率越小，久期越大。 证明：由久期的定义证明：由久期的定义11(1)TttttcDpy2121121122111(1)(1)(1)(1)1 (1)(/)()1(1)1 1TTttttttTtttTttttTttDpt cytcyyppytcyt cypypypypt cyDyp 5522211(1)(1)

33、()0ttTTttttt cycyDtDpp22211(1)(1) ()(2)ttTTttttcycytDttDDpp221(1)101tTttt cyDDyyp =1下面证明下面证明2222111(1)(1)(1)22tttTTTttttttcycycytDDDDDppp 56久期的应用久期的应用例子：假设一个例子：假设一个10年期零息债券，年期零息债券，10年期年期即期利率为即期利率为8且具有且具有0.94%的波动，则该的波动，则该债券价格的波动率为？债券价格的波动率为？10()0.948.7%1 0.08dPPs573.5.4 久期的缺陷久期的缺陷 久期对利率的敏感性进行测量实际上只考久

34、期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。而实际上，市场的实际情况是非线性的。 所有现金流都只采用了一个折现率，也即所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。实。用用3个月的即期利率来折现个月的即期利率来折现30年的债券显然是年的债券显然是不合理的不合理的582.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二

35、阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dyPyy592.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd

36、PcP dyPyy602.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dyPyy612.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可

37、以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dyPyy622.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dy

38、Pyy632.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dyPyy642.1.5 凸性及其性质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量

39、误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcP dyPyy65 凸性是根据债券价格凸性是根据债券价格p对收益率对收益率y的二阶导数给出的二阶导数给出的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释把把凸性看成久期对利率的敏感度凸性看成久期对利率的敏感度，这是错误的。，这是错误的。22222(/)()() dpdpdDdydydyd pdppdydypDc 66凸性的金融学含义凸性的金融学含义1dpyDdyp 由定理由定理

40、6可知可知22121(1)11(1)1 () 11tTtttTttt cydDDdyypcyStDypy 又由于又由于则则672(1)1dDpy pyppdypp 记记22,dpd pppdydy这样这样222(1)111 (1)() (1)11Spy pyppyppppyyppppDDcyyy 6822222 (1)111(1)()(1)SDDcyyyySDDcySDDcy 21(1),()tTttcyhere StDp注意：久期是平均意义上的到期时间。注意：久期是平均意义上的到期时间。凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债券带来的现金流的券

41、带来的现金流的集中程度集中程度，现金流越集中凸性越，现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性越大。小，现金流越分散则凸性越大。69债券组合免疫债券组合免疫 2004年初，经测算某养老金负债的久期为年初，经测算某养老金负债的久期为7年，年，该基金投资两种债券，其久期分别为该基金投资两种债券，其久期分别为3年和年和11年，年，那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受能不受2004年利率风险变化的影响？年利率风险变化的影响？ 3(1) 1170.5www问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，该公司要不要对

42、投资权重进行调整？该公司要不要对投资权重进行调整？70 由于负债的到期日又接近了，因此，可能由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。要再平衡。 问题：到期日每接近一天，久期就有可能问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？不一致，是否意味着每天需要调整？ 债券免疫策略：资产管理者需要再不断再债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的平衡以获得良好的免疫功能免疫功能和进出市场导和进出市场导致的致的交易成本交易成本之间寻求一个折衷的方案。之间寻求一个折衷的方案。71投资组合免疫投资组合

43、免疫 久期为久期为0，可以保证与利率有关的该交易组，可以保证与利率有关的该交易组合价值不受收益曲线小规模平行移动的影合价值不受收益曲线小规模平行移动的影响。响。 久期和曲率均为久期和曲率均为0，可使得交易组合价值不，可使得交易组合价值不受收益曲线较大规模平行移动的影响。受收益曲线较大规模平行移动的影响。 然而，它们并不测量收益率曲线非平行移然而，它们并不测量收益率曲线非平行移动的影响。动的影响。72某一零息收益率曲线某一零息收益率曲线73平行移动平行移动74局部久期局部久期 局部久期计算的是零息收益率曲线上一点局部久期计算的是零息收益率曲线上一点扰动对投资组合的影响。扰动对投资组合的影响。75 第第i点得局部久期定义为点得局部久期定义为iiiyPPDDD176例子例子 整个交易组合的久期仅仅为整个交易组合的久期仅仅为0.2。这说明交易组。这说明交易组合对于收益率曲线的平行移动并不敏感。合对于收益率曲线的平行移动并不敏感。 从表中可以看到，对应于短期期限的久期为正，从表中可以看到，对应于短期期限的久期为正，对应于长期期限的久期为负，这说明当短期利率对应于长期期限的久期为负，这说明当短期利率增大（下降）时组合会有损失（收益），当长期增大（下降）时组合会有损失（收益），当长期利率增大（下降）时组合会有收益（损失）。利率增大（下降）时组合会有收益（损失）。Maturity y