自动控制理论答案孙扬声版

1、自动控制理论答案（孙扬声版）T2-1判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态2 1(4) sin 晋 y(t)3u(t)；(1) 2y2 t 3t -dy- u t ；( 3)y t u(t) 2 ；（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？ 解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变； 动态和静态）线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项 变量的幂指数为1；非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为1； 定常系统：系统参数与时间无关； 时变系统：系统参数与时间有关；静态系统：输入到输出没有过渡过程；动态系统：输入到输出有过渡过程。（笔者认

2、为在判断 系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没 有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积 分和微分都没有，为静态系统。）题号分析系统性质（1）a、y（t）的幂指数为2,非线性;2b、变量d y2t）（把因变量或激励量dt的各阶导数的一次幂看作一个变非线性，时变:,动态量)的系数为3t，是时间的函数， 时变；c、多项式含有微分，动态。(3)a、激励量u(t)的幂指数为1，不为21,非线性；b、各变量的系数均为常数，与时 间无关，定常；C、式中不含微分、积分，静态。非线乞性，定常静态(4)a、各变量的幂指数均为1,线性；b、变量 她的系数sin t与时间有dt关，时变；C、式中含有

3、微分，动态。线,生，时变,动态(7)、u 30时:r dt)y(t)RU(t)； (II)、u(t) 0,i(t)0时：y(t) 0.在一个正弦周期内，系统非线性、 定常、动态。u(t)(<5u(t非线L)V1V2 1-1图T2-1交流电路)输入电压；y(t)V1、V2 理想二乞性、定常Rf系统输出电压1极管'、动y(t)J态T2-2已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：t(1) y(t) x2 o u()d ;0t(2) y(t) 3x0 u( )d ；0t(3) y(t) e tx 0 e t u( )d。0解：先分清x0和ut这两个量：x0为

4、状态变量(初始状态 或初始条件)；ut为输入变量。零状态线性和零输入线性的判定方法：(I) 当x0 0时，为零状态，对应的输出称为零状态响应， 此时看输出yt与输入ut的关系是否满足线性，若满足，则 为零状态线性；(II) 当u t0 0时，为零输入，对应的输出称为零输入响应， 此时看输出yt与初始状态x0的关系是否满足线性，若满足, 则为零输入线性；(III)当(I )、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满 足零输入线性。题号L分析系统性质(1)a、当x0 0时，为零状态，此时 输出yt与输入ut满足线性关 系，故满足零状态线性；b、当ut° 0时，为零输入，此 时输出yt与初

5、始状态X0不满仅满足零状态线性足线性关系，故不满足零输 入线性；综上a、b知，系统仅满足零状态线性。(2)分析方法同（1）既满足零状态线性 又满足零输入线性(3)分析方法同（1）既满足零状态线性又满足零输入线性T2-3有一线性动态系统，分别用to时的输入 Uit,u2t,U3t,t 0,对其进行试验。它们的初始状态都相同，且 x0 0,三种试验中所得输出若为yit,y2t,y3t。试问下列预测是否 正确：（1）若 U3（t） Ui（t） U2（t）,则 y3（t） yi（t） y2（t）；（2）若出 Ui（t）/U2（t）,则y3（t） yi（t）/ y2（t）；（3）若 Ui（t）2U2 （

6、t）,则 yi（t）2y2（t）；（4） 若u/t） U2（t）,则y,t） y2（t） o 如果x0 0,哪些预测是正确的？解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设： ty（t） x 0 U（ ）d0x 0所处情况题号分析结果采用叠加原理，不x 0此时:ty(t) xo00,u( )d(1)ttya(t)x0U3( )du3(t) ui(t) u2(t)x05() U2()d00t2x05() U2( )d%(t) y2(t),(只因为 x0 的存在)0正 确(2)系统线性系统同时满足可加性和齐 次性；商运算不在其中，故不正确。厶不 正 确(3)tty2(t) x 0U2( )dU2(t) 2

7、Ul(t)x02“( )d00t2x02比()d2%(t),-(只因为x0的存在)0不正确(4)tty2(t)x 0U2()d比 Ui(t)x 0ui()dyi(t)，00等。恒正 确x 0此时:ty(t) u(00,)d(1)与上一种情况比较正 确(2)同上一种情况不正确(3)与上一种情况比较正 确(4)恒等式正确2)2)2)T2-8已知线性动态系统的状态方程为1 0 ?x 010 1y 110 x；x(0)0 1 0T试求由单位阶跃u 1(t)输入所引起的响应y(t)解:依题意，该线性系统的各系数矩阵为adj (s(si A);det(slA)(sI A)1)(s00(s01)(s 2)0

8、0(s 1)(s 1)2(s1)(s00(s01)(s(s 1)00 ；(s 1)2(sl A)adj(sl A det(sl A)查拉氏（Laplace）变换表得:状态转移矩阵L 1 (sl A) 10te2te0；（其中02t eL1为拉氏反变换的函数符号）y(t)t(t)x(0)0ct e(t)bu()dt如何求0te2t te e02t ee2(t0te)et0e2(t0 1( )dt1补充：第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其n阶矩阵的伴随矩阵?第二步：将得到的代数 并将此矩阵命名为新矩 第三步：将新矩阵转置 如何计算Aij:余子式Aj ； 余子式f取代其对应元素所在的 位置并写成

9、矩阵的形式 阵；即得所求伴随矩阵。行列式中所对应的代数Aj -1 i jM（i为该元素所在的行数，j为该元素所在的列数）；其中Mjj为元素的余子式，即在 该n阶矩阵的行列式中，划 去所取的任一元素所在 的行和列之后, 剩下的（n 1）阶行列式的值。以本题为例，同学们检 验一下，看看自己是否 已掌握了伴随矩阵的求 法。T2-11已知线性动态系统中01 ，B2试求系统的传递函数G(s)。解：依题意:(sidet(sl A)s032s1 s 0 s01 ；s 23；2)2) 1所求传递函数Cadj(sl A)BG(s)det(si A)s(s230s(sadj (si A) (s3s(s 2)s3s

10、32ss(s 2)33s(s 2)s(s 2)31s ；2s2)33ss2 s 23s 2s3 2s2 3.(ss(s2)2)331s2 sT2-13已知系统的传递函数为G(s) -srs3 7s214s 8求当a等于何值，系统传递函数将是不完全表征的解：依题意:s a飞厂s 7s 14s 8系统特征多项式： s det（sI A） s3 7s2 14s 8 （s 1）（s 2）（s 4）; 系统是三阶的：n 3;当a 1or2or4时，传递函数的特征多 项式 s为二阶的：且n 2 n 3 此时系统有零、极点对消，系统传递函数是不完全表征的。T3-1对图T3-1所示系统，按传递函数方框图变换原

11、 则求出下列传递函数：H4*G1G3丫1H3 一 丫2图T3-1单输入系统方框图解：解题之前，先总结一些方框图的变换规则:反、相加点对方框G：（逆）移支路前（顺）移支路反（逆）移支路、分支点对对方框G：前（顺）移支路 、单环负反馈：Gc 、注意：相加点、分、方框串联相乘，方 框并联代数相加;（详细介绍请查阅课本第39页）；1 GH支点之间不能交叉，也不能相互合并（为避免出现不必要的 错误而人为规定的）因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式:Gic丫2G1G2G3G4G-|G2G3G4H4G1G2G1G4H2G

12、4Hi)G1G2G3G41 G3G4H4G2G3H3G1G2G3 H 2G1G2G3G4 H1G2c1G4G1G2G31 G3G4H 4 G2G3H 3G1G2G3H 2 G1G2G3G4 h 1T3-3求出图T3-3所示四输入系统方框图的输入量的表达式图T3-3四输入量的系统方框图解：依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式:R2R4G2 (G1 R1R2 G1H 1R3& )R3 H1)G11 G2 H 2 G1G2H1G1G2Y r(R11 G1G2 F H1)G1小。试指出图T3-4(b)已知一个电网络如图 T3-4(b)所中最多可划分为几个无负载效应的环节，求出该图

13、的传递 函数：G(s) U并说明冃负载效应对传递函数的影响。R101Jz=C1Uii rCH-隔离放大器K 1R2TTHO二 C2OUo(b)解:先介绍几个概念：负载效应：信号传递过 程的分流效应与损耗。无负载效应的环节：环 节的输出变量仅决定于 输入变量及环节自身的 结构与参数, 而与环节外部所接负载无关。隔离放大器的作用：可 消除环节间的负载效应。依题意，图(b)中最多可划分为3个无负载效应的环节:G(s)泸U i ssC|R1 ?GsC2(1 sGRJ(1 sC2R2)T3-5(b)递函数：G(s)已知一个无源网络如图Uo sUi sT3-5(b)所示，试:求传解：依题意，11U1RUo

14、TF(b)(b)的传递函数:G(s)泸Ui sRsCRR sL 丄 1 sCR s2CLsCT3-10试根据图T3-10的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数:Ga(s) 严；Gb(s) 乎；Gc(s) 严R sR sE s所示传递函数方框图画出对应图T3-10传递函数方框图解：（a）先明确es表示的意思。E s表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。（b）学会画信号流图。掌握信号流图的表示方法：在信号流图中只米用两种 图形符号，即节点及节点之间的定向线段（两节点之间的 定向线段又叫支路）。其中，节点代表变量；支路表示信号 的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。根据传递函数方框图画

15、出对应的信号流图的方法：1、先确定节点的个数：数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点数和分支点数的总和 n,再加1（考虑信号 输入处有一个节点），即信号流图的节点数 N=（n+1）;此时 就可以画出从输入到输出的一条通路。2、根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方 向在该通路的基准上正确表示出来。以本题为例确定节点数：N=3（相加点）+3 （分支点）+1=7 （个）画出从输入到输出的一条通路:R s匚 *Y：F二.二将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来Y s用Mason公式(请参考课本第5557页)求信号流图 中的各传递函数：根据我们所画的信号流图知，从R s到Y s只有一条

16、通路:R Gi ；环路共有三个，它们的环路传输分别为:LiL2L3GH;G;H2.三个环路中，只有L1与L3不相互接触，特征式:1 (L1 L2 L3) L1L3；1 1.Gas 3亘R s1 G1H1GiH2G1H1H 2 系统从R s到GB sEs只有一条通路：1 H 21 G1H1 G H2 G1H1H2R 1 ；1 1 L3 ；Y sGc sG11 h2R sEsR sT3-11(b)有一个信号流图如图 T3-11(b)所示。试利用Mason公式求总传输。图T3-11信号流图解：依题意，信号流图中从 U到Y共有两条通路:R G1G2G3； P2 G4环路共有三个，它们的环路传输分别为:

17、L1 G1G2H1；L2L3G2H1；G2G3H 2.三个环路间彼此相互接触，特征式:1 (L1 L21；1 (L1 L2L3）；R 1P2 2G1G2G3G4(1G1G2 H1 G2H1G2G3H 2)1 GiG2H 1G2H1G2G3 h 2T3-12已知某控制系统从源点到汇点的总传输为Y ah 1 cf dq U 1 be 1 dq cf其中a、b、c、d、e、f及q各代表一个支路的传输，试绘制出该系统的信号流图。解：依题意，Y 1 11 1寫q cf !绘出该系统的信号流图如下:T3-13已知系统方框图如图T3-13所示。试写出xi、X2、X2为状态变量的状态方程与输出方程，画出该系统

18、的状态变 量模拟图。R(s)图T3-13系统方框图解：依题意，画出该系统的状态变量模拟图如下:Y(s)系统的状态方程:sX1(s)sX2(s)sX3(s)X2(s)2X2(s) X3(s)KXi(s) X3(s)KR(s)10x-i写成矩阵形式：X2 1x201X3输出方程：y Xi 1XiXX3已知控制系统的传递函数G(s)s2 2s 53s3 6s2 9s 15:对传递函数略加变换:G(s)s2 2s 53s3 6s2 9s 153s 3s21 2 ?2s s3s35s13可观测标准形(1、可控标准实现：X AcX bcUy CcX0100521式中：Ac001; bc0; Cc3 335

19、321?(2)、可观测标准实现：x A0X b0Uy c°x0 0式中：A。100 155 33 ; b02 3 ; C0001 .21 3T4-2已知二阶系统的传递函数为随着参数、n的不同，其一对极点在 S平面上有如图 T4-2所示的6种分布。若系统输入单位阶跃信号，试 列出与这6对极点相对应的暂态响应曲线的形状特征。解：首先明确阻尼比 在不同取值范围下，暂态响应曲线的是怎样变化的:阻尼比取值范围1过阻尼1临界0 1欠阻0无阻1 01阻尼尼尼暂态响应曲 线变化情况单调衰 减单调 衰减振荡衰减等幅 振荡振荡发散单 发1调 殳散闭环极点位置位于左 半实轴 线上的 2个不 相等的 实极点

20、位于 左半 实轴 线上 的重 极点位于 不含 虚轴 的左 半s平面上 的2个共轭 复数 极点位于 虚轴 上的2个 共轭 纯虚 数极占八、位于 不含 虚轴 的右 半s 平面 上的2个共轭复 数极 占 八、位右实纟 的 极立于 寸半 芙轴 戋上1 勺重 及点极点分布图中所对应的暂态响应曲线的形状分别如下图所示：01o过阻尼时的极点分布禾响应1临界阻尼的极点分布和应nhAP2 0 1n、121 j厂Po片0欠阻尼时的极点分布和应无阻尼时的极点分布和响应-PlP20时的极点分布和响应RP2-1时的极点分布和响应T4-5设有一典型二阶系统2Y(s)nU(s) s2 2 nsn2为了使系统阶跃输入的响应有

21、 5%的过调量和2s的调整时间（允许误差为5%），求阻尼比 和自然振荡频率解题之前先熟悉几个公式:2、过调量：M p e为阻尼比；、5%误差区的调整时间：ts 5%、2%误差区的调整时间：ts 2%3为衰减时间常数,n4n为自然振荡频率；解:过调量：Mp2依题意，由5%5%误差区的调整时间:ts 5%2sIn2 0.052 2 ln 0.0520.692.17rad /sT4-10 一闭环系统的结构如图T4-10所示，若开环传递函数Go（s）与输入信号r（t）为(1)G°(s)10r(t)s(4S)'(2)G°(s)10r(t)s(4s)，(3)G°(s)

22、10；r(t)s10t ；24 6t 3t ；4 6t 3t21.8t3试求以上三种情况的稳态误差Rs)卫Go sY(s)fr图 T4-10单位反馈系统方框图解：求解之前，有必要记一下以下这张表（对于本题这 种题型，这应该是最快最准的解题方法了）：各种类型输入作用下的稳态误差e系统 的型N单位阶跃输入R s 1 s积分因子数n=1积分因子：1.s单位斜坡输入R s丄s积分因子数n=2单位抛物线输 入Rs 4s积分因子数n=301 11 K K（K为比例因 子）注意观祭:N 0 n 1注意观祭:N 01 n 1注意观察:N 02 n 110注意观祭:N 10 n 11K注意观祭:N 1 n 1注

23、意观察:N 12 n 120注意观察:N 20 n 10注意观祭:N 21 n 11K注意观察:N 2n 130注意观察:N 30 n 10注意观祭:N 31 n 10注意观察:N 32 n 1000N>3注意观祭:N n 1注意观祭:N n 1注意观祭:N n 1此表表明： 系统的型N （其中N为开环传递函数G0 s的积分因子数） 越小。越高，稳态误差记忆此表的方法（请参考）：对于输入函数满足 r t丄 <拉氏变换Rsk!令k 1 n,由表易知：e(N(N(Nn -1) n-1).n -1)以本题为例开环传递函数Go（s）10s(4 s)10一4，系统为N1s(1 *S)41型，

24、比例因子K1042.5比例因子K怎么求：先把分子和分 母中含有形如 最后化得的开环传递函 数Go s中的系数即为K.（ms k）的式子都化为（ms 1）的形式,k(1)、r te、r te(3)、r te拉氏变换1010tR s2，s1010et4;K2.52拉氏变换46t3tR se1etett023拉氏变换46t3t1.8te1etettettt46623 ,sss6K46610.8Rs4ssss60KT4-12某具有扰动输入的反馈控制系统如图T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号，即试求其频域响应r(t) d(t) 1(t)图T4-12具有扰动的单位反馈系统频域误差E

25、s以及时域的稳态误差KYs Hss 1 s 3r(t) d(t) 1(t),R s D s 1s解：利用Mason公式知:12 d s 1上丄s 1 s 3K s 1s(s 1)(s 3) Ks s(s 1)(s 3) Kse limsEs 1s 0k 3 k 3题后小记为便于理解：Y s s s 3 R s 二卫 D s K 1, K 11 1 -s 1 s 3s 1 s 3特此作出以下推导：令Y s Yr s YD s ;.（叠加原理） 其中：K1Yr ss J s 3 R s ；.（Yr s表示的是R s单独作用下，输出对输 入的响应） 1上 Ls 1 s 31Yd s尸D s ；（Yd

26、 s表示的是D s单独作用下，输出对输 入的响应1上 Ls 1 s 3T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示R（s） D（s） 1/s。系统中各环节传递函数为、 K G（s）0.05s 11G2（s）-s 5G3（s）2.5要求：（1）求出系统的稳态误差及调差率；1/s 后,（2）在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子 求系统的稳态误差及调差率；1/s 后,（3）在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子 求系统的稳态误差及调差率；（4）在上列（2）的情况下，拟对扰动加装比例型补 偿环节，以使调差率s 0.04，试画出补偿方框图。解：依题意，Y sYrsYd sG1 s G2sR sG2

27、 s2D s1G1 s G2 sG3 s1G1s G2 s G3 s由图知：E sRsG3 sYs1R sG2 s G3 sDs1G1s G2 sG3s1G1 s G2 s G3s1125Ks(0.05s 1)(s 5)2.5s 5 112.5Ks(0.05s 1)( s 5)(0.05s 1)(s 2.5)s(0.05s 1)(s 5)2.5Ks(1)、elimsE ss 02.55 2.5KYdyRsYD sG2 slim Dlim 处一s 0 sYR s s 0 G1 sG2 slims 01G1 slims 0(0.05s 1)（2）、E se图T4-13具有扰动的反馈系统由图T4 1

28、3(2)知:s( 0.05s 1)( s 2.5)2s (0.05s 1)( s 5) 2.5Kslim sE s 0;s 0Ydlim sYd slimG2 slim1yRs 0 sYr ss 01G1 s G2 ss 01G1 ssslims 01K(0.05s 1)0.s图 T4-13 (2)(3)、由图 T4 13(3)知:2(0.05s 1)( s 5s 2.5)s2( 0.05s 1 )(s 5) 2.5 Kslim sE ss 0yDsyRs"msYd ssYr s-G2 s lim ss 0-G- sG2 ss1 lim s 0 G1 s(0.05s 1)图 T4-1

29、3 (3)(4)、由图 T4 13(4)知:yDyRs"msYd ssYr sKlim s 0G1 s G2 sG2 ss-G1 sG1 s G2 s sslif?-G1 s sK 0.04；K 0.04.R(s)图 T4-13 (4)T5-1已知系统的闭环传递函数为10当下列正弦信号作用于系统时，求系统的稳态响应:(1) r(t) sin(t 30);r(t) 2cos(2t 45 )；(3)r(t) sin(t 30 ) 2cos(2t45 )。解:依题意,频率特性：G j1110j(1)、100.90511 j 12.25.2将输入信号r t用正弦相量形式表示:(t 3090

30、)则系统稳态响应：y j 用正弦函数形式表示：0.905 (t 24.890 )t0.905si n(t24.8 ).(2)、G j10211 j211- j212.50.89410.3将输入信号r t用正弦相量形式表示:(2t45 )则系统稳态响应：y j 用正弦函数形式表示：1.788(2t 55.3 )(3)、利用叠加原理以及y t 1.788cos(2t 55.3).(1)、(2)知：y t 0.905sin(t24.8)1.788cos(2t 55.3 ).T5-4(3)画出下列传递函数的频率特性Nyquist 图:(3) G(s)产 s) s (s5)(s 15) 解：依题意:积分

31、因子数N=2，极点数(n) 零点数(m)=41=3250(1°0(J)(j )2(j 5)(j 15)分母有理化250 (75 19 2).250 ( 2 55)2(252)(2252) j (252 )(2252)三点成形:(1)、当0时，G。jO 厶j0a0、当 时，G。j25075 j021250 门 3厂m3 0jj2(3、与实轴交点：令 lmG0 j0,即 2 55 0,. 55 7.4rad/s2考虑正频率(0)特性：ReG。j7.42250 (75 219 7.4)20.23.7.42 (25 7.42)(225 7.42)绘出该传递函数的正频率特性 Nyquist图大

32、致图形如下:知识点补充:(N(1)、当0时，Go jO(N0)0)，其中K为比例因子;、当时，Go jbga°(n m)，其中b0、a0分别为j、j(n m)n的系数.T5-7某系统的开环幅频渐近特性如图T5-7所示,已知开环传递函数中的零点、极点均位于左半复平面上，试写 出其开环传传递函数。解：依题意，由图知:Go sK1s 1 s 1i容易看出：110从点“40到点5,0，纵轴的分贝幅值正好1点1,40的幅值由比例因子K和积分因子丄二者共同作用，s即:40 20lgK-20lg 1,解得：K 100 150；点2,-12的幅值由比例因子K、积分因子1和一阶滞后因子s0.5,降低4

33、0dB,横轴刚好增加10倍频程。1 三者共同作用,1丄s1即：12 20lg K -20lg 2-20lg，解得：2 9.98150综上知：G0 s亠1 1s 1 s 1 s0.59.98题后小结:(1)、比例因子K 1的对数幅频特性：LmK 20lgK dB ； 积分因子1的对数幅频特性：LmsLm 20lg dB ；(3、一阶滞后因子1的对数幅频渐近持性:LmG20lg、二阶滞后因子2t2LmG40lg1TT1门丄T丄TdB;厂的对数幅频渐近特性:dB.已知T5-8某系统的开环幅频渐近特性如图T5-8所示，开环零点、极点均位于左半复平面上，试确定系统的开环2传传递函数。0.0012040解

34、：依，由图知:点0.G0T6-1定性。6020dB / dec524020402000.0020.020.001620 0.1J0Dflk GG° s的幅值由比例因子0.20.50.88rad / s4060 dB / dec图T5-8幅频渐近特性s 10.0016K和积分因子20lg K -20lg 0.0016,解得：K 102'610.64 1s0.021K 1s0.021 1 1 s 1 s 1 s0.2 0.881二者共同作用，s0.0016 0.64；0.641 50ss1 0s1s0.21s0.88s 1 625s 1 5s 1 1.14s试判断图T6-1（a）

35、、（b）所示两个系统的BIBO稳解：（a）、'令s2 se）、Y令s2 -sT6-9应用部的根数、(1)(3)(5)解:(a)1s s 1U(s)（b）图T6-1反馈系统方框图Y(s).1s s 11 s s 11s2 s 20得系统传递函数 3 的特征根:U sRe 1,20,系统BIBO稳定；1s s 1Ls s 11s2 s 30得系统传递函数丫仝的特征根:U sRe 1,20,系统BIBO不稳定.1,21,21 j 112Routh判据确定下列特征方程的根中带正实带零实部的根数及带负实部的根数:s45s32s1002 s54 s6s33s2s 10 ；5 s4 s2s32s28

36、s 80 o(1)4 s5s32s10 0列出Routh阵列表如下:为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为2个。 （注意：s的最高次方为总根数，再根据Routh阵列，看 第一列有几次变号，即含几个带正实部的根，阵列表里面 的数是怎么来的，请参考课本第 135136页，要求熟练掌 握。）（3） 2s5 s4 6s3 3s2 s 1 0列出Routh阵列表如下：列12341 s526102 s413103 s30-1003 s3-1000且04 s25 s12313311 0 0 01 0 06s00 0 0第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负

37、实部的根数为3个。(5) s5 s4 2s3 2s2 8s 80列出Routh阵列表如下：列12341 s51-2802 s412803 s3-40004 s228005 s1160006s08000第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数 为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为3个T6-12有一系统的特征方程为32s (1)s(1)s (1)0试讨论使系统稳定时，的取值范围 解：列出Routh阵列表如下：欲使系统稳定，则需满足特征方程的全部系数均为正 值且Routh阵列中的第一列各项均为正号。1 0即1 0且0,解得： 0,1.11 0T6-13给定下列闭环系统的开环传递函数

38、，试应用Nyquist判据判断这些闭环系统的稳定性：(1)Go(s)2s 1 2(s 1) G°(s)10(1s)(1 2s)(1 3s)解：(1)Go(s)当0时，G°(j0)2s 1， G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即F002(s 1)1 2 221 21；当 时，G°(j )1.2L,积分因子数为0,极点数 零点数i 10.画出G0 (j )的Nyquist图，如图(a)所示：Im-10.251Re由图Go(j积分a 知，G0 jN P。Go(s)0,的Nyquist曲线不包围点-1, j0，即N 闭环系统是稳定的。100.(1 s)(1 2s

39、)(1 3s)，G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点'即p01010 1 11 2 j 6 3 6(1 j )(1 2j )(1 3j )12 1 4 2 1 9 2因子数为0,极点数零点数 3 0 3.令Im0时，G°(j0)G0(j )0得令 ReG°(j ) 0得10;当 时，G°(j ) 03 .21rad/s,考虑正频率特性，此时：ReG°(j1)1;1= rad/s 0.3rad/s,考虑正频率特性，此时：lmG°(j0.3)6.1.vJ11画出G0(j )的Nyquist图，如图(b)所示：由图b知，Go j的Nyq

40、uist曲线通过点-1, j 0 , 闭环系统临界稳定，即不稳定。图中s平面上的极点数，试判断T6-14已知系统的开环 Nyquist图如图T6-14所示 P 右代表系统开环传递函数在右半 它们的稳定性。c P&0d P右 0题号P右NNP右系统稳 定性(a)2-20稳定(b)022不稳定(c)000稳定(d)022不稳定(e)022不稳定(f)112不稳定题后小结:1、在Nyquist曲线中，正频率曲线与负频率曲线关于实轴对称；2、 当0时的曲线与坐标轴交于 无穷远处时，应从Nyquist曲线的0处沿顺时针环绕n到 0处，其中n为开环传递函数的积分因子数，在坐标图上怎么看出n的值：应

41、从正实轴开始，顺时针走过 角到 0处，n式中的“”负号是因为规定沿顺 时针走过的角度为负；23、Nyquist曲线包围点 1, j0的次数N怎么算？笔者提供两种方法 在Nyquist曲线画正确的前提下，请参考：法一：注意顺时针包围 为N正，逆时针包围N为负；我们从处开始，沿行进方向，从上一次穿过实轴到下一次穿过实轴计数一次（此时Nyquist曲线只走过了 180，所以每次只能计1圈，其正负根据顺时针包围 还是逆时针包围去判断）； 走完一个周期0就停止；法二：如果不喜欢数圈，那就“穿越”吧，这样快。我们定义Nyquist曲线在点1, j0以左穿过负实轴时，称为“穿越”，穿越又有正穿越和负穿 越之

42、分（二者的区别请 见图A-B）。 其中：N负穿越次数 正穿越次数同学们可以用穿越的方 法去计算一下本题中图a 图b的N.图A B请同学们把第七章的例题 7-2、7-3、7-4看懂例7-2.解：依题意，20原系统的开环传递函G0 (15s)(10.5s)(10.05s)调整开环增益K 20至K40，则40G°(1 5s)(1 0.5s)(1 0.05s)40频率特性：G0(j )(1 j5 )(1j0.5 )(1j0.05 )此时，剪切点频率为由20 lg 40 20 lg 5 c 20 lg 0.5 c180 (G°(j c) 180 tg 15c，对应的相位裕量为，则0，

43、得 c 4 rad / s,tg 10.5 c tg 10.05 c 18 .采用超前校正，根据501832 .和，必须添加的相位超前量预想一个裕量 5，则新超前量:1测 max4.021sin maxmax37，则根据调整增益后的Bode图'确定LmG-Lm 6.04d2的频率max，对应的相位裕量20 lg 4020lg5 max 20lg0.5 max 6.04 得180(G°(j max) 180 tg 15 max tg 1 0.5 maxmax5.66rad / s,tg 10.05 max 6 .max根据-和，必须添加的相位超前量:max44max37 .说明预想的裕量 不足，另选17，重