判定平行四边形的五种方法

1、判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 .分析: 由于已知条件与对角线有关， 故考虑 运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四 边形”进行判别 .为此,需连接 BD.解：连接 BD交 AC于点 O.因为四边形 ABCD是平行四边形 , 所以 AO=CO,BO=DO又. AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF即, EO=FO. 所以四边形 DEBF是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”判别E例 2 如图 2，是由九根完全一样的小木棒 搭成的图形， 请你指出图中所有的平行四边形，并

2、说明理由 .分析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则 图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 进行判别 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则 AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形 ABCF是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE、四边形 ACDF都是平 行四四边形 .因为 AE=DB=2,AB=DE=1所, 以四边形 ABDE 也是平行四边形 .三、运用“一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形”判别例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD的对角 线 AC上的两点， AE=CF,DF=BE,DF BE，试说明 四边形 ABCD是平行

3、四边形 .分析 : 题目给出的条件都不能直接判别四 边形 ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由 已知条件可得 ADF CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为 DFBE，所以 AFD= CEB.因为 AE=CF所, 以 AE+EF=CF+E，F即 AF=CE. 又 DF=BE,所 以 ADF CBE， 所 以 AD=BC， DAF=BCE，所以 ADBC.所以四边形 ABCD是平行四边 形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是 平行四边形”判别例 4 如图 4 ，在平行四边形 ABCD中， DAB、 BCD的平分线分别交 BC、AD边于点 E、 F，

4、则四边形 AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得 AFEC， 又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条 件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对 边分别平行的四边形是平行四边形”进行判 别.解：四边形 AECF是平行四边形 .理由：因为四边形 ABCD是平行四边形，所 以 ADBC， DAB=BCD，所 以 AFEC. 又 因 为 1= 1 DAB，22=1 BCD，2所以 1=2.因为 ADBC，所以2=3，所以 1=3，所以 AECF.所以四边形 AECF是平行四边形 . 判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有： （1）证两组对 边分别平行；（2）证两组对边分

5、别相等； （ 3） 证一组对边平行且相等； （4）证对角线互相平 分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年 的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边F图1一、两组对边分别平行如图 1，已知 ABC 是等边三角形， D、E 分别在边 BC、AC上，且 CD=C，E 连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、 BE和CF（1） 请在图中找出一对全等三角形，并加以证 明；（2） 判断四边形 ABDF是怎样的四边形，并说明 理由。解：（1）选证 BDE FEC 证明： ABC是等边三角形， BC=A，C ACD=60°CD=C，E BD=AE， EDC是等边三角 形DE=E，

6、C CDE=DEC=60° BDE= FEC=120°又 EF=AE，BD=FE，BDE FEC （ 2）四边形 ABDF是平行四边形 理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF 都是等边三角形 CDE= ABC=EFA=60° ABDF，BDAF四边形 ABDF是平行四边形。 点评：当四边形两组对边分别被第三边 所截，易证截得的同位角相等，内错角 相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行， 从而四边形是平行 四边形二、一组对边平行且相等例2 已知：如图 2，在正方形 ABCD中， G 是 CD上一点，延长 BC 到 E，使 CE=CG， 连结 BG并延

7、长交 DE于 F（1） 求证： BCG DCE；（2） 将 DCE绕点 D 顺时针旋转 90°得 到 DAE，判断四边形 EBGD是什么 特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于 ABCD是正方形，所以 有 AB DC，又通过旋转 CE=AE已知 CE=CG， 所 以 EA=CG， 这 样 就 有 BE=GD，可证 E BGD是平行四边形。 解：（1） ABCD是正方形， BCD=DCE=90° 又 CG=CE， BCG DCE（2） DCE绕 D顺时针旋转 90°得到 DAE，CE=AE ， CE=CG， CG=AE ，四边形 ABCD是正方形 BE DG，AB

8、=CD AB-AE =CD-CG，即 BE=DG四边形 DEBG是平行四边形 点评：当四边形一组对边平行时，再证 这组对边相等， 即可得这个四边形是平 行四边形三、两组对边分别相等例3 如图 3 所示，在 ABC中，分别以 AB、 AC、BC为边在 BC的同侧作等边 ABD， 等边 ACE，等边 BCF。求证：四边形 DAEF是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF的两组对边分别相等， 从而四边形 DAEF是平行四边形。解： ABD和 FBC都是等边三角形 DBF+ FBA=ABC+ FBA=60° DBF= ABC又 BD=BA，BF=BC ABC DBFAC=D

9、F=AE 同 理 ABC EFC四边形 ADFE是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系 时，可证四边形的两组对边分别相等， 从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例 4 已知：如图 4 ，平行四边形 ABCD的对 角线 AC和 BD相交于 O，AE BD于 E，BFAC 于 F，CG BD于 G，DH AC于 H，求证：四 边形 EFGH是平行四边形。图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角 线引垂线， 这些条件与四边形 EFGH的对角 线有关，若能证出 OE=O，G OF=O，H 则问题 可获得解决。证明： AEBD， CGBD， AEO=CGO，AOE=COG，OA=OC

10、AOE COG同理 BOF DOHOF=OH四边形 EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关 时，可证两对角线互相平分，从而证四边 形是平行四边形。五、两组对角相等例 5 将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起四 边 形 ABCD是平 行 四边 形 吗？ 理 由。(1) 如图 2，将 Rt BCD沿射线 BD方向 平移到 Rt B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：分析：因为题设与四边形内角有关，故 考虑四边形的两组内角相等解决问题。 解：（1）四边形 ABCD是平行四边形， 理由如下： ABC=ABD+DBC=30

11、°+90°=120°ADC=ADB+CDB=90°+30°=120° 又 A=60°， C=60°， ABC=ADC，A=C（ 2）四边形 ABC1D1是平行四边形，理 由如下：将 Rt BCD 沿 射 线 方 向 平 移 到 Rt B1C1D1 的 位 置 时 ， 有 RtC1BB1RtADD1 C1BB1=AD1D， BC1B1=DAD1 有 C1BA=ABD+ C1BB1=C1D1B1+ A D1B=AD1C，1 BC1D1= BC1B1+B1C1D1= D1AD+DAB= D 1AB所以四边形 ABC1D1

12、是平行四边形点评：（ 2）也可这样证明：由（ 1）知ABCD是平行四边形， AB CD，将Rt BCD 沿 射 线 BD 方 向 平 移 到Rt B1C1D1 的 位 置 时 ， 始 终 有ABC1D1，故 ABC1D1是平行四边形。 判断平行四边形的策略 在学习了“平行四边形”这部分内容后， 对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方 面去考虑：一、考虑“对边”关系思路 1：证明两组对边分别相等例 1 如图 1 所示，在 ABC 中， ACB 90°，BC的垂直平分线 DE交 BC于 D，交 AB 于 E，F 在 DE上，并且 AFCE.求证：四边 形 ACEF是平行四边形 .证明：

13、 DE是 BC的垂直平分线，ABDC图 1）DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90DFAC .CE = AE = 1AB.2 1 = 2 .又 EF AC， AF = CE = AE ， 2 =1 =3 =F. ACE EFA.AC = EF .四边形 ACEF是平行四边形 . 思路 2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图 2，在 ABC中，ABAC，E是AB的中点， D在 BC上，延长 ED到 F，使ED = DF = EB. 连结 FC.AC求证：四边形 AEFC是平行 四边形.证明： ABAC， B=ACB.ED = EB， B = EDB. ACB =EDB. EF

14、AC.E是 AB的中点， BD = CD. EDB =FDC，ED = DF， EDB FDC. DEB =F.ABCF.四边形 AEFC是平行四边形 . 思路 3：证明一组对边平行且相等例 3 如图 3 ，已知平行四边形 ABCD中，E、 F 分别是 AB、CD上的点， AE = CF，M、N分别 是 DE、BF的中点 .求证：四边形 ENFM是平行四边形 . 证明：四边形 ABCD是平行四边形，AD = BC，A =C .又AE = CF， ADE CDB F.1 =2，DE = BF .FCNBM1EM、N分别是 DE、 BF的中A 点，EM = FN .DCAB，3 =2. 1 =3.

15、EM FN .四边形 ENFM是平行四边形 .二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等4例 4 如图 4 ，在正方形 ABCD中，点 E、F 分别是 AD、BC的中点 .求证：（1） ABE CDF；（2）四边形 BFDE是平行四边形 .证明：（1）在正方形 ABCD中， AB = CD， AD = BC，A =C = 90°， AE = 1 AD，CF =1BC，22AE = CF. ABE CDF.（2）由（1）ABECDF知，1 =2， 3 = 4.BED =DFB.在正方形 ABCD中， ABC =ADC，EBF =EDF.四边形 BFDE是平行四边形 .三、考虑“对角

16、线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例 5 如图 5，在平行四边形 ABCD中， P1 、P2 是对角线 BD的三等分点 .求证：四边形 AP1CP2是平行四边形 .证明：连结 AC交 BD于图 5 ）CO.四边形 ABCD是平行四边形，OA = OC，OB = OD.BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 .四边形 AP1CP2是平行四边形 . 平行四边形的识别浅析 平行四边形是初中数学中的基本图形，正 确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形 和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、 角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为 了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边 形，我们把这些条件总

17、结如下。1 利用定义或定理直接识别平行四边形1.1 两 组 对 边 分 别 平 行 ， 如 图 1,ABCD,ADBC。1.2 两 组 对 边 分 别 相 等 ， 如 图 1,AB=CD,AC=B。C1.3 两组对角分别相等， 如图 1, ABC= ADC,BAD= BCD。1.4 一 组 对 边 平 行 且 相 等 ， 如 图1,ABCD,AB=C。D1.5 两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=O。D2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图1,ABCD,ABC=ADC。证明：ABCD ABC+ BCD=180°又ABC=ADC ADC B

18、CD 180°ADBC 四边形 ABCD是平行四边形 （两组 对边分别平行 ）2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分 一条对角线，如图 1, AB CD，OA=O。C证明： ABCD BAC= DCA 在 AOB和COD中， BAC=DCA， OA=OC， AOB=COD AOB COD（ASA）AB=CD 四边形 ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个 公共角，如图图2形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一图4E1,DAB+ABC=180°,ABC+BCD=180°。证明： DAB+ABC=180°

19、 ADBC 又 ABC+BCD=180°ABCD 四边形 ABCD是平行四边形（两组对边平行）3不能识别为平行四边形3.1 两组不同的邻角互补，如图 2,A+B=180°, C+D=180°, 可以画出梯形。3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相 等，如图 3, AB=AD,CB=CD不, 一定是平行四边 形。两对邻角相等，如图 4, A=D,B=C, 可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图 4,ADBC,AB=CD也, 可以画出等腰梯 定是平行四边形。反例作

20、图方法 , 如图 5：作 ABC,在边 BA 上确定点 A,在边 BC上确定点 C,过点 A、B、C作 O1,以点 C为圆心，以 线段 AB长为半径作 C, 以 AC为弦作 O1的 等圆 O2,交 C于 D、E 两点，则四边形 ABCD 为平行四边形， 而四边形 ABCE即为符合条件的 非平行四边形，即 AB=CE, ABC= AEC。3.5 一组对边相等，对角线交点3.5 一组对边相等，对角线交点 平分一条对角线，不一定是平行四边 A 形。反例作图方法 ,如图 6：作线段O H I DB图 6AB,过线段 AB 的中点 O 作直线CD,过点 B作 BECD,垂足为 E, 以点 E为圆 心，小

21、于线段 OE的长为半径作 E, 交 CD于 F、 G两点，以点 A为圆心， BF长为半径作 A, 交直线 CD于 H、I 两点，则四边形 AGBH和四边 形 AFBI 为平行四边形，而四边形 AGBI 和四边 形 AHBF即为符合条件的非平行四边形， 如在四 边形 AGBI中， AI=BG,OA=O。B 说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可 以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思 路进行说明一、当已知条件出现在四边形的一组对边 上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的 四边

22、形是平行四边形”或“一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形”例 1 如图 1，在 ABC中， AD是角的平分 线， DE/AC交 AB于点 E，EF/BC 交 AC于点 F， 试说明 AE=CF图1分析：由 AD是角的平分线，可知 1=2， 由 DE/AC，可知 2= 3，所以 1=3，即可 得 AE=ED，要说明 AE=CF，可转化为说明 ED=EC， 因此，只需说明四边形 EDCF是平行四边形就可 以了解：因为 1=2，2=3，所以1=3， 所以 AE=ED，又因为 DE/AC，EF/BC，所以四边形 EDCF是平 行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行 四边形）所以 ED=C，F 所

23、以 AE=CF二、当已知条件出现在四边形是对角上时， 考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行 四边形”例2 如图 2，AE、CF分别是 ABCD 的内 角 DAB、BCD的平分线，试说明四边形 AECF 是平行四边形图2解：在 ABCD 中，因为 DAB=BCD， 又因为 1= 1 DAB， 2= 1 BCD，22所以， 1=2，因为 AB/CD，所以 3=1， 4=2， 所以 3=4，所以 5=6， 所以四边形 AECF是平行四边形三、当已知条件出现在四边形的对角线上 时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形 是平行四边形”例 3 如图 3，在 ABCD中，AC、BD相交于 O，EF过 O

24、分别交 AD、BC于 E、F，GH过 O分别 AB、 CD交于 G、H试说明四边形 EGFH是平行 四边形解：在 ABCD中，因为 AB/CD，所以1=2， 因为 OA=O，C 3=4，所以AOG COH，所以 OG=O，H同理 OE=O，F所以四边形 EGFH是平行四边形 构造平行四边形解题 山东 邹殿敏 平行四边形是一种特殊的四边形，它的对 边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 许 多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四 边形加以解决一、求线段的长例如图 1，在正 ABC中，P为边 AB上一 点，Q为边 AC上一点，且 AP=CQ 今量得 A点 与线段 PQ的中点 M 之间的距离是 1

25、9cm，则 P 点到 C点的距离等于cm 分析：作 QD/AB，交 BC于点 D，连接 PD， MD由 ABC为正三角形，易知 BP=BD，AP=DQ， A 所以四边形 APDQ为平行四边形 所以 AMD是平Q行 四 边 形 APDQ 的M对 角 线 所 以AD=2A=M2×19=38（ cm）由ABD CBP可得. B DC图1PC=AD所以 PC=38cm二、证明线段相等问题例 2 如图 2，在梯形 ABCD中，图2 AB=CD，延长 CB到 E，使 EB=AD，连接 AE求证：AE=AC分析：连接 BD由 AD与 BE平行且相等， 易知四边形 AEBD是平行四边形，所以 BD=AE因 为 AC=B，D 所以 AE=AC三、证明线段和差问题例 3 如图 3，ABC中，D，F是 AB边上两 点，且 AD=BF，作 DE/BC，FG/BC，分别交 AC 于点 E，G求证： DE+