系统函数零、极点分布决定时域特性

1、1序言序言H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应强迫响应特性的对应4.7 系统函数零、极点分布决定时域特性 信号与系统 Signals and Systems2拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图及零极点图2( )( )( )ttx te u te u t例例.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2j3可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行

2、于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根对应的。的分母的根对应的。j( )X sRe 1s 若若 是有理函数是有理函数( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ssj2121123( )1232sX sssss4 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。 将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在 S 平面上平面上就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相

3、差一个常数因子数因子 。 因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。 把系统的零、极点画到把系统的零、极点画到S S平面上的示意图称平面上的示意图称为为系统函数的零极点图系统函数的零极点图。系统的零极点决定着。系统的零极点决定着系统的特性。系统的特性。( )X s( )X s( )X sM5一问题的引出一问题的引出 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了从时域和变换域两方面表征了同一系统的同一系统的特性特性。从本质上讲从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点分系统的特性是由系统的零、极点分布决定的布决定的。 在在s域域分析中，

4、分析中，系统的零极点决定着系统的特性系统的零极点决定着系统的特性。借助系统借助系统函数在函数在s平面平面零、极点零、极点的分布情况，可以简明、直观地给出系的分布情况，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的统响应的许多规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。数的零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。6二二H(s)H(

5、s)零、极点与零、极点与h(t)h(t)波形特征的对应波形特征的对应)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系统统函函数数的的零零点点 ,21nzzz 系系统统函函数数的的极极点点 ,21nppp 在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示，表示，零点：用零点：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(1系统函数的零、极点72H(s)极点分布与原函数的对应关系零、极点与冲激响应零、极点与冲激响应 冲激响应与系统函数的关系为冲激响应与系统函数的关系为(设设H(s)具有单极点具有单极点)

6、 冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定。冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定。 pi 称为系统的自然频率或固有频率。称为系统的自然频率或固有频率。 H(s)的零极点与的零极点与h(t)的时域波形：的时域波形：tpniiniiiieKpsKsHth1111)()(8一阶极点一阶极点在原点，在原点，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)( , 0),()(, , 0),()(, , 0指数增加指数增加在右实轴上在右实轴上指数衰减指数衰减在左实轴上在左实轴上 atuethatuethaatat在虚轴上在虚轴上,)(122 jpssH )(sin)(，等幅振荡，

7、等幅振荡ttuth ,)()(22 ssH共轭根共轭根,21 jpjp 当当 ，极点在左半平面，衰减振荡，极点在左半平面，衰减振荡当当 ，极点在右半平面，增幅振荡，极点在右半平面，增幅振荡0 0 ( )sin( ) th tet u t9二阶极点二阶极点,1)(2极点在原点极点在原点ssH )(,),()(thtttuth极点在实轴上，极点在实轴上，,)(1)(2assH 0)(, 0),()( thttutetht 在虚轴上，在虚轴上，,)(2)(222 sssH增幅振荡增幅振荡 )(,),(sin)(thtttutth 有实际物理意义的物理系统都是有实际物理意义的物理系统都是因果系统因果系

8、统，即随，即随 ， 表明的极点位于表明的极点位于左左半平面，由此可知，收半平面，由此可知，收敛域敛域包括虚轴包括虚轴， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只需需 将即可。将即可。 , t)(sH )( jFsF和和 js 0th10几种典型情况：系统函数的零、极点分布确定系几种典型情况：系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应模式：统的冲激响应模式： jO 0 j0 j 11要点要点：1. 系统函数位于系统函数位于s平面平面左半平面的极点左半平面的极点对应的是对应的是衰减衰减的的冲激响应波形；冲激响应波形；(系统是稳定的）系统是稳定的）2. 系统函数位于系统函数位于s平面平面右半平面的

9、极点右半平面的极点对应的是对应的是增长增长的的冲激响应波形；冲激响应波形；3. 系统函数位于系统函数位于s平面平面虚轴上的极点虚轴上的极点对应的是对应的是等幅振荡等幅振荡或直流或直流的冲激响应波形（的冲激响应波形（单极点单极点）；）； 重极点时，冲重极点时，冲激响应为增幅响应。激响应为增幅响应。 需强调说明的是：需强调说明的是：系统函数系统函数H(s)的零点分布影响着的零点分布影响着单位冲激响应的幅值和相位，但不影响冲激响应的单位冲激响应的幅值和相位，但不影响冲激响应的模式。模式。三三H(s) H(s) 、E(s)E(s)的极点分布与自由响应、的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应强迫响应特

10、性的对应激励：激励：)()(sEte vkkullPszssE11)()()(系统函数：系统函数：)()(sHth niimjjPszssH11)()()(响应：响应：)()(sRtr niimjjpszs11)()( vkkkpsA1 )()(1sRLtr自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量 vkkullPszs11)()( )(sR niiipsA1 )(sR vktpktueAk1)( nitpitueAi1)(13几点认识自由响应自由响应的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都

11、有关。 sEsHAAki,与与响应函数响应函数r(t)由两部分组成：由两部分组成：系统函数系统函数的极点的极点自由自由响应分量；响应分量；激励函数激励函数的极点的极点强迫强迫响应分量。响应分量。定义定义系统特征方程的根为系统的系统特征方程的根为系统的固有频率固有频率（或称（或称“自然频率自然频率”、“自由频率自由频率”）。）。H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时，某些固有频率将丢失。14u系统函数系统函数H(s)H(s)只能用于研究零状态响应，包含了只能用于研究零状态响应，包含了系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息。含