两条直线的夹角

1、 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角设置数学情境 有一次罗马帝国派军舰入侵希腊有一次罗马帝国派军舰入侵希腊,由于常年战争由于常年战争,留下的尽是留下的尽是些老人、妇女和孩子。这些人眼睁睁的看着敌舰上拿着闪亮战刀些老人、妇女和孩子。这些人眼睁睁的看着敌舰上拿着闪亮战刀的士兵越来越近，大家急得惊惶失措。大科学家阿基米德也在其的士兵越来越近，大家急得惊惶失措。大科学家阿基米德也在其中，他站在一块大石头上大喊：不要慌！快回家去把你们家里的中，他站在一块大石头上大喊：不要慌！快回家去把你们家里的镜子全拿来，大家不明白镜子和打仗有什么关系，但知道阿基米镜子全拿来，大家不明白镜子和打仗有什么关系，但知

2、道阿基米德是希腊最聪明的人，就赶紧回家拿来了上千面镜子。阿基米德德是希腊最聪明的人，就赶紧回家拿来了上千面镜子。阿基米德指挥大家把镜子排开，把照射在镜子上的火辣辣的太阳光反射到指挥大家把镜子排开，把照射在镜子上的火辣辣的太阳光反射到第一艘军舰的步帆上，步帆轰的一下就起火了，接着又把镜子上第一艘军舰的步帆上，步帆轰的一下就起火了，接着又把镜子上的阳光反射到第二艘军舰的步帆上，第二艘也起火了，风借火势，的阳光反射到第二艘军舰的步帆上，第二艘也起火了，风借火势，烧的罗马士兵焦头烂额烧的罗马士兵焦头烂额,纷纷跳河逃命，余下的军舰被这个场景纷纷跳河逃命，余下的军舰被这个场景吓坏了赶紧掉头逃窜。海岸上的人

3、们欢呼着：胜利了，胜利了！吓坏了赶紧掉头逃窜。海岸上的人们欢呼着：胜利了，胜利了！ 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角提出数学问题1:250lxy :327 0lxy 如果入射光线的直线方程为如果入射光线的直线方程为镜面所在直线的方程为镜面所在直线的方程为 ，你能求反射，你能求反射光线的方程吗？光线的方程吗？ 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角两条相交直线的两条相交直线的夹角夹角: :我们规定两条相交直线所成的我们规定两条相交直线所成的锐角或直角锐角或直角为两条相交直线为两条相交直线的的夹角夹角。如果两条直线平行或重合如果两条直线平行或重合,

4、 ,我们我们规定它们的夹角为规定它们的夹角为0 0平面上两条直线夹角的范围平面上两条直线夹角的范围: :0,2oxy解决数学问题11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角coscos如图如图1)1)所示时所示时: :如图如图2)2)所示时所示时: :于是得于是得: : 的夹角为的夹角为 ; ;方向向量方向向量 的夹角为的夹角为1l、2l1d 、2d 两直线两直线oxy1)1d2d1l2l解决数学问题1d2d2)oxy1l2l 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角解解:根据根据 与与 的方程的方程,取取1l2l111(,),db a 222(,)db a 为为 与与 的方向向量的方向向量.1l

5、2l由向量的夹角公式得由向量的夹角公式得:121 21 22222121122cosd daabbd dabab 所以两直线的夹角公式所以两直线的夹角公式:1 21 222221122cosaabbabab问题问题:此时角此时角 是唯一确定的吗是唯一确定的吗?解决数学问题0:1111cybxal0:2222cybxal二条直线：二条直线：( (其中其中 不同时为零不同时为零; ; 不同时为零不同时为零) )11ab、22ab、直线夹角直线夹角 的大小的大小.求两求两问题一问题一:coscos由由 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角解解: :根据根据 与与 的方程的方程, ,取取1l2l1

6、1(1,),dk 22(1,)dk 为为 与与 的方向向量的方向向量.1l2l可以求得两直线的夹角公式为可以求得两直线的夹角公式为: :1222121cos11k kkk解决数学问题注：当其中一条直线的斜率不存在注：当其中一条直线的斜率不存在时不适用上述公式，此时夹角的大时不适用上述公式，此时夹角的大小为两条直线倾斜角差的绝对值。小为两条直线倾斜角差的绝对值。已知两条直线的点斜式方程已知两条直线的点斜式方程:11112222:(),:()lyyk xxlyykxx求两条直线的夹角求两条直线的夹角.问题二问题二: 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角2两直线垂直时两直线垂直时:1 21 2c

7、os00aabb 即当直线和垂直时即当直线和垂直时:1l2l121kk 解决数学问题从上述公式从上述公式, ,当两直线垂直时，你能得到什么事实当两直线垂直时，你能得到什么事实? ?问题三问题三:反过来反过来, ,也成立。也成立。 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角应用数学知识1.1.已知两直线方程分别为已知两直线方程分别为1:320,lxy2:230lxy求两直线的夹角求两直线的夹角1l2l解解:根据根据 与与 的方程及两直线夹角公式可得的方程及两直线夹角公式可得:22223 2 1 ( 1)2cos2( 1)312 即直线和的夹角为即直线和的夹角为1l2l4因为因为 , ,所以所以02

8、，411.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角练习与评价22arccos1aa 22 2、已知直线、已知直线 1:1(1)lya x 21:(2)lyxa其中其中 且且 ，求直线，求直线 与与 的夹角。的夹角。aR0a 1l2l1 1、求下列直线的夹角。、求下列直线的夹角。12(1) :310,:340lxylxy 12(2):10,:2lxylx4 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角0l. .已知直线经过点，且与直线：已知直线经过点，且与直线：l( 2, 3)P 320 xy的夹角为，求直线的方程。的夹角为，求直线的方程。3l因为两直线夹角为因为两直线夹角为 ，3）当直线斜率存在时，设直

9、线方程为）当直线斜率存在时，设直线方程为3(2)yk x即即230kxyk应用数学知识解解:( 2,3)poxy 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角应用数学知识法二：设直线的一个法向量为法二：设直线的一个法向量为 ,则直线则直线的点法向式方程为的点法向式方程为(2)(3) 0a xbx ( , )na bl整理得整理得:230ax byab 因为因为 与与 的夹角为的夹角为 ,由两直线夹角公式得：由两直线夹角公式得：l0l3由由）、）、）可知，方程为）可知，方程为 或或310 xy 20 x）直线斜率不存在时，验证知）直线斜率不存在时，验证知 也满足题意也满足题意20 x得直线方程为得直

10、线方程为310 xy 231cos3241kk所以有所以有解得解得33k 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角当当 时直线时直线 的方程为的方程为0bl2 0 x 当当 时直线时直线 的方程为的方程为0b l31 0 xy 所以直线所以直线 的方程为的方程为 或或2 0 x 31 0 xy l整理得整理得:223abab211 13bab即即:2231cos321 3abab 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角解决课前的光线问题：解决课前的光线问题：应用数学知识由直线由直线 与与 相交相交,解方程组解方程组2503270 xyxy1ll得交点坐标为得交点坐标为:(-1,2)设反射光线

11、的法向量为设反射光线的法向量为( , )(na b a b、 不同时为零）故可设反射光线故可设反射光线 的方程为的方程为2l(1)(2) 0a xb y 由光的反射定律可知由光的反射定律可知, 与与 、与、与 的夹角相等的夹角相等,由两直由两直线的夹角公式可得：线的夹角公式可得：1lll2l222222221 3 ( 2) ( 2)3( 2)1( 2)3( 2)3( 2)abab 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角2232751313abab即即22460290aabb化简整理得：化简整理得：(2)(229 )0abab即即（1）当）当 时，由时，由a、b不同为零，可知不同为零，可知2b

12、a0,0ab求得直线方程为求得直线方程为 ，是入射光线方程，故舍去。，是入射光线方程，故舍去。1l（2）当）当 时，求得直线时，求得直线 的方程为的方程为229ab29233 0 xy2l课后思考课后思考: :试试看试试看, ,此题还有没有其他解法此题还有没有其他解法? ? 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角逐渐减弱回顾与总结 1111:0la xb yc2222:0la xb yc1. 1. 二条直线：二条直线：( (其中其中 不同时为零不同时为零; ; 不同时为零不同时为零) )11ab、22ab、 (1) (1)两直线的夹角公式两直线的夹角公式: :121222221122cosa

13、 ab babab2.2.当直线和垂直时当直线和垂直时: :1l2l121k k (2)(2)两直线斜率都存在时，两直线斜率都存在时，或一个斜率不存在，另一个斜率为零或一个斜率不存在，另一个斜率为零. .(2)(2)当两条直线的斜率都存在时当两条直线的斜率都存在时, ,两直线的夹角公式两直线的夹角公式: :1222121cos11k kkk当其中一条直线的斜率不存在时夹角的大小为当其中一条直线的斜率不存在时夹角的大小为两条直线倾斜角差的绝对值。两条直线倾斜角差的绝对值。1 21 20aabb(1) 11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角探究与思考已知两条直线已知两条直线 ，其，其中中 是实数，当两条直线的夹角在是实数，当两条直线的夹角在 内变动时，求内变动时，求 的取值范围。的取值范围。12:, :0lyx laxy (0,)12aa11.3-2两条直线的夹角两条直线的夹角作业与拓展1、已知直线、已知直线 经过原点，且与直线经过原点，且与直线 的夹的夹l31yx角为角为 , 则直线则直线 的方程是的方程是 。030l2、若直线、若直线 与与 的斜率分别是二次方程的斜率分别是二次方程 的两个根，那么的两个根，那么直线直线 与与