直线和椭圆相交 求过定点的动弦中点的轨迹方程 Word版含解析(数理化网)_第1页
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1、-作者xxxx-日期xxxx直线和椭圆相交 求过定点的动弦中点的轨迹方程 Word版含解析(数理化网)【精品文档】今天我们研究直线和椭圆相交过定点的动弦中点的轨迹方程。当定点在椭圆上，可以用点差法或相关点法求轨迹方程。当定点在椭圆外，可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程，此时一定要验证直线与椭圆相交的条件，并求出变量的取值范围。先看例题：例：过椭圆上一点P(-8，0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解：设弦中点M（），Q（），由，可得，又因为Q在椭圆上，所以有，所以中点M轨迹方程为：，所以PQ中点M的轨迹方程为 （）。注意：PQ两点不会重合，所以M不会取到(-8,0)点。规律整理：（

2、1）当定点在椭圆上，可用相关点法，求椭圆上点P作直线交椭圆于Q点，PQ中点的轨迹方程。思路：设弦中点M（），Q（），又因为Q在椭圆上，代入椭圆方程整理得轨迹方程。（2）当定点在椭圆外，求过点P作直线交椭圆于A、B，求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。思路：验证直线与椭圆相交，联立方程，整理为一元二次方程，在时，求出x或y的取值范围。（3）先验证斜率不存在的情况是否符合题意。再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆，过点引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。解：先判断斜率不存在的情况，即直线x=2，与椭圆无交点。即当不存在时，不满足题设要求。则可设过点的直线方程为，联立方程，消去，整

3、理得，因为直线与椭圆相交，所以解得设弦的两个端点为、，中点，则由韦达定理知：，反表示为：，由上述求得k2的范围，则有，解得。由直线方程，两边平方得代入有，即求得轨迹方程为：注意：（1）过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆外的时候一定要验证直线与椭圆相交的条件，并求出（或）的取值范围；（2）验证斜率不存在的情况是否符合题意。总结：1.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆上，可以用点差法或相关点法求轨迹方程。2.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆外，可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程，此时一定要验证直线与椭圆相交的条件，并求出（或）的取值范围。练习：1.过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，用点差法求PQ中点的轨迹方程。2.已知椭圆，过点引椭圆的割线，用点差法求求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。3.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).(1)求该椭圆的标准方程;(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.答案：1. 解：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相减得，又因为，所以，所以，而，故。化简可得 （）。2. 解：设弦的两个端点为、，中点，则两式相减得，整理得，由题意知，所以，又，所以，整理得。过点的直线方程为，

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