中南大学概率论第1章第6讲

1、概率论概率论中南大学数学院中南大学数学院概率统计课程组概率统计课程组 人们在计算某一较复杂的事件的概率时，人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和容的部分的并，分别计算概率，然后求和. .全全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决以解决. . 1.5(续续)全概率公式全概率公式例例6 人们为了了

2、解一支股票未来一定时期内价人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化比如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率现在假设人们经分析估计利率下调的概率为下调的概率为60%,利率不变的概率为利率不变的概率为40%. 根根据经验据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股，求该支股票将上涨的概率。票将上涨的概率。%)A(P60%)A(P

3、40%,80)(ABP%,40)(ABP)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP于是于是=60%80%+40%40%=64% 定义定义 事件组事件组A1，A2，An (n可为可为 )，称为，称为样本空间样本空间S的一个划分的一个划分，若满足：，若满足：AnBA1A2.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniifU设随机事件设随机事件BAAAn以及,21 , 2, 103nAPn 或 21SAnnU；U1nnAB 两两互不相容；nAAA,121满足满足：则有则有)|()()(1nnNABPAPBP 例例1 某小组有某小组有20名射手，其中一、

4、二、三、名射手，其中一、二、三、四级射手分别为四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率中射中目标的概率 41nnABPnAPBP32. 020345. 020964. 020685. 02025275. 0由全概率公式，有该小组在比赛中射中目标该小组在比赛中射中目标解：设解：设B4321，i级射手参加比赛选选iiA设设是随机试验是随机试验E的

5、样本空间的样本空间,事件事件组组 A1,A2,An满足满足:), 2 , 1(0)(,)2();() 1 (1niAPAjiAAiinijif贝叶斯贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式公式),.,2 , 1()|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上述公式称为贝叶斯公式上述公式称为贝叶斯公式则对于任何一个正概率事件则对于任何一个正概率事件B B，有，有 例例2 每箱产品有每箱产品有10件件,其中次品数从其中次品数从0到到2是是等可能的等可能的.开箱检验时开箱检验时,从中依次抽取两件从中依次抽取两件(不不重复重复),如果发现有次品如果发现有次品,则拒收该箱产品则

6、拒收该箱产品.试试计算计算:(1)一箱产品通过验收的概率一箱产品通过验收的概率;(2)已知已知该箱产品通过验收该箱产品通过验收,则该箱产品中有则该箱产品中有2个次品个次品的概率。的概率。.);,(该箱产品通过验收件次品箱中有设BiiAi210);,()(,);(2103120iAPAjiAAiiiji且则f f.)|(;)|(; 1)|(2102822102910CCABPCCABPABP解解257. 0807. 031)()|()()|()2(21028222CCBPABPAPBAP807. 031311312102821029CCCC P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|

7、A1)+P(A2)P(B|A2)B1BnAB1AB2ABn jiniiBBBU1)(1jiniiABABABAU niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP 全概率公全概率公式式ABayes公式公式)(ABPk)()(APABPk niiikkBAPBPBAPBP1)()()()( 全概率公式与全概率公式与Bayes Bayes 公式公式B2例例3 由于随机干扰由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号在无线电通讯中发出信号“ ”, 收到信号收到信号“ ”,“不清不清”,“ ” 的概率的概率分别为分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号发出信号“ ”,收到收到“ ”,“不清不清”,

8、“ ”的概率分别为的概率分别为0.0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中已知在发出的信号中, “ ”和和“ ”出现出现的概率分别为的概率分别为0.6 和和 0.4 , 试分析试分析, 当收到信号当收到信号“不清不清”时时, 原发信号为原发信号为“ ”还是还是“ ”的的概率概率 哪个大？哪个大？解解: : 设原发信号为设原发信号为“ “ ” ” 为事件为事件 B1 1 原发信号为原发信号为“ “ ” ”为事件为事件 B2 2收到信号收到信号“不清不清”为事件为事件 A已知：已知：4 . 0)(, 6 . 0)(21 BPBP 2121,BBBBA1 . 0)(, 2 . 0)(21 BAPB

9、AP16. 0)()()()()(2211 BAPBPBAPBPAP41)()()()(,43)()()()(222111 APBAPBPABPAPBAPBPABP可见可见, , 当收到信号当收到信号“不清不清”时时, , 原发信号为原发信号为“ “ ” ”的可能性大的可能性大例例 4 用某种方法普查肝癌，设：用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患癌用此方法判断被检查者患癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌 ，现有一人用此法检验患有肝癌，求此人现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率真正患有肝癌的概率90. 0,95. 0DAPDAP已知已知而且已知：而