二次函数与最大利润

1、已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于轴交于A A（x x1 1，0 0）、）、B B（x x2 2，0 0）两点。利用一元二次方程）两点。利用一元二次方程根与系数的关系，求证：根与系数的关系，求证：AB= AB= |42aacb w顶点式顶点式,对称轴和顶点坐标公式对称轴和顶点坐标公式:w利润利润=售价售价-进价进价.驶向胜利的彼岸回味无穷二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的性质的性质abacab44,22.44222abacabxayw总利润总利润=每件利润每件利润销售数量销售数量.abx2直线何时橙子总产量最

2、大何时橙子总产量最大w1.1.某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树, ,每一棵树每一棵树平均结平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些现准备多种一些橙子树以提高产量橙子树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那么树之间的距离和每一棵树所接那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少受的阳光就会减少. .根据经验估计根据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子. .增种多少棵橙子树时增种多少棵橙子树时, ,总产总产量最大量最大? ? 做一做做一做P35驶向胜利的彼岸w如果设果园增种如果设果园增种x x棵橙子

3、树棵橙子树, ,总产量为总产量为y y个个, ,则则xxy56001006000010052xx.605001052xw设销售价为设销售价为x x元元(x13.5(x13.5元元),),利润是利润是y y元元, ,则则T T恤衫恤衫何时获得最大利润何时获得最大利润 w2.2.某商店经营某商店经营T T恤衫恤衫, ,已知成批购进时单价是已知成批购进时单价是2.52.5元元. .根据市场调查根据市场调查, ,销售量与单价满足如下关系销售量与单价满足如下关系: :在一时在一时间内间内, ,单价是单价是13.513.5元时元时, ,销售量是销售量是500500件件, ,而单价每降而单价每降低低1 1元

4、元, ,就可以多售出就可以多售出200200件件. .当销售单价为多少元时当销售单价为多少元时, ,可以获得最大利润可以获得最大利润, ,最大利润是多少元？最大利润是多少元？做一做做一做P59驶向胜利的彼岸xxy5.132005005.2800037002002xx.5.911225.92002x日用品何时获得最大利润 w3.3.某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如果以单如果以单价价3030元销售元销售, ,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销根据销售经验售经验, ,提高单价会导致销售量的减少提高单价会导致销售量的减少,

5、,即销售单价即销售单价每提高每提高1 1元元, ,销售量相应减少销售量相应减少2020件件. .如何提高售价如何提高售价, ,才才能在半个月内获得最大利润能在半个月内获得最大利润? ?随堂练习随堂练习P60 驶向胜利的彼岸w设销售价为设销售价为x元元(x30元元), 利润为利润为y元元,则则202040020 xxy20000140202xx.450035202x纯牛奶何时利润最大纯牛奶何时利润最大w6.6.某商场销售某种品牌的纯牛奶某商场销售某种品牌的纯牛奶, ,已知进价为每箱已知进价为每箱4040元元, ,生产厂家要求每箱售价在生产厂家要求每箱售价在4040元元7070元之间元之间. .市

6、场调查发现市场调查发现: :若每箱发若每箱发5050元销售元销售, ,平均每天可售出平均每天可售出9090箱箱, ,价格每降低价格每降低1 1元元, ,平均每天多销售平均每天多销售3 3箱箱; ;价格每升高价格每升高1 1元元, ,平均每天少销平均每天少销售售3 3箱箱. . 数学专页数学专页P14驶向胜利的彼岸w(1)(1)写出售价写出售价x(x(元元/ /箱箱) )与每天所得利润与每天所得利润w(w(元元) )之间的函之间的函数关系式数关系式; ;w(2)(2)每箱定价多少元时每箱定价多少元时, ,才能使平均每天的利润最大才能使平均每天的利润最大? ?最最大利润是多少大利润是多少? ?xx

7、y50390)40(.12006032x960036032xx目标与检测目标与检测P5150390)40(xxy或日用品何时获得最大利润 w3.3.某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如果以单如果以单价价3030元销售元销售, ,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销根据销售经验售经验, ,提高单价会导致销售量的减少提高单价会导致销售量的减少, ,即销售单价即销售单价每提高每提高1 1元元, ,销售量相应减少销售量相应减少2020件件. .如何提高售价如何提高售价, ,才才能在半个月内获得最大利润能在半个月内获得最大利润? ?

8、驶向胜利的彼岸w设销售价为设销售价为x元元(x30元元), 利润为利润为y元元,则则202040020 xxy20000140202xx.450035202xw设旅行团人数为设旅行团人数为x人人,营业额为营业额为y y元元, ,则则旅行社何时营业额最大旅行社何时营业额最大w1.1.某旅行社组团去外地旅游某旅行社组团去外地旅游,30,30人起组团人起组团, ,每人单价每人单价800800元元. .旅行社对超过旅行社对超过3030人的团给予优惠人的团给予优惠, ,即旅行团每增即旅行团每增加一人加一人, ,每人的单价就降低每人的单价就降低1010元元. .你能帮助分析一下你能帮助分析一下, ,当当旅

9、行团的人数是多少时旅行团的人数是多少时, ,旅行社可以获得最大营业额？旅行社可以获得最大营业额？3010800 xxy.3025055102xxx1100102w 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如果以单价如果以单价3030元销售元销售, ,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销售经验根据销售经验, ,提提高单价会导致销售量的减少高单价会导致销售量的减少, ,即销售单价每提高即销售单价每提高1 1元元, ,销销售量相应减少售量相应减少2020件件. .售价售价提高多少元时提高多少元时, ,才能在半个月内才能在半个月内获得最

10、大利润获得最大利润? ?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板牛刀小试：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤的一般步骤 : :求出函数解析式和自变量的取值范围求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必检查

11、求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内须在自变量的取值范围内 。1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出2件。件。（1）若商场平均每天要盈利）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬元，每件衬衫应降价多少元？衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平

12、均每天盈）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？利最多？销售问题例例4、 某商场以每件某商场以每件30元的元的 价格购进一种商品价格购进一种商品,试销中发现试销中发现,这种商品每天的销售量这种商品每天的销售量m(件件)与每与每件的销售价件的销售价x(元元)满足一次函数满足一次函数:m=1623x. (1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与与每件的销售价每件的销售价x间的函数关系式间的函数关系式（2）如果商场要想每天获得最大利润）如果商场要想每天获得最大利润,每件商每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少

13、？少？4.某商场购进一批单价为某商场购进一批单价为1616元的日用品，销售元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件提高销售价格，经试验发现，若按每件2424元的元的价格销售时，每月能卖价格销售时，每月能卖240240件，若按每件件，若按每件3030元元的价格销售时，每月能卖的价格销售时，每月能卖6060件。若每月销售件件。若每月销售件数数y y（件）与价格（件）与价格x x（元（元/ /件）满足件）满足y=kx+by=kx+b，（1 1）确定）确定k k与与b b的值，并指出的值，并指出x x的取值范围；

14、的取值范围；（2 2）为了使每月获得利润为）为了使每月获得利润为14401440元，问商品元，问商品应定价为每件多少元？应定价为每件多少元？（3 3）为了获得最大的利润，商品应定为每件）为了获得最大的利润，商品应定为每件多少元？多少元？ 某宾馆有某宾馆有50个房间供游客居住，当每个个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天房间的定价为每天180元时，房间会全部住元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加满。当每个房间每天的定价每增加10元时，元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用元的

15、各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？房价定为多少时，宾馆利润最大？解：设每个房间每天增加解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为元，宾馆的利润为y元元Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)Y=-1/10 x2+34x+8000例例2某饮料经营部每天的固定成本为某饮料经营部每天的固定成本为200元元,其销售的饮料其销售的饮料每瓶进价为每瓶进价为5元。销售单价与日均销售量的关系如下元。销售单价与日均销售量的关系如下销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶) 480 440 400 360 320 280 240(1)若记销售单价比每瓶进价多若

16、记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润元时，日均毛利润(毛利润售价进价固定成本毛利润售价进价固定成本)为为y元，求元，求y关于关于x的函数解析式和自变量的取值范围；的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元少元(精确到精确到0.1元元)？最大日均毛利润为多少？最大日均毛利润为多少？销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶)480440400360320280240 480 405 6520 40 xx 例例2某饮料经营部每天的固定成本为某饮料经营部每天的固定成本为200元元,其销

17、售的饮料每瓶进价为其销售的饮料每瓶进价为5元。销售元。销售单价与日均销售量的关系如下单价与日均销售量的关系如下(1)若记销售单价比每瓶进价多若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润元时，日均毛利润(毛利润售价进价固定毛利润售价进价固定成本成本)为为y元，求元，求y关于关于x的函数解析式和自变量的取值范围的函数解析式和自变量的取值范围解解:(1)由题意由题意,销售单价每增加销售单价每增加1元元,日均销售量就减少日均销售量就减少40瓶瓶.当销售当销售单价比进价多单价比进价多X元时元时,与销售单价与销售单价6元时相比元时相比,日均销售量为日均销售量为 瓶瓶.由5 2 0 - 4 0 x0 ，得x1

18、 3013x 200所以所求的函数解析式为y=x 520-40 x21 34 01 4 9 02x520200 013xx2即 y=-40 x销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶)480440400360320280240213401490 0132yxx 149013当 x=时 ， 函 数 y达 到 最 大 值2例例2某饮料经营部每天的固定成本为某饮料经营部每天的固定成本为200元元,其销售的饮料每瓶进价为其销售的饮料每瓶进价为5元。销售元。销售单价与日均销售量的关系如下单价与日均销售量的关系如下(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元若要使日均

19、毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到精确到0.1元元)？最大日均毛利润为多少？最大日均毛利润为多少？解解:(2)由第由第(1)题题,得得1 301 32xx而满足当销售单价定为11.5元时，日均毛利润最大，为1490元答答:若要使日均毛利润达到最大若要使日均毛利润达到最大,销售单价应定为销售单价应定为11.5元元,最大日均毛利润为最大日均毛利润为1490元元. 问题问题1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件 60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调件。市场调查反映：如果调整价格整价格 ，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖

20、出元，每星期要少卖出10件。件。要想获要想获得得6090元的利润，该商品应定价为多少元？元的利润，该商品应定价为多少元？ 6000 （20+x）（300-10 x） (20+x)( 300-10 x) (20+x)( 300-10 x) =6090 自主探究分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。 已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件 60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：件。市场调查反映：如果调整

21、价格如果调整价格 ，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获得要想获得6090元的利润，该商品应定价元的利润，该商品应定价为多少元？为多少元？ 若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6090问题问题2.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元，元，售售价价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。市件。市场调查反

22、映：如调整价格场调查反映：如调整价格 ，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件。件。该商品应定价为多该商品应定价为多少元时，商场能获得少元时，商场能获得最大利润最大利润？合作交流问题问题3.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格 ，每每降价降价一元，一元，每星期可每星期可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润利润最大最大？问题问题4.4.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格 ，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最大？解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10