空间向量及其加减与数乘运算PPT课件

1、复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD第1页/共32页2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)k向量的数乘a第2页/共32页3、平面向量的加法、减法与数乘运算律bkakbakcbacbaabba)()()(加法交换律：加法结合律：数乘分配律：第3页/共32页OABC正东正北向上F3F3=15N已知F1=10N, F2=15N，F1F2

2、这三个力两两之间的夹角都为90度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量第4页/共32页a b c AB起点起点终点终点第5页/共32页平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法减法:三角形法则或平行四边形法则加法:三角形法则或平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律第6页/共32页平面向量的加法、减法运算图示意义:向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba b 减向量终点指向被减向量终点第7页/共

3、32页ababab+OABbCOBOAABCAOAOC 空间向量的加减法空间向量的加减法第8页/共32页ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？第9页/共32页平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义

4、表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？第10页/共32页abcOBCab+abcOBCbc+( (平面向量平面向量) )向量加法结合律在空间中仍成立吗向量加法结合律在空间中仍成立吗? ?ab+c+()ab+c+()AA( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )第11页/共32页abcO

5、ABCab+abcOABCbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )向量加法结合律：向量加法结合律：第12页/共32页推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn第13页/共32页数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如: :a3a3a定义: 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算.

6、. 类似地类似地, ,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算, ,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢? ?第14页/共32页 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()() ()a babaaaaa 即： （）其中 、 是实数。第15页/共32页acb第16页/共32页例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADAB

7、AAADABBCAB第17页/共32页ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1第18页/共32页例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAA

8、CAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量第19页/共32页F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF3第20页/共32页例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (第21页/共32页例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB

9、1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (第22页/共32页例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC第23页/共32页例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。AB

10、CDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x第24页/共32页平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零第25页/共32页ABMCGD)(21 )2()(2

11、1 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简第26页/共32页ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简第27页/共32页ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.E第28页/共32页ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.第29页/共32页ABCDDCBAAD