《平行截割定理与相似三角形》学案

1、平行截割定理与相似三角形适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）6060知识点相似三角形的判定及有关性质考情分析在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应用，其中相似三角形的判定及性质常与圆的知识综合在一起考查。教学重点平行截割定理与相似三角形教学难点平行截割定理与相似三角形教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点 1 平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论 1 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论 2 2 经过梯形一腰的

2、中点，且与底边平行的直线平分另一腰.考点/易错点 2 平行线分线段成比例定理定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.考点/易错点 3 相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定定理 1 1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理 2 2

3、 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.判定定理 3 3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似.考点/易错点 4 两个直角三角形相似的判定定理 如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似.如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（3 3）相似三角形的性

4、质性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方.考点/易错点 5 直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。三、例题精析【例题 11【题干】在梯形 ABCD 中，AD/BC, AD = 2, BC = 5,点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 EF/ AD,若3=7,则 EF 的长为423【答案】y【例题 2】【题

5、干】已知，如图，在 ABC 中，AB_ AC, BD 丄 AC,点 D 是垂足.求证：BC2_ 2CD AC.【解析】过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E,1t CE_ BE_ 2BC，由 BD 丄 AC, AE 丄 BC.又/C_ZC,.AECsABDC.1BC.EC_AC. J_ACDC_ BC CD_ BC即 BC2_ 2CD AC.如图所示，延长BA、CD 交于点 P,VAD /BC,PAAPB25,AE 3EB_4，EF_237PA_14AE_ 9 ,PA 14PE_23. TAD/EF ,AD_ PA_EF_ PE_【解析】cAE_ 3AB= 7,PA_ 2 又VAB 314方

6、又AD_2,【例题 3】已知圆的直径 AB_ 13, C 为圆上一点，过 C 作 CD丄AB 于 D(AD BD)，若 CD = 6,贝UAD=_.【答案】9【解析】如图，连接 AC, CB,vAB 是OO 的直径，：ZACB= 90设 AD = x,vCD 丄 AB 于 D,由射影定理得CD2=AD DB,即 62=x(13 x),x2 13x+ 36= 0,解得 Xi= 4, X2= 9.AD BD, AAD = 9.四、课堂运用【基础】1 如图所示，已知 a/b/c,直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A, B, C 和 A, B, C,如果 AB= BC =31, A B= 2,

7、则 B C=_ .解析由平行线等分线段定理可直接得到答案.3答案32如图所示，BD、CE 是 ABC 的高，BD、CE 交于 F，写出图中所有与 ACE 相似的三角形_ 解析 由 RtACE 与 Rt 舉 CD 和 RtABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又 易知/BFE=/A,故 RtCERtBE.答案 FCD、 FBEAABD【巩固】3.如图，在ABC 中，M、N 分别是 AB、BC 的中点,皿 0”与厶 AOC 面积的比是_.1解析-M、N 分别是 AB、BC 中点，故 MN 綉 qAC,AE EF 2BF：EFT3：2疋BFT3. -AC:AET3：2.AB 3 同理 DE /BC,

8、得 AB : AD = 3 : 2,即 2.AD 2ADT2,即具T旦AB 3 AB-AD 3-2DCM 交于点 O,那么ION sCOA,SMO N MN2 1SAOCAC2 4.答案 1 : 44.如图所示，已知 DE / BC，BF : EF = 3 : 2,则 ACAE =_ , ADVDE /BC,理差EFACTBCTBFDB =_解析即BDT2；D：BDT2:1.答案 3 : 22 : 1【拔高】aAB, AB = AD = a, CD = q，点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点，贝 U EF =_a解析 连接 DE 和 BD，依题知，EB/DC, EB= DC = q，E

9、BCD 为平行四边形，CB 丄AB，ADE丄 AB,又 E 是 AB 的中点，故 AD = DB = a,：E, F 分别是 AD、1 1AB 的中点， EF = qDB = qa.a答案 26.6.如图，D, E 分别为ABC的边 AB, AC 上的点，且不与ABC的顶点重合.已2知 AE 的长为 m, AC 的长为 n , AD, AB 的长是关于 x 的方程x14x mn的 两个根.(I)证明：C, B, D, E 四点共圆；解析：(I)连接 DE,根据题意在 ADE 和厶 ACB 中,ADXAB=mn=AIE ACAD _ AE即AC AB.又/ DAE=Z CAB 从而 ADEAACB因此/ ADE=/ ACB所以 C, B, D, E 四点共圆(n)m=4,n=6 时，方程 x2-14x+mn=O 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2 AB=12.5.如图，在直角梯形 ABCD 中，DC/AB, CBm=4,n=6,求C,B,D, E 所在圆的半径.A E B取 CE 的中点 G, DB 的中点 F,分别过 G, F 作 AC,